Criterio de estabilidad del jurado

Electrotecnia

En la teoría de control y procesamiento de señales , el criterio de estabilidad de Jury es un método para determinar la estabilidad de un sistema lineal de tiempo discreto mediante el análisis de los coeficientes de su polinomio característico . Es el análogo de tiempo discreto del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . El criterio de estabilidad de Jury requiere que los polos del sistema estén ubicados dentro del círculo unitario centrado en el origen, mientras que el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz requiere que los polos estén en la mitad izquierda del plano complejo . El criterio de Jury recibe su nombre de Eliahu Ibraham Jury .

Método

Si el polinomio característico del sistema está dado por

${\displaystyle f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\dots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}}$

entonces la tabla se construye de la siguiente manera: ^[1]

Es decir, la primera fila se construye con los coeficientes polinomiales en orden, y la segunda fila es la primera fila en orden inverso y conjugada.

La tercera fila de la tabla se calcula restando la segunda fila de la primera, y la cuarta fila es la tercera fila con los primeros n elementos invertidos (ya que el elemento final es cero). ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{aligned}}}$

La expansión de la tabla continúa de esta manera hasta que se llega a una fila que contiene solo un elemento distinto de cero.

Tenga en cuenta que es para las dos primeras filas. Luego, para la tercera y la cuarta fila, el coeficiente cambia (es decir, ). Esto se puede ver como el nuevo polinomio que tiene un grado menos y continúa. ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}}$

Prueba de estabilidad

Si entonces, para cada valor de ... que sea negativo, el polinomio tiene una raíz fuera del disco unitario, esto implica que el método se puede detener después de encontrar el primer valor negativo al verificar la estabilidad. ${\displaystyle {a_{0}}>0}$ ${\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}}$

Ejemplo de implementación

Este método es muy fácil de implementar utilizando matrices dinámicas en una computadora. También indica si todos los módulos de las raíces ( complejas y reales ) se encuentran dentro del disco unitario. El vector v contiene los coeficientes reales del polinomio original en orden de mayor a menor grado.

 /* vvd es la matriz del jurado */ vvd . push_back ( v ); // Almacena la primera fila reverse ( v . begin (), v . end ()); vvd . push_back ( v ); // Almacena la segunda fila      para ( i = 2 ;; i += 2 ) { v . clear (); double mult = vvd [ i -2 ][ vvd [ i -2 ]. size () -1 ] / vvd [ i -2 ][ 0 ]; // Este es an/a0 como se menciona en el artículo.         para ( j = 0 ; j < vvd [ i -2 ]. size () -1 ; j ++ ) // Toma las últimas 2 filas y calcula la siguiente fila v . push_back ( vvd [ i -2 ][ j ] - vvd [ i -1 ][ j ] * mult );          vvd . push_back ( v ); reverse ( v . begin (), v . end ()); // invertir la siguiente fila vvd . push_back ( v ); if ( v . size () == 1 ) break ; }           // La comprobación se realiza mediante for ( i = 0 ; i < vvd . size (); i += 2 ) { if ( vvd [ i ][ 0 ] <= 0 ) break ; }          if ( i == vvd . size ()) "Todas las raíces están dentro del disco unitario" de lo contrario "no"      

Véase también

• Criterio de Liénard-Chipart , otro criterio de estabilidad derivado de Routh-Hurwitz (para sistemas de tiempo continuo)

Referencias

1. Sistemas de control de tiempo discreto (2.ª ed.), pág. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, EE. UU. ©1995 ISBN  0-13-034281-5

Para más detalles consulte estas referencias:

• Una nota sobre el criterio reducido de Schur-Cohn
• Wikilibros sobre sistemas de control: la prueba del jurado

Para recursos avanzados:

• Archivado el 2 de agosto de 2008 en Wayback Machine.
• Benidir, M. (1996). "Sobre la distribución de raíces de polinomios generales con respecto al círculo unitario". Procesamiento de señales . 53 (1): 75–82. Bibcode :1996SigPr..53...75B. doi :10.1016/0165-1684(96)00077-1.
• http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz

Para implementaciones:

• http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html (calculadoras gráficas TI-83+/84+)