Jerarquía de Jensen

En teoría de conjuntos , una disciplina matemática, la jerarquía de Jensen o jerarquía J es una modificación de la jerarquía construible de Gödel , L, que sortea ciertas dificultades técnicas que existen en la jerarquía construible. La Jerarquía J ocupa un lugar destacado en la teoría de la estructura fina, un campo iniciado por Ronald Jensen , que da nombre a la jerarquía de Jensen. Las funciones rudimentarias describen un método para iterar a través de la jerarquía de Jensen.

Definición

Como en la definición de L , sea Def( X ) la colección de conjuntos definibles con parámetros sobre  X :

${\displaystyle {\textrm {Def}}(X):=\{\{y\in X\mid \Phi (y,z_{1},...,z_{n}){\text{ is true in }}(X,\in )\}\mid \Phi {\text{ is a first order formula}},z_{1},...,z_{n}\in X\}}$

La jerarquía construible está definida por recursividad transfinita . En particular, en los ordinales sucesores, . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}={\textrm {Def}}(L_{\alpha })}$

La dificultad de esta construcción es que cada uno de los niveles no se cierra bajo la formación de pares desordenados ; para un dado , el conjunto no será un elemento de , ya que no es un subconjunto de . ${\displaystyle x,y\in L_{\alpha +1}\setminus L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$

Sin embargo, tiene la propiedad deseable de estar cerrado bajo separación Σ . ^[1] ${\displaystyle L_{\alpha }}$

La modificación de Jensen de la jerarquía L conserva esta propiedad y la condición ligeramente más débil que , pero también está cerrada bajo emparejamiento. La técnica clave es codificar conjuntos definibles hereditariamente mediante códigos; luego contendrá todos los conjuntos cuyos códigos estén en . ${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\textrm {Def}}(J_{\alpha })}$ ${\displaystyle J_{\alpha }}$ ${\displaystyle J_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }}$

Me gusta , se define recursivamente . Para cada ordinal , definimos como un predicado universal para . Codificamos conjuntos definibles hereditariamente como , con . Luego establezca y finalmente, . ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle J_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle W_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }(n+1,e)=\{X_{\alpha }(n,f)\mid W_{n+1}^{\alpha }(e,f)\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }(0,e)=e}$ ${\displaystyle J_{\alpha ,n}:=\{X_{\alpha }(n,e)\mid e\in J_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle J_{\alpha +1}:=\bigcup _{n\in \omega }J_{\alpha ,n}}$

Propiedades

Cada subnivel J _{α , n} es transitivo y contiene todos los ordinales menores o iguales a αω  +  n . La secuencia de subniveles es estrictamente ⊆-creciente en  n , ya que un predicado Σ _{m también es Σ n} para cualquier n  >  m . Los niveles J _α serán así transitivos y estrictamente ⊆-crecientes también, y también están cerrados bajo emparejamiento, -comprensión y cierre transitivo. Además, tienen la propiedad de que ${\displaystyle \Delta _{0}}$

${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\text{Def}}(J_{\alpha }),}$

como se desee. (O un poco más en general, [ ^2] ) ${\displaystyle L_{\omega +\alpha }=J_{1+\alpha }\cap V_{\omega +\alpha }}$

Los niveles y subniveles son en sí mismos Σ ₁ uniformemente definibles (es decir, la definición de J _{α , n} en J _β no depende de  β ) y tienen un buen ordenamiento uniforme Σ ₁ . Además, los niveles de la jerarquía de Jensen satisfacen un lema de condensación muy parecido a los niveles de la jerarquía original de Gödel.

Para cualquier , considerando cualquier relación en , existe una función de Skolem para esa relación que a su vez se puede definir mediante una fórmula. ^[3] ${\displaystyle J_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$

Funciones rudimentarias

Una función rudimentaria es una función V ⁿ →V (es decir, una función finita que acepta conjuntos como argumentos) que se puede obtener a partir de las siguientes operaciones: ^[2]

• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _i es rudimentario (ver función de proyección )
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = { x _i , x _j } es rudimentario
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _i − x _j es rudimentario
• Cualquier composición de funciones rudimentarias es rudimentaria.
• ∪ _{z ∈ y} G ( z , x ₁ , x ₂ , ...) es rudimentaria, donde G es una función rudimentaria

Para cualquier conjunto M, sea rud( M ) el conjunto más pequeño que contenga M ∪{ M } cerrado bajo las funciones rudimentarias. Entonces la jerarquía de Jensen satisface J _α+1 = rud( J _α ). ^[2]

Proyecto

Jensen define el proyecto de como el más grande que es susceptible de todos , y el proyecto de se define de manera similar. Uno de los principales resultados de la teoría de la estructura fina es que también es la más grande, de modo que no todos los subconjuntos de son (en la terminología de la teoría de la recursión α ) finitos. ^[2] ${\displaystyle \rho _{\alpha }^{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta \leq \alpha }$ ${\displaystyle (J_{\beta },A)}$ ${\displaystyle A\in \Sigma _{n}(J_{\alpha })\cap {\mathcal {P}}(J_{\beta })}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \rho _{\alpha }^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Sigma _{n}(J_{\alpha })}$ ${\displaystyle \omega \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$

Lerman define el proyecto de como el más grande tal que no todo subconjunto de es finito, donde un conjunto lo es si es la imagen de una función expresable como donde es recursivo. En una caracterización al estilo de Jensen, el proyecto de es el más grande en el que existe un epimorfismo de en . Existe un ordinal cuyo proyecto es , pero cuyo proyecto es para todos natural . ^[4] ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \lim _{y_{1}}\lim _{y_{2}}\ldots \lim _{y_{n}}g(x,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta \leq \alpha }$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta _{3}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Wolfram Pohlers, Teoría de la prueba: el primer paso hacia la impredicatividad (2009) (p.247)
2. K. Devlin, Una introducción a la fina estructura de la jerarquía construible (1974). Consultado el 26 de febrero de 2022.
3. RB Jensen, La fina estructura de la jerarquía construible (1972), p.247. Consultado el 13 de enero de 2023.
4. SG Simpson, "Curso breve sobre teoría de la recursividad admisible". Apareciendo en Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas vol. 94, Teoría de la recursión generalizada II (1978), páginas 355-390

• Sy Friedman (2000) Estructura fina y forzamiento de clases , Walter de Gruyter, ISBN  3-11-016777-8