Estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional

Método de procesamiento de señales

Ejemplo de separación en submatrices (ESPRIT 2D)

La estimación de parámetros de señal mediante técnicas invariantes rotacionales (ESPRIT) es una técnica para determinar los parámetros de una mezcla de sinusoides en ruido de fondo. Esta técnica se propuso por primera vez para la estimación de frecuencia. ^[1] Sin embargo, con la introducción de sistemas de arreglos en fase en la tecnología cotidiana, también se utiliza para estimaciones de ángulos de llegada . ^[2]

ESPRIT unidimensional

En la instancia , las señales de salida (mediciones) (de valor complejo) , , del sistema están relacionadas con las señales de entrada (de valor complejo) , , como donde denota el ruido agregado por el sistema. La forma unidimensional de ESPRIT se puede aplicar si los pesos tienen la forma , cuyas fases son múltiplos enteros de alguna frecuencia radial . Esta frecuencia solo depende del índice de la entrada del sistema, es decir, . El objetivo de ESPRIT es estimar , dadas las salidas y el número de señales de entrada, . Dado que las frecuencias radiales son los objetivos reales, se denota como . ${\textstyle t}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle y_{m}[t]}$ ${\textstyle m=1,\ldots ,M}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle x_{k}[t]}$ ${\textstyle k=1,\ldots ,K}$ $${\displaystyle y_{m}[t]=\sum _{k=1}^{K}a_{m,k}x_{k}[t]+n_{m}[t],}$$ ${\textstyle n_{m}[t]}$ ${\textstyle a_{m,k}=e^{-j(m-1)\omega _{k}}}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\textstyle k}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\textstyle y_{m}[t]}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle a_{m,k}}$ ${\textstyle a_{m}(\omega _{k})}$

Al cotejar los pesos como y las señales de salida en la instancia como , donde . Además, cuando los vectores de peso se colocan en una matriz de Vandermonde , y las entradas en la instancia en un vector , podemos escribir Con varias mediciones en las instancias y las notaciones , y , la ecuación del modelo se convierte en ${\textstyle a_{m}(\omega _{k})}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})=[\,1\,\ e^{-j\omega _{k}}\,\ e^{-j2\omega _{k}}\,\ ...\,\ e^{-j(M-1)\omega _{k}}\,]^{\top }}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {y} [t]=[\,y_{1}[t]\,\ y_{2}[t]\,\ ...\,\ y_{M}[t]\,]^{\top }}$ $${\displaystyle \mathbf {y} [t]=\sum _{k=1}^{K}\mathbf {a} (\omega _{k})x_{k}[t]+\mathbf {n} [t],}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} [t]=[\,n_{1}[t]\,\ n_{2}[t]\,\ ...\,\ n_{M}[t]\,]^{\top }}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{1}),\ \mathbf {a} (\omega _{2}),\ ...,\ \mathbf {a} (\omega _{K})}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =[\,\mathbf {a} (\omega _{1})\,\ \mathbf {a} (\omega _{2})\,\ ...\,\ \mathbf {a} (\omega _{K})\,]}$ ${\displaystyle K}$ ${\textstyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} [t]=[\,x_{1}[t]\,\ ...\,\ x_{k}[t]\,]^{\top }}$ $${\displaystyle \mathbf {y} [t]=\mathbf {A} \,\mathbf {x} [t]+\mathbf {n} [t].}$$ ${\textstyle t=1,2,\dots ,T}$ ${\textstyle \mathbf {Y} =[\,\mathbf {y} [1]\,\ \mathbf {y} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {y} [T]\,]}$ ${\textstyle \mathbf {X} =[\,\mathbf {x} [1]\,\ \mathbf {x} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {x} [T]\,]}$ ${\textstyle \mathbf {N} =[\,\mathbf {n} [1]\,\ \mathbf {n} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {n} [T]\,]}$ $${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +\mathbf {N} .}$$

División en submatrices virtuales

Superposición máxima de dos submatrices ( N indica el número de sensores en la matriz, m es el número de sensores en cada submatriz y y son matrices de selección) ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$

El vector de peso tiene la propiedad de que las entradas adyacentes están relacionadas. Para todo el vector , la ecuación introduce dos matrices de selección y : y . Aquí, es una matriz identidad de tamaño y es un vector de cero. ${\textstyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$ $${\displaystyle [\mathbf {a} (\omega _{k})]_{m+1}=e^{-j\omega _{k}}[\mathbf {a} (\omega _{k})]_{m}}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{M-1}}$ ${\textstyle (M-1)}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Los vectores contienen todos los elementos de excepto el último [primero]. Por lo tanto, y La relación anterior es la primera observación importante requerida para ESPRIT. La segunda observación importante se refiere al subespacio de señal que se puede calcular a partir de las señales de salida. ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\displaystyle [\mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})]}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} ,\quad {\text{where}}\quad {\mathbf {H} }:={\begin{bmatrix}e^{-j\omega _{1}}&\\&e^{-j\omega _{2}}\\&&\ddots \\&&&e^{-j\omega _{K}}\end{bmatrix}}.}$$

Subespacio de señal

La descomposición en valores singulares (SVD) de se da como donde y son matrices unitarias y es una matriz diagonal de tamaño , que contiene los valores singulares desde el más grande (arriba a la izquierda) en orden descendente. El operador denota la transpuesta compleja conjugada (transpuesta hermítica). ${\textstyle \mathbf {Y} }$ $${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}$$ ${\textstyle \mathbf {U} \in \mathbb {C} ^{M\times M}}$ ${\textstyle \mathbf {V} \in \mathbb {C} ^{T\times T}}$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\textstyle M\times T}$ ${\textstyle \dagger }$

Supongamos que . Observe que tenemos señales de entrada. Si no hubiera ruido, solo habría valores singulares distintos de cero. Suponemos que los valores singulares más grandes provienen de estas señales de entrada y se supone que otros valores singulares provienen del ruido. Las matrices en SVD de se pueden dividir en submatrices, donde algunas submatrices corresponden al subespacio de señal y algunas corresponden al subespacio de ruido. donde y contienen las primeras columnas de y , respectivamente y es una matriz diagonal que comprende los valores singulares más grandes. ${\textstyle T\geq M}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \mathbf {Y} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }&\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\end{bmatrix}},&&\mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }&\mathbf {0} \end{bmatrix}},&&\mathbf {V} ={\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{\mathrm {S} }&\mathbf {V} _{\mathrm {N} }&\mathbf {V} _{\mathrm {0} }\end{bmatrix}}\end{aligned}},}$$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}$ ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{N\times K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \mathbf {U} }$ ${\textstyle \mathbf {V} }$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{K\times K}}$ ${\textstyle K}$

Por lo tanto, la SVD se puede escribir como donde , ⁣ , y representan la contribución de la señal de entrada a . Llamamos al subespacio de señal. Por el contrario, , , y representan la contribución del ruido a . $${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger },}$$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle x_{k}[t]}$ ${\textstyle \mathbf {Y} }$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {N} }}$ ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {N} }}$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }}$ ${\textstyle n_{m}[t]}$ ${\textstyle \mathbf {Y} }$

Por lo tanto, a partir del modelo del sistema, podemos escribir y . También, a partir del primero, podemos escribir donde . En la secuela, solo es importante que exista dicha matriz invertible y su contenido real no será importante. ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }}$ ${\textstyle \mathbf {N} =\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger }}$ $${\displaystyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} ,}$$ ${\displaystyle {\mathbf {F} }=\mathbf {X} \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{-1}}$ ${\textstyle \mathbf {F} }$

Nota: El subespacio de señal también se puede extraer de la descomposición espectral de la matriz de autocorrelación de las mediciones, que se estima como $${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {YY} }={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}\mathbf {y} [t]\mathbf {y} [t]^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {Y} \mathbf {Y} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} {\mathbf {\Sigma } \mathbf {\Sigma } ^{\dagger }}\mathbf {U} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+{\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }^{\dagger }.}$$

Estimación de frecuencias radiales

Hasta ahora hemos establecido dos expresiones: y . Ahora, donde y denotan los subespacios de señal truncados, y La ecuación anterior tiene la forma de una descomposición de valores propios , y las fases de los valores propios en la matriz diagonal se utilizan para estimar las frecuencias radiales. ${\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} }$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} \implies \mathbf {J} _{2}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})=\mathbf {J} _{1}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})\mathbf {H} \implies \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ $${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Por lo tanto, después de resolver en la relación , encontraríamos los valores propios de , donde , y las frecuencias radiales se estiman como las fases (argumento) de los valores propios. ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }$ ${\textstyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}$ ${\displaystyle \omega _{1},\ \omega _{2},\ \ldots ,\ \omega _{K}}$

Observación: En general, no es invertible. Se puede utilizar la estimación de mínimos cuadrados . Una alternativa sería la estimación de mínimos cuadrados totales . ${\displaystyle \mathbf {S} _{1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }=(\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{1}})^{-1}\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{2}}}$

Resumen del algoritmo

Entrada: Medidas , el número de señales de entrada (estimar si aún no se conoce). ${\textstyle \mathbf {Y} :=[\,\mathbf {y} [1]\,\ \mathbf {y} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {y} [T]\,]}$ ${\textstyle K}$

1. Calcule la descomposición en valores singulares (SVD) de y extraiga el subespacio de señal como las primeras columnas de . ${\textstyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \mathbf {U} }$
2. Calcular y , donde y . ${\textstyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$
3. Resolver para en (ver la observación anterior). ${\textstyle \mathbf {P} }$ ${\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }$
4. Calcular los valores propios de . ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{K}}$ ${\textstyle \mathbf {P} }$
5. Las fases de los valores propios proporcionan las frecuencias radiales , es decir, . ${\textstyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}$ ${\textstyle \omega _{k}}$ ${\textstyle \omega _{k}=\arg \lambda _{k}}$

Notas

Elección de matrices de selección

En la derivación anterior, se utilizaron las matrices de selección y . Sin embargo, se puede utilizar cualquier matriz y adecuada siempre que se cumpla la invariancia rotacional , es decir , o alguna generalización de la misma (véase más abajo); en consecuencia, las matrices y pueden contener cualquier fila de . ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$ ${\textstyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ ${\textstyle (}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\textstyle )}$ ${\textstyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {A} }$

Invariancia rotacional generalizada

La invariancia rotacional utilizada en la derivación puede generalizarse. Hasta ahora, la matriz se ha definido como una matriz diagonal que almacena los exponenciales complejos buscados en su diagonal principal. Sin embargo, también puede presentar otra estructura. ^[3] Por ejemplo, puede ser una matriz triangular superior. En este caso, constituye una triangularización de . ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Véase también

• Clasificación de señales múltiples
• Método generalizado del lápiz de funciones
• Análisis de componentes independientes

Referencias

1. Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), "Estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional - Esprit", Decimonovena Conferencia Asilomar sobre circuitos, sistemas y computadoras , págs. 83–89, doi :10.1109/ACSSC.1985.671426, ISBN 978-0-8186-0729-5, Número de identificación del sujeto  2293566
2. Volodymyr Vasylyshyn. Estimación de la dirección de llegada utilizando ESPRIT con matrices dispersas.// Proc. Conferencia Europea de Radar de 2009 (EuRAD). – 30 de septiembre-2 de octubre de 2009. - Págs. 246-249. - [1]
3. Hu, Anzhong; Lv, Tiejun; Gao, Hui; Zhang, Zhang; Yang, Shaoshi (2014). "Un enfoque basado en ESPRIT para la localización 2-D de fuentes distribuidas de forma incoherente en sistemas MIMO masivos". IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing . 8 (5): 996–1011. arXiv : 1403.5352 . Bibcode :2014ISTSP...8..996H. doi :10.1109/JSTSP.2014.2313409. ISSN  1932-4553. S2CID  11664051.

Lectura adicional

• Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), "Estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional - Esprit", Decimonovena Conferencia Asilomar sobre circuitos, sistemas y computadoras , págs. 83–89, doi :10.1109/ACSSC.1985.671426, ISBN 978-0-8186-0729-5, Número de identificación del sujeto  2293566.
• Roy, R.; Kailath, T. (1989). "Esprit - Estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional" (PDF) . IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 37 (7): 984–995. doi :10.1109/29.32276. S2CID  14254482. Archivado desde el original (PDF) el 2020-09-26 . Consultado el 2011-07-25 ..
• Ibrahim, AM; Marei, MI; Mekhamer, SF; Mansour, MM (2011). "Un enfoque de protección basado en redes neuronales artificiales que utiliza la estimación de mínimos cuadrados totales de parámetros de señal mediante la técnica de invariancia rotacional para líneas de transmisión compensadas de sistemas de transmisión de CA flexibles". Componentes y sistemas de energía eléctrica . 39 (1): 64–79. doi :10.1080/15325008.2010.513363. S2CID  109581436.
• Haardt, M., Zoltowski, MD, Mathews, CP y Nossek, J. (mayo de 1995). ESPRIT unitario 2D para estimación eficiente de parámetros 2D. En icassp (págs. 2096-2099). IEEE.