Modelo de media móvil

Modelo de serie temporal

En el análisis de series de tiempo , el modelo de media móvil ( modelo MA ), también conocido como proceso de media móvil , es un enfoque común para modelar series de tiempo univariadas . ^{[1] [2]} El modelo de media móvil especifica que la variable de salida tiene correlación cruzada con una variable aleatoria no idéntica a ella misma.

Junto con el modelo autorregresivo (AR) , el modelo de media móvil es un caso especial y un componente clave de los modelos más generales de series temporales ARMA y ARIMA , ^[3] que tienen una estructura estocástica más complicada. A diferencia del modelo AR, el modelo MA finito siempre es estacionario .

El modelo de media móvil no debe confundirse con la media móvil , un concepto distinto a pesar de algunas similitudes. ^[1]

Definición

La notación MA( q ) se refiere al modelo de media móvil de orden q :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q}=\mu +\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}+\varepsilon _{t},}$

donde es la media de la serie, son los parámetros del modelo ^{[ ejemplo necesario ]} y son los términos de error de ruido blanco . El valor de q se llama orden del modelo MA. Esto se puede escribir de manera equivalente en términos del operador de retroceso B como ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},...,\varepsilon _{t-q}}$

${\displaystyle X_{t}=\mu +(1+\theta _{1}B+\cdots +\theta _{q}B^{q})\varepsilon _{t}.}$

Por lo tanto, un modelo de media móvil es conceptualmente una regresión lineal del valor actual de la serie frente a los términos de error de ruido blanco o shocks aleatorios actuales y anteriores (observados). Se supone que los shocks aleatorios en cada punto son mutuamente independientes y provienen de la misma distribución, típicamente una distribución normal , con ubicación en cero y escala constante.

Interpretación

El modelo de media móvil es esencialmente un filtro de respuesta de impulso finito aplicado al ruido blanco, al que se le aplica alguna interpretación adicional. ^{[ se necesita aclaración ]} El papel de los shocks aleatorios en el modelo MA difiere de su papel en el modelo autorregresivo (AR) de dos maneras. En primer lugar, se propagan directamente a valores futuros de la serie temporal: por ejemplo, aparece directamente en el lado derecho de la ecuación para . Por el contrario, en un modelo AR no aparece en el lado derecho de la ecuación, pero sí aparece en el lado derecho de la ecuación, y aparece en el lado derecho de la ecuación, dando solo un efecto indirecto de on . En segundo lugar, en el modelo MA un shock afecta sólo a los valores del período actual y de q períodos futuros; en contraste, en el modelo AR un shock afecta valores infinitamente lejanos en el futuro, porque afecta a , que afecta a , que afecta a , y así sucesivamente (ver Respuesta al impulso ). ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t+1}}$ ${\displaystyle X_{t+2}}$

Ajustando el modelo

Ajustar un modelo de media móvil suele ser más complicado que ajustar un modelo autorregresivo . ^[5] Esto se debe a que los términos de error rezagados no son observables. Esto significa que es necesario utilizar procedimientos de ajuste iterativos no lineales en lugar de mínimos cuadrados lineales. Los modelos de media móvil son combinaciones lineales de términos de ruido blanco pasados, mientras que los modelos autorregresivos son combinaciones lineales de valores de series temporales pasadas. ^[6] Los modelos ARMA son más complicados que los modelos AR y MA puros, ya que combinan componentes autorregresivos y de media móvil. ^[5]

La función de autocorrelación (ACF) de un proceso MA( q ) es cero en el rezago q + 1 y mayor. Por lo tanto, determinamos el retraso máximo apropiado para la estimación examinando la función de autocorrelación de la muestra para ver dónde se vuelve insignificantemente diferente de cero para todos los retrasos más allá de un cierto retraso, que se designa como el retraso máximo q .

A veces, el ACF y la función de autocorrelación parcial (PACF) sugerirán que un modelo MA sería una mejor opción de modelo y, a veces, los términos AR y MA deberían usarse en el mismo modelo (consulte el método Box-Jenkins ).

Los modelos de media móvil integrada autorregresiva (ARIMA) son una alternativa a la regresión segmentada que también se puede utilizar para ajustar un modelo de media móvil. ^[7]

Ver también

• Modelo autorregresivo de media móvil
• Media móvil integrada autorregresiva
• Modelo autorregresivo
• Respuesta de impulso finito
• Respuesta de impulso infinita

Referencias

1. Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (19 de abril de 2017). Análisis de series de tiempo y sus aplicaciones: con ejemplos de R. Saltador. ISBN 978-3-319-52451-1. OCLC  966563984.
2. "2.1 Modelos de media móvil (modelos MA) | STAT 510". PennState: cursos en línea de estadística . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
3. Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (17 de mayo de 2019), "Modelos ARIMA", Series temporales: un enfoque de análisis de datos utilizando R , Boca Ratón: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2019.: Chapman y Hall/CRC, págs. 99–128, doi :10.1201/9780429273285-5, ISBN 978-0-429-27328-5, recuperado el 27 de febrero de 2023{{citation}}: Mantenimiento CS1: ubicación ( enlace )
4. Caja, George EP; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregorio C.; Ljung, Greta M. (2016). Análisis de series de tiempo: previsión y control (5ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Incorporated. pag. 53.ISBN​ 978-1-118-67492-5. OCLC  908107438.
5. "Modelos ARMA (p, q) de media móvil autorregresiva para análisis de series temporales - Parte 1 | QuantStart". www.quantstart.com . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
6. "Modelos ARMA (p, q) de media móvil autorregresiva para análisis de series temporales - Parte 2 | QuantStart". www.quantstart.com . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
7. Schaffer, Andrea L.; Dobbins, Timothy A.; Pearson, Sallie-Anne (22 de marzo de 2021). "Análisis de series de tiempo interrumpido utilizando modelos autorregresivos de media móvil integrada (ARIMA): una guía para evaluar intervenciones de salud a gran escala". Metodología de la investigación médica del BMC . 21 (1): 58. doi : 10.1186/s12874-021-01235-8 . ISSN  1471-2288. PMC 7986567 . PMID  33752604. 

Otras lecturas

• Enders, Walter (2004). "Modelos estacionarios de series temporales". Series temporales econométricas aplicadas (Segunda ed.). Nueva York: Wiley. págs. 48-107. ISBN 0-471-45173-8.

enlaces externos

• Enfoques comunes para series temporales univariadas

 Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.