En matemáticas, un conjunto η ( conjunto eta ) es un tipo de conjunto totalmente ordenado introducido por Hausdorff (1907, p. 126, 1914, capítulo 6 sección 8) que generaliza el tipo de orden η de los números racionales.
Si es un ordinal, entonces un conjunto es un conjunto totalmente ordenado en el que para cualesquiera dos subconjuntos y de cardinalidad menor que , si cada elemento de es menor que cada elemento de, entonces hay algún elemento mayor que todos los elementos de y menor que todos los elementos de .
El único conjunto η 0 contable no vacío (salvo isomorfismo) es el conjunto ordenado de números racionales.
Supóngase que κ = ℵ α es un cardinal regular y sea X el conjunto de todas las funciones f desde κ hasta {−1,0,1} tales que si f ( α ) = 0 entonces f ( β ) = 0 para todo β > α , ordenado lexicográficamente. Entonces X es un conjunto η α . La unión de todos estos conjuntos es la clase de los números surrealistas .
Un conjunto denso totalmente ordenado sin puntos finales es un conjunto η α si y sólo si está ℵ α saturado .
Cualquier conjunto η α X es universal para conjuntos totalmente ordenados de cardinalidad como máximo ℵ α , lo que significa que cualquier conjunto de este tipo puede incorporarse a X .
Para cualquier ordinal α dado, dos conjuntos η α cualesquiera de cardinalidad ℵ α son isomorfos (como conjuntos ordenados). Existe un conjunto η α de cardinalidad ℵ α si ℵ α es regular y Σ β < α 2 ℵ β ≤ ℵ α .
