Distribución asintótica

Distribución de probabilidad a la que "convergen" variables aleatorias o distribuciones

En matemáticas y estadística , una distribución asintótica es una distribución de probabilidad que es, en cierto sentido, la distribución "limitante" de una secuencia de distribuciones. Uno de los principales usos de la idea de distribución asintótica es proporcionar aproximaciones a las funciones de distribución acumulativa de los estimadores estadísticos .

Definición

Una secuencia de distribuciones corresponde a una secuencia de variables aleatorias Z _i para i = 1, 2, ..., I . En el caso más simple, existe una distribución asintótica si la distribución de probabilidad de Z _i converge a una distribución de probabilidad (la distribución asintótica) a medida que i aumenta: ver convergencia en la distribución . Un caso especial de distribución asintótica es cuando la secuencia de variables aleatorias es siempre cero o Z _i = 0 cuando i se acerca al infinito. Aquí la distribución asintótica es una distribución degenerada , correspondiente al valor cero.

Sin embargo, el sentido más habitual en el que se utiliza el término distribución asintótica surge cuando las variables aleatorias Z _i son modificadas por dos secuencias de valores no aleatorios. Así si

${\displaystyle Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}}$

converge en distribución a una distribución no degenerada para dos secuencias { a _i } y { b _i } entonces se dice que Z _i tiene esa distribución como distribución asintótica. Si la función de distribución de la distribución asintótica es F entonces, para n grande , se cumplen las siguientes aproximaciones

${\displaystyle P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),}$

${\displaystyle P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).}$

Si existe una distribución asintótica, no es necesariamente cierto que cualquier resultado de la secuencia de variables aleatorias sea una secuencia convergente de números. Es la secuencia de distribuciones de probabilidad la que converge.

Teorema del límite central

Quizás la distribución más común que surge como distribución asintótica es la distribución normal . En particular, el teorema del límite central proporciona un ejemplo en el que la distribución asintótica es la distribución normal .

Teorema del límite central

Supongamos que es una secuencia de variables aleatorias iid con y . Sea el promedio de . Luego, cuando se acerca al infinito, las variables aleatorias convergen en distribución a una normal : ^[1] ${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\dots \}}$ ${\displaystyle \mathrm {E} [X_{i}]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )}$ ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$

El teorema del límite central da sólo una distribución asintótica. Como aproximación para un número finito de observaciones, proporciona una aproximación razonable sólo cuando está cerca del pico de la distribución normal; se requiere una gran cantidad de observaciones para llegar a las colas.

Normalidad asintótica local

La normalidad asintótica local es una generalización del teorema del límite central. Es una propiedad de una secuencia de modelos estadísticos , que permite aproximar asintóticamente esta secuencia mediante un modelo de ubicación normal , después de un reescalado del parámetro. Un ejemplo importante en el que se cumple la normalidad asintótica local es el caso de un muestreo independiente e idénticamente distribuido a partir de un modelo paramétrico regular ; este es sólo el teorema del límite central.

Barndorff-Nielson y Cox proporcionan una definición directa de normalidad asintótica. ^[2]

Ver también

• Análisis asintótico
• Teoría asintótica (estadística)
• Teorema de Moivre-Laplace
• Limitar la densidad de puntos discretos.
• método delta

Referencias

1. Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y medida (Tercera ed.). John Wiley e hijos . pag. 357.ISBN​ 0-471-00710-2.
2. Barndorff-Nielsen, OE ; Cox, DR (1989). Técnicas asintóticas para su uso en estadística. Chapman y Hall . ISBN 0-412-31400-2.