hp-FEM

Generalización del método de elementos finitos

hp-FEM es una generalización del método de elementos finitos (FEM) para resolver ecuaciones diferenciales parciales numéricamente basándose en aproximaciones polinomiales por partes . hp-FEM se origina a partir del descubrimiento de Barna A. Szabó e Ivo Babuška de que el método de elementos finitos converge exponencialmente rápido cuando la malla se refina utilizando una combinación adecuada de h-refinamientos (dividiendo elementos en otros más pequeños) y p-refinamientos (aumentando su grado polinomial) ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} Numerosos investigadores independientes han observado la convergencia exponencial de hp-FEM. ^{[7] [8] [9]}

Diferencias con el método FEM estándar

El método hp-FEM difiere del método FEM estándar (de orden más bajo) en muchos aspectos. ^[10]

• Elección de funciones de forma de orden superior ^{[ se necesita un ejemplo ]} : los polinomios de grado superior en los elementos se pueden generar utilizando diferentes conjuntos de funciones de forma. La elección de dicho conjunto puede influir drásticamente en el condicionamiento de la matriz de rigidez y, a su vez, en todo el proceso de solución. ^[11]
• Adaptabilidad automática a hp : en el método de elementos finitos a hp, un elemento puede refinarse a hp de muchas maneras diferentes, como por ejemplo: aumentando su grado polinomial sin subdividirlo en el espacio, o subdividiendo el elemento geométricamente, donde se pueden aplicar varios grados polinomiales a los subelementos. El número de candidatos para el refinamiento de elementos alcanza fácilmente 100 en dos dimensiones y 1000 en tres dimensiones. Un número que indica el tamaño del error en un elemento no es suficiente para guiar la adaptabilidad automática a hp (a diferencia de la adaptabilidad en el método de elementos finitos estándar). Se deben emplear otras técnicas, como soluciones de referencia o consideraciones de analiticidad, para obtener más información sobre la forma del error en cada elemento. ^[12]
• Relación entre los tiempos de CPU de ensamblaje y solución : en el método FEM estándar, la matriz de rigidez generalmente se ensambla rápidamente, pero es bastante grande. Por lo general, la solución del problema discreto consume la mayor parte del tiempo total de cómputo. Por el contrario, las matrices de rigidez en hp-FEM suelen ser mucho más pequeñas, pero (para el mismo tamaño de matriz) su ensamblaje lleva más tiempo que en el método FEM estándar. Esto se debe principalmente al costo computacional de la cuadratura numérica, que debe tener mayor precisión y, por lo tanto, ser de mayor orden, en comparación con el método FEM estándar para aprovechar las tasas de convergencia más rápidas.
• Desafíos de programación : Es mucho más difícil implementar un solucionador hp-FEM que un código FEM estándar. Los múltiples problemas que se deben superar incluyen (pero no se limitan a): fórmulas de cuadratura de orden superior, funciones de forma de orden superior, información de conectividad y orientación que relaciona funciones de forma en el dominio de referencia con funciones base en el dominio físico, etc. ^[13]

Solución al problema de Fichera

El problema de Fichera (también llamado el problema de la esquina de Fichera) es un problema de referencia estándar para los códigos FEM adaptativos. Se puede utilizar para mostrar la diferencia dramática en el rendimiento del FEM estándar y el hp-FEM. La geometría del problema es un cubo al que le falta una esquina. La solución exacta tiene un gradiente singular (una analogía de tensión infinita) en el centro. El conocimiento de la solución exacta permite calcular el error de aproximación con exactitud y, por lo tanto, comparar varios métodos numéricos. A modo de ilustración, el problema se resolvió utilizando tres versiones diferentes del FEM adaptativo: elementos lineales, elementos cuadráticos y hp-FEM.

• 
  Problema de Fichera: gradiente singular.
• 
  Problema de Fichera: comparación de convergencia.

Los gráficos de convergencia muestran el error de aproximación en función del número de grados de libertad (DOF). Los DOF ​​se refieren a parámetros desconocidos que se necesitan para definir la aproximación, y el número de DOF es igual al tamaño de la matriz de rigidez. El lector puede ver en los gráficos que la convergencia del método hp-FEM es mucho más rápida que la convergencia de los otros dos métodos. La diferencia de rendimiento es lo suficientemente grande como para que el método lineal FEM no converja en absoluto (en un tiempo razonable) y el método cuadrático FEM necesitaría cientos de miles o quizás millones de DOF para alcanzar la precisión que el método hp-FEM logró con aproximadamente 17.000 DOF. Obtener resultados muy precisos utilizando relativamente pocos grados de libertad es la principal fortaleza del método hp-FEM.

Eficiencia del método hp-FEM

Las funciones suaves se pueden aproximar de manera mucho más eficiente utilizando elementos grandes de orden superior que elementos pequeños lineales por partes. Esto se ilustra en la figura siguiente, donde se resuelve una ecuación de Poisson unidimensional con condiciones de contorno de Dirichlet cero en dos mallas diferentes. La solución exacta es la función seno.

• Izquierda: malla formada por dos elementos lineales.
• Derecha: malla formada por un elemento cuadrático.

Si bien el número de incógnitas es el mismo en ambos casos (1 grado de libertad), los errores en la norma correspondiente son 0,68 y 0,20, respectivamente. Esto significa que la aproximación cuadrática fue aproximadamente 3,5 veces más eficiente que la lineal por partes. Cuando avanzamos un paso más y comparamos (a) cuatro elementos lineales con (b) un elemento cuártico (p=4), entonces ambos problemas discretos tendrán tres grados de libertad, pero la aproximación cuártica será aproximadamente 40 veces más eficiente.

Por el contrario, los elementos pequeños de orden bajo pueden capturar características de pequeña escala como las singularidades mucho mejor que los grandes de orden alto. hp-FEM se basa en una combinación óptima de estos dos enfoques que conduce a una convergencia exponencial. Tenga en cuenta que esta convergencia exponencial se expresa en el eje de error frente a los grados de libertad. Para aplicaciones de la vida real, generalmente consideramos el tiempo computacional necesario para alcanzar el mismo nivel de precisión. Para este indicador de rendimiento, el refinamiento h y hp pueden proporcionar resultados similares. ^[14] Tan pronto como sea más difícil programar y paralelizar hp-FEM en comparación con h-FEM, la excelencia de convergencia del refinamiento hp puede volverse poco práctica.

Adaptabilidad HP

Algunos sitios FEM describen la adaptabilidad hp como una combinación de adaptabilidad h (dividir elementos en el espacio mientras se mantiene fijo su grado polinomial) y adaptabilidad p (solo aumentar su grado polinomial). ^{[ cita requerida ]} Esto no es del todo exacto, ya que la adaptabilidad hp es significativamente diferente tanto de la adaptabilidad h como de la p, ya que el refinamiento hp de un elemento se puede hacer de muchas maneras diferentes. Además de un refinamiento p, el elemento se puede subdividir en el espacio (como en la adaptabilidad h), pero hay muchas combinaciones para los grados polinomiales en los subelementos. Esto se ilustra en la figura de la derecha. Por ejemplo, si un elemento triangular o cuadrilátero se subdivide en cuatro subelementos donde se permite que los grados polinomiales varíen como máximo en dos, entonces esto produce 3^4 = 81 candidatos de refinamiento (sin considerar los polinomios como candidatos anisotrópicos). De manera análoga, dividir un hexaedro en ocho subelementos y variar sus grados polinómicos en dos como máximo da como resultado 3^8 = 6561 candidatos a refinamiento. Las estimaciones de error FEM estándar que proporcionan un número constante por elemento no son suficientes para guiar la adaptabilidad automática a hp.

Funciones de forma de orden superior

En el método FEM estándar, solo se trabaja con funciones de forma asociadas a los vértices de la cuadrícula (las llamadas funciones de vértice ). En cambio, cuando se utiliza hp-FEM, se consideran además funciones de arista (asociadas a las aristas de los elementos), funciones de cara (que corresponden a las caras de los elementos, solo en 3D) y funciones de burbuja (polinomios de orden superior que hacen desaparecer los límites de los elementos). Las siguientes imágenes muestran estas funciones restringidas a un solo elemento. Todas estas funciones están definidas en todo el interior del elemento.

• 
  Función vértice.
• 
  Función de borde.
• 
  Función facial.
• 
  Función de burbuja.

Códigos hp-FEM de código abierto

• Deal.II : Deal.II es una biblioteca gratuita y de código abierto para resolver ecuaciones diferenciales parciales utilizando el método de elementos finitos.
• Biblioteca C/C++ hp-FEM/DGFEM/BEM para ecuaciones elípticas desarrollada en SAM, ETH Zurich ( Suiza), y en el grupo de K. Schmidt en TU Berlin (Alemania). ^{[ enlace roto} ]
• 2dhp90, 3dhp90: Códigos Fortran para problemas elípticos y ecuaciones de Maxwell desarrollados por L. Demkowicz en ICES, UT Austin.
• PHAML: The Parallel Hierarchical Adaptive Multi-level Project (Proyecto multinivel adaptativo jerárquico paralelo). Software de elementos finitos desarrollado en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de Estados Unidos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas 2D en computadoras paralelas de memoria distribuida y computadoras multinúcleo utilizando técnicas de refinamiento de malla adaptativo y solución multicuadrícula.
• Proyecto Hermes : Biblioteca C/C++/Python para la creación rápida de prototipos de solucionadores hp-FEM adaptativos de espacio y espacio-tiempo para una gran variedad de PDE y sistemas PDE multifísicos, desarrollado por el grupo hp-FEM de la Universidad de Nevada, Reno (EE. UU.), el Instituto de Termomecánica de Praga (República Checa) y la Universidad de Bohemia Occidental en Pilsen (República Checa), con el software de ingeniería Agros2D construido sobre la biblioteca Hermes.
• PHG: PHG es una caja de herramientas para desarrollar programas de elementos finitos adaptativos paralelos. Es adecuada para h-, p- y hp-fem. PHG se encuentra actualmente en desarrollo activo en el Laboratorio Estatal Clave de Informática Científica e Ingeniería, Instituto de Matemática Computacional e Informática Científica/Ingeniería de la Academia China de Ciencias (LSEC, CAS, China). PHG se ocupa de las mallas tetraédricas conformes y utiliza la bisección para el refinamiento local adaptativo de la malla y MPI para el paso de mensajes. PHG tiene un diseño orientado a objetos que oculta los detalles de paralelización y proporciona operaciones comunes en mallas y funciones de elementos finitos de forma abstracta, lo que permite a los usuarios concentrarse en sus algoritmos numéricos.
• MoFEM es un código de análisis de elementos finitos diseñado para la solución de problemas multifísicos con niveles arbitrarios de aproximación y diferentes niveles de refinamiento de malla, y optimizado para computación de alto rendimiento. Está diseñado para poder gestionar complejidades relacionadas con un orden heterogéneo de aproximaciones para espacios L2, H1, H-div y H-curl.
• Nektar++ es un marco espectral/hp-FEM de código abierto.
• Sparselizard es una biblioteca de elementos finitos C++ de código abierto, fácil de usar, adaptativa a HP y multifísica, desarrollada actualmente en la Universidad de Tampere, Finlandia. Combina el refinamiento de mallas adaptativas conformes de triángulos/cuadrángulos 2D y tetraédricos 3D con espacios de funciones H1 y H-curl jerárquicos de orden arbitrario para HP-FEM estático y transitorio general.

Software comercial hp-FEM

• StressCheck es una herramienta de análisis de elementos finitos con capacidades orientadas al análisis estructural detallado.

Referencias

1. BA Szabó , AK Mehta: Aproximaciones de elementos finitos p-convergentes en mecánica de fracturas, Int. J. Num. Meth. Engng, Volumen 12, págs. 551-560, 1978.
2. I. Babuška , BA Szabó e IN Katz: La versión p del método de elementos finitos, SIAM J. Numer. Anl., Volumen 18, págs. 515-544, 1981.
3. I. Babuška , BA Szabó , Sobre las tasas de convergencia del método de elementos finitos, Int. J. Numer. Meth.Engng., Volumen 18, págs. 323-341, 1982.
4. I. Babuška : Las versiones p y hp del método de elementos finitos: el estado del arte, Elementos finitos: teoría y aplicaciones, editado por DL ​​Dwoyer, MY Hussaini y RG Voigt, Nueva York, Springer-Verlag, 1988.
5. BA Szabó , I. Babuška : Análisis de elementos finitos, John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-50273-9 , 1991.
6. I. Babuška , BQ Guo: La versión h, p y hp del método de elementos finitos: teoría básica y aplicaciones, Advances in Engineering Software, Volumen 15, Número 3-4, 1992.
7. JM Melenk: Métodos de elementos finitos hp para perturbaciones singulares, Springer, 2002
8. C. Schwab: Métodos de elementos finitos p y hp: teoría y aplicaciones en mecánica de sólidos y fluidos, Oxford University Press, 1998
9. P. Solin: Ecuaciones diferenciales parciales y el método de elementos finitos, J. Wiley & Sons, 2005
10. P. Solin, K. Segeth, I. Dolezel: Métodos de elementos finitos de orden superior, Chapman & Hall/CRC Press, 2003
11. I. Babuska, M. Griebel y J. Pitkaranta, El problema de seleccionar las funciones de forma para un elemento finito de tipo p, Internat. J. Numer. Methods Engrg. (1989), págs. 1891–1908
12. L. Demkowicz, W. Rachowicz y Ph. Devloo: una adaptabilidad hp completamente automática, Journal of Scientific Computing, 17, números 1-3 (2002), 127-155
13. L. Demkowicz, J. Kurtz, D. Pardo, W. Rachowicz, M. Paszynski, A. Zdunek: Computación con elementos finitos adaptativos hp, Chapman & Hall/CRC Press, 2007
14. "Horno microondas: guía de ejemplos de Hermes". Archivado desde el original el 26 de junio de 2019. Consultado el 26 de junio de 2019 .