Manejar la descomposición

En matemáticas , una descomposición de un identificador de una variedad m M es una unión donde cada uno se obtiene mediante la adición de identificadores . Una descomposición de identificador es a una variedad lo que una descomposición CW es a un espacio topológico: en muchos aspectos, el propósito de una descomposición de identificador es tener un lenguaje análogo a los complejos CW, pero adaptado al mundo de las variedades suaves . Por lo tanto, un identificador i es el análogo suave de una celda i . Las descomposiciones de identificadores de variedades surgen naturalmente a través de la teoría de Morse . La modificación de las estructuras de identificadores está estrechamente vinculada a la teoría de Cerf . $${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$

Una bola de 3 con tres asas de 1 pulgada unidas.

Motivación

Consideremos la descomposición CW estándar de la n -esfera, con una celda cero y una sola celda n . Desde el punto de vista de las variedades suaves, se trata de una descomposición degenerada de la esfera, ya que no hay una forma natural de ver la estructura suave de desde los ojos de esta descomposición; en particular, la estructura suave cerca de la celda 0 depende del comportamiento de la función característica en un entorno de . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\subset D^{n}}$

El problema con las descomposiciones CW es que las aplicaciones de unión para celdas no viven en el mundo de las aplicaciones suaves entre variedades. La idea germinal para corregir este defecto es el teorema del vecindario tubular . Dado un punto p en una variedad M , su vecindario tubular cerrado es difeomorfo a , por lo tanto hemos descompuesto M en la unión disjunta de y pegados a lo largo de su límite común. La cuestión vital aquí es que la aplicación de pegado es un difeomorfismo. De manera similar, tome un arco incrustado suave en , su vecindario tubular es difeomorfo a . Esto nos permite escribir como la unión de tres variedades, pegadas a lo largo de partes de sus límites: 1) 2) y 3) el complemento del vecindario tubular abierto del arco en . Nótese que todas las aplicaciones de pegado son aplicaciones suaves, en particular cuando pegamos a la relación de equivalencia se genera por la incrustación de en , que es suave por el teorema del vecindario tubular . ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle \partial D^{m}}$

Las descomposiciones de manejadores son una invención de Stephen Smale . ^[1] En su formulación original, el proceso de unir un j -mango a una m -variedad M supone que uno tiene una incrustación suave de . Sea . La variedad (en palabras, M unión de un j -mango a lo largo de f ) se refiere a la unión disjunta de y con la identificación de con su imagen en , es decir, donde la relación de equivalencia es generada por para todo . ${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M}$ ${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}}$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{j}}$ ${\displaystyle S^{j-1}\times D^{m-j}}$ ${\displaystyle \partial M}$ $${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$ ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}}$

Se dice que una variedad N se obtiene a partir de M mediante la adición de j -asas si la unión de M con un número finito de j -asas es difeomorfa a N. La definición de una descomposición de asas es entonces como en la introducción. Por lo tanto, una variedad tiene una descomposición de asas con solo 0 -asas si es difeomorfa a una unión disjunta de bolas. Una variedad conectada que contiene asas de solo dos tipos (es decir: 0-asas y j -asas para algún j fijo ) se llama cuerpo de asas .

Terminología

Al formar la unión M se utiliza un mango j ${\displaystyle H^{j}}$ $${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$se conoce como la esfera de fijación .

${\displaystyle f}$A veces se le llama encuadre de la esfera de unión, ya que da trivialización de su haz normal .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}}$es la esfera del cinturón del mango en . ${\displaystyle H^{j}}$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$

Una variedad obtenida mediante la unión de g k -manijas al disco es un cuerpo de manijas (m,k) de género g . ${\displaystyle D^{m}}$

Presentaciones de cobordismo

Una presentación de un cobordismo mediante un identificador consiste en un cobordismo W donde y una unión ascendente donde M es m -dimensional, W es m+1 -dimensional, es difeomórfica a y se obtiene de mediante la unión de identificadores i . Mientras que las descomposiciones de identificadores son análogas para las variedades a lo que las descomposiciones de celdas son para los espacios topológicos, las presentaciones de identificadores de cobordismos son para las variedades con límite lo que las descomposiciones de celdas relativas son para pares de espacios. ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ $${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$$ ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle W_{i-1}}$

Punto de vista de la teoría de Morse

Dada una función de Morse en una variedad compacta sin límites M , tal que los puntos críticos de f satisfacen , y siempre que, entonces, para todo j , es difeomorfa a donde I ( j ) es el índice del punto crítico . El índice I(j) se refiere a la dimensión del subespacio máximo del espacio tangente donde la hessiana es definida negativa. ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$ ${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$ $${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k},}$$ ${\displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$ ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle T_{p_{j}}M}$

Siempre que los índices satisfagan esto, se trata de una descomposición de control de M ; además, cada variedad tiene tales funciones de Morse, por lo que tienen descomposiciones de control. De manera similar, dado un cobordismo con y una función que es Morse en el interior y constante en el límite y que satisface la propiedad de índice creciente, existe una presentación de control inducida del cobordismo W . ${\displaystyle I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ ${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$

Cuando f es una función Morse en M , - f también es una función Morse. La descomposición/presentación del controlador correspondiente se denomina descomposición dual .

Algunos teoremas y observaciones importantes

• Una división de Heegaard de una 3-variedad cerrada y orientable es una descomposición de una 3 -variedad en la unión de dos (3,1) -cuerpos de asa a lo largo de su límite común, llamada superficie de división de Heegaard. Las divisiones de Heegaard surgen para 3 -variedades de varias maneras naturales: dada una descomposición de asa de una 3-variedad, la unión de los asas 0 y 1 es un (3,1) -cuerpo de asa, y la unión de los asas 3 y 2 es también un (3,1) -cuerpo de asa (desde el punto de vista de la descomposición dual), por lo tanto una división de Heegaard. Si la 3 -variedad tiene una triangulación T , hay una división de Heegaard inducida donde el primer (3,1) -cuerpo de asa es un vecindario regular del 1 -esqueleto , y el otro (3,1) -cuerpo de asa es un vecindario regular del 1 -esqueleto dual . ${\displaystyle T^{1}}$
• Al colocar dos manijas en sucesión , es posible cambiar el orden de colocación, siempre que: esta variedad sea difeomórfica a una variedad de la forma para mapas de colocación adecuados. ${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$
• El límite de es difeomorfo a lo largo de la esfera enmarcada . Este es el vínculo principal entre la cirugía , las manijas y las funciones de Morse. ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle f}$
• En consecuencia, una m -variedad M es el límite de una m+1 -variedad W si y solo si M puede obtenerse de mediante cirugía en una colección de enlaces enmarcados en . Por ejemplo, se sabe que cada 3 -variedad limita una 4 -variedad (variedades orientadas de manera similar y de espín 3 limitadas por variedades orientadas y de espín 4 respectivamente) debido al trabajo de René Thom sobre el cobordismo . Por lo tanto, cada 3-variedad puede obtenerse mediante cirugía en enlaces enmarcados en la 3 -esfera. En el caso orientado, es convencional reducir este enlace enmarcado a una incrustación enmarcada de una unión disjunta de círculos. ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle S^{m}}$
• El teorema del H-cobordismo se demuestra simplificando las descomposiciones de mangos de variedades suaves.

Véase también

• Mango de casson
• Teoría del cobordismo
• Complejo CW
• Cuerpo del mango
• Cálculo de Kirby
• Descomposición múltiple

Referencias

Notas

1. S. Smale, "Sobre la estructura de las variedades", Amer. J. Math., 84 (1962), págs. 387-399

Referencias generales

• A. Kosinski, Variedades diferenciales Vol 138 Matemáticas puras y aplicadas, Academic Press (1992).
• Robert Gompf y Andras Stipsicz, 4-Variedades y cálculo de Kirby , (1999) (volumen 20 en Estudios de posgrado en matemáticas ), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN  0-8218-0994-6