Una malla es una representación de un dominio geométrico más grande mediante celdas discretas más pequeñas. Las mallas se utilizan comúnmente para calcular soluciones de ecuaciones diferenciales parciales y generar gráficos de computadora , y para analizar datos geográficos y cartográficos. Una malla divide el espacio en elementos (o celdas o zonas ) sobre los cuales se pueden resolver las ecuaciones, lo que luego aproxima la solución sobre el dominio más grande. Los límites de los elementos pueden restringirse para que se encuentren en límites internos o externos dentro de un modelo. Los elementos de mayor calidad (mejor forma) tienen mejores propiedades numéricas, donde lo que constituye un elemento "mejor" depende de las ecuaciones generales que rigen y de la solución particular para la instancia del modelo.
Existen dos tipos de formas celulares bidimensionales que se utilizan comúnmente: el triángulo y el cuadrilátero .
Los elementos computacionalmente pobres tendrán ángulos internos agudos o bordes cortos o ambos.
Esta forma de celda consta de 3 lados y es uno de los tipos de malla más simples. Una malla de superficie triangular siempre es rápida y fácil de crear. Es más común en cuadrículas no estructuradas .
Esta forma de celda es básica, tiene 4 lados, como se muestra en la figura. Es la más común en las cuadrículas estructuradas.
Los elementos cuadriláteros generalmente se excluyen de ser o volverse cóncavos.
Los elementos tridimensionales básicos son el tetraedro , la pirámide cuadrilátera , el prisma triangular y el hexaedro . Todos ellos tienen caras triangulares y cuadriláteras.
Los modelos bidimensionales extruidos pueden representarse completamente mediante prismas y hexaedros como triángulos y cuadriláteros extruidos.
En general, las caras cuadriláteras en tres dimensiones pueden no ser perfectamente planas. Una cara cuadrilátera no plana puede considerarse un volumen tetraédrico delgado compartido por dos elementos vecinos.
Un tetraedro tiene 4 vértices, 6 aristas y está delimitado por 4 caras triangulares. En la mayoría de los casos, se puede generar automáticamente una malla de volumen tetraédrico.
Una pirámide de base cuadrilátera tiene 5 vértices, 8 aristas, delimitadas por 4 caras triangulares y 1 cuadrilátera. Se utilizan de manera eficaz como elementos de transición entre elementos de cara cuadrada y triangular y otros en mallas y cuadrículas híbridas.
Un prisma triangular tiene 6 vértices, 9 aristas, delimitados por 2 caras triangulares y 3 caras cuadriláteras. La ventaja de este tipo de capa es que resuelve la capa límite de manera eficiente.
Un cuboide , un cubo topológico , tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras cuadriláteras, lo que lo convierte en un tipo de hexaedro . En el contexto de las mallas, a un cuboide se le suele llamar hexaedro , hex o ladrillo . [1] Para la misma cantidad de celdas, la precisión de las soluciones en las mallas hexaédricas es la más alta.
Las zonas de pirámides y prismas triangulares pueden considerarse computacionalmente como hexaedros degenerados, donde algunas aristas se han reducido a cero. También pueden representarse otras formas degeneradas de un hexaedro.
Un elemento poliédrico (dual) tiene cualquier número de vértices, aristas y caras. Por lo general, requiere más operaciones de cálculo por celda debido al número de vecinos (normalmente 10). [2] Aunque esto se compensa con la precisión del cálculo.
Las mallas estructuradas se identifican por su conectividad regular. Las opciones de elementos posibles son cuadriláteros en 2D y hexaedros en 3D. Este modelo es muy eficiente en términos de espacio, ya que las relaciones de vecindad se definen mediante la disposición de almacenamiento. Otras ventajas de las mallas estructuradas sobre las no estructuradas son una mejor convergencia y una mayor resolución. [3] [4] [5]
Una cuadrícula no estructurada se identifica por su conectividad irregular. No se puede expresar fácilmente como una matriz bidimensional o tridimensional en la memoria de la computadora. Esto permite cualquier elemento posible que un solucionador pueda utilizar. En comparación con las mallas estructuradas, para las cuales las relaciones de vecindad son implícitas, este modelo puede ser altamente ineficiente en términos de espacio, ya que requiere el almacenamiento explícito de las relaciones de vecindad. Los requisitos de almacenamiento de una cuadrícula estructurada y de una cuadrícula no estructurada están dentro de un factor constante. Estas cuadrículas generalmente emplean triángulos en 2D y tetraédricos en 3D. [6]
Una cuadrícula híbrida contiene una mezcla de partes estructuradas y no estructuradas. Integra las mallas estructuradas y no estructuradas de manera eficiente. Las partes de la geometría que son regulares pueden tener cuadrículas estructuradas y las que son complejas pueden tener cuadrículas no estructuradas. Estas cuadrículas pueden ser no conformes, lo que significa que las líneas de la cuadrícula no necesitan coincidir en los límites de los bloques. [7]
Se considera que una malla tiene mayor calidad si se calcula una solución más precisa con mayor rapidez. La precisión y la velocidad están en tensión. Disminuir el tamaño de la malla siempre aumenta la precisión, pero también aumenta el costo computacional.
La precisión depende tanto del error de discretización como del error de solución. En el caso del error de discretización, una malla dada es una aproximación discreta del espacio y, por lo tanto, solo puede proporcionar una solución aproximada, incluso cuando las ecuaciones se resuelven con exactitud. (En el trazado de rayos de gráficos por computadora , la cantidad de rayos disparados es otra fuente de error de discretización). En el caso del error de solución, para las EDP se requieren muchas iteraciones sobre toda la malla. El cálculo finaliza antes de tiempo, antes de que las ecuaciones se resuelvan con exactitud. La elección del tipo de elemento de la malla afecta tanto al error de discretización como al de solución.
La precisión depende tanto del número total de elementos como de la forma de los elementos individuales. La velocidad de cada iteración aumenta (linealmente) con el número de elementos, y el número de iteraciones necesarias depende del valor de la solución local y del gradiente en comparación con la forma y el tamaño de los elementos locales.
Una malla gruesa puede proporcionar una solución precisa si la solución es constante, por lo que la precisión depende de la instancia del problema en particular. Se puede refinar selectivamente la malla en áreas donde los gradientes de la solución son altos, aumentando así la fidelidad en ese aspecto. La precisión, incluidos los valores interpolados dentro de un elemento, depende del tipo y la forma del elemento.
Cada iteración reduce el error entre la solución calculada y la verdadera. Una tasa de convergencia más rápida significa un error menor con menos iteraciones.
Una malla de calidad inferior puede dejar fuera características importantes, como la capa límite para el flujo de fluidos. El error de discretización será grande y la tasa de convergencia se verá afectada; la solución puede no converger en absoluto.
Una solución se considera independiente de la malla si el error de discretización y de solución son lo suficientemente pequeños dadas las iteraciones suficientes. Esto es esencial para obtener resultados comparativos. Un estudio de convergencia de malla consiste en refinar los elementos y comparar las soluciones refinadas con las soluciones generales. Si un refinamiento adicional (u otros cambios) no cambia significativamente la solución, la malla es una "malla independiente".
Si la precisión es la principal preocupación, la malla hexaédrica es la más preferible. La densidad de la malla debe ser lo suficientemente alta para capturar todas las características del flujo, pero al mismo tiempo no debe ser tan alta que capture detalles innecesarios del flujo, sobrecargando así la CPU y desperdiciando más tiempo. Siempre que haya una pared, la malla adyacente a la pared es lo suficientemente fina como para resolver el flujo de la capa límite y, en general, se prefieren las celdas cuadrangulares, hexagonales y prismáticas a las triangulares, tetraedros y pirámides. Las celdas cuadrangulares y hexagonales se pueden estirar cuando el flujo está completamente desarrollado y es unidimensional.
En función de la asimetría, la suavidad y la relación de aspecto, se puede decidir la idoneidad de la malla. [8]
La asimetría de una cuadrícula es un indicador adecuado de la calidad y la idoneidad de la malla. Una asimetría grande compromete la precisión de las regiones interpoladas. Existen tres métodos para determinar la asimetría de una cuadrícula.
Este método es aplicable únicamente a triángulos y tetraedros y es el método predeterminado.
Este método se aplica a todas las formas de células y caras y casi siempre se utiliza para prismas y pirámides.
Otra medida común de calidad se basa en la desviación equiangular.
dónde:
Una asimetría de 0 es la mejor posible y casi nunca se prefiere una asimetría de 1. Para celdas hexagonales y cuádruples, la asimetría no debe superar 0,85 para obtener una solución bastante precisa.
Para celdas triangulares, la asimetría no debe exceder 0,85 y para celdas cuadriláteras, la asimetría no debe exceder 0,9.
El cambio de tamaño también debe ser suave. No debe haber saltos repentinos en el tamaño de la celda porque esto puede causar resultados erróneos en los nodos cercanos.
Es la relación entre el lado más largo y el lado más corto de una celda. Lo ideal es que sea igual a 1 para garantizar los mejores resultados. Para un flujo multidimensional, debería ser cercano a uno. Además, las variaciones locales en el tamaño de las celdas deberían ser mínimas, es decir, los tamaños de las celdas adyacentes no deberían variar en más del 20 %. Tener una relación de aspecto grande puede resultar en un error de interpolación de magnitud inaceptable.
Véase también generación de mallas y principios de generación de mallas . En dos dimensiones, el volteo y el suavizado son herramientas poderosas para adaptar una malla deficiente a una buena malla. El volteo implica combinar dos triángulos para formar un cuadrilátero y luego dividir el cuadrilátero en la otra dirección para producir dos nuevos triángulos. El volteo se utiliza para mejorar las medidas de calidad de un triángulo, como la asimetría. El suavizado de malla mejora las formas de los elementos y la calidad general de la malla al ajustar la ubicación de los vértices de la malla. En el suavizado de malla, las características principales, como el patrón distinto de cero del sistema lineal , se conservan ya que la topología de la malla permanece invariable. El suavizado laplaciano es la técnica de suavizado más utilizada.
![{\displaystyle {\text{Asimetría (para un cuadrático)}}=\max {\left[{\frac {\theta _{\text{max}}-90}{90}},{\frac {90-\theta _{\text{min}}}{90}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a3ff77fb6b558ef828248c0c6e1d653d5e770b)
![{\displaystyle {\text{ Desviación equiángulo}}=\max {\left[{\frac {\theta _{\text{máx}}-\theta _{e}}{180-\theta _{e}}},{\frac {\theta _{e}-\theta _{\text{mín}}}{\theta _{e}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92570fbd2f1b156eca991dc256663d30f3bb0cd9)
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
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