Componentes simétricos

Método de simplificación del análisis de sistemas de potencia trifásicos desequilibrados.

En ingeniería eléctrica , el método de componentes simétricos simplifica el análisis de sistemas de energía trifásicos desequilibrados tanto en condiciones normales como anormales. La idea básica es que un conjunto asimétrico de N fasores se puede expresar como una combinación lineal de N conjuntos simétricos de fasores mediante una transformación lineal compleja . ^[1] El teorema de Fortescue (componentes simétricos) se basa en el principio de superposición , ^[2] por lo que es aplicable únicamente a sistemas de potencia lineales o a aproximaciones lineales de sistemas de potencia no lineales.

En el caso más común de los sistemas trifásicos, las componentes "simétricas" resultantes se denominan directa (o positiva ), inversa (o negativa ) y cero (u homopolar ). El análisis de un sistema de potencia es mucho más sencillo en el dominio de las componentes simétricas, porque las ecuaciones resultantes son linealmente independientes entre sí si el circuito en sí está equilibrado . ^[3]

Descripción

Conjunto de tres fasores desequilibrados y los componentes simétricos necesarios que se suman al gráfico resultante en la parte inferior.

En 1918, Charles Legeyt Fortescue presentó un artículo ^[4] que demostraba que cualquier conjunto de N fasores desequilibrados (es decir, cualquier señal polifásica ) podía expresarse como la suma de N conjuntos simétricos de fasores equilibrados, para valores de N que son primos. . Los fasores sólo representan un componente de frecuencia.

En 1943, Edith Clarke publicó un libro de texto que proporcionaba un método de uso de componentes simétricos para sistemas trifásicos que simplificaba enormemente los cálculos con respecto al artículo original de Fortescue. ^[5] En un sistema trifásico, un conjunto de fasores tiene la misma secuencia de fases que el sistema bajo estudio (secuencia positiva; digamos ABC), el segundo conjunto tiene la secuencia de fases inversa (secuencia negativa; ACB), y en el En el tercer conjunto, los fasores A, B y C están en fase entre sí ( secuencia cero , la señal de modo común ). Básicamente, este método convierte tres fases desequilibradas en tres fuentes independientes, lo que hace que el análisis de fallas asimétricas sea más manejable.

Al expandir un diagrama unifilar para mostrar las impedancias de secuencia positiva, secuencia negativa y secuencia cero de generadores , transformadores y otros dispositivos, incluidas líneas y cables aéreos , el análisis de condiciones de desequilibrio como una falla de cortocircuito de una sola línea a tierra es enormemente simplificado. La técnica también se puede extender a sistemas de fases de orden superior.

Físicamente, en un sistema trifásico, un conjunto de corrientes de secuencia positiva produce un campo giratorio normal, un conjunto de secuencia negativa produce un campo con rotación opuesta y el conjunto de secuencia cero produce un campo que oscila pero no gira entre los devanados de fase. Dado que estos efectos pueden detectarse físicamente con filtros de secuencia, la herramienta matemática se convirtió en la base para el diseño de relés de protección , que utilizaban voltajes y corrientes de secuencia negativa como un indicador confiable de las condiciones de falla. Dichos relés se pueden usar para disparar disyuntores o tomar otras medidas para proteger los sistemas eléctricos.

La técnica analítica fue adoptada y avanzada por ingenieros de General Electric y Westinghouse , y después de la Segunda Guerra Mundial se convirtió en un método aceptado para el análisis de fallas asimétricas.

Como se muestra en la figura de arriba a la derecha, los tres conjuntos de componentes simétricos (positivo, negativo y de secuencia cero) se suman para crear el sistema de tres fases desequilibradas como se muestra en la parte inferior del diagrama. El desequilibrio entre fases surge debido a la diferencia de magnitud y cambio de fase entre los conjuntos de vectores. Observe que los colores (rojo, azul y amarillo) de los vectores de secuencia separados corresponden a tres fases diferentes (A, B y C, por ejemplo). Para llegar al gráfico final, se calcula la suma de vectores de cada fase. Este vector resultante es la representación fasorial efectiva de esa fase en particular. Este proceso, repetido, produce el fasor para cada una de las tres fases.

El caso de las tres fases

Los componentes simétricos se utilizan con mayor frecuencia para el análisis de sistemas de energía eléctrica trifásicos . El voltaje o la corriente de un sistema trifásico en algún punto puede indicarse mediante tres fasores, llamados los tres componentes del voltaje o la corriente.

Este artículo analiza el voltaje; sin embargo, las mismas consideraciones también se aplican a la corriente. En un sistema de energía trifásico perfectamente equilibrado, los componentes fasoriales de voltaje tienen magnitudes iguales pero están separados por 120 grados. En un sistema desequilibrado, las magnitudes y fases de los componentes fasoriales de tensión son diferentes.

Descomponer los componentes fasoriales de voltaje en un conjunto de componentes simétricos ayuda a analizar el sistema y a visualizar cualquier desequilibrio. Si los tres componentes de voltaje se expresan como fasores (que son números complejos), se puede formar un vector complejo en el que los tres componentes de fase son los componentes del vector. Un vector para componentes de voltaje trifásico se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}}$

y descomponiendo el vector en tres componentes simétricos se obtiene

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}}$

donde los subíndices 0, 1 y 2 se refieren respectivamente a los componentes de secuencia cero, positiva y negativa. Los componentes de la secuencia se diferencian sólo por sus ángulos de fase, que son simétricos y, por tanto, radianes o 120°. ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{3}}\pi }$

una matriz

Defina un operador de rotación fasor , que gira un vector fasor en sentido contrario a las agujas del reloj 120 grados cuando se multiplica por él: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha \equiv e^{{\frac {2}{3}}\pi i}}$.

Tenga en cuenta que para que . ${\displaystyle \alpha ^{3}=1}$ ${\displaystyle \alpha ^{-1}=\alpha ^{2}}$

Los componentes de secuencia cero tienen igual magnitud y están en fase entre sí, por lo tanto:

${\displaystyle V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}}$,

y los otros componentes de la secuencia tienen la misma magnitud, pero sus ángulos de fase difieren en 120°. Si el conjunto original desequilibrado de fasores de voltaje tiene una secuencia de fases positiva o abc , entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}}$,

significa que

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}}$.

De este modo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\textbf {A}}\mathbf {v} _{012}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$

Si, en cambio, el conjunto original desequilibrado de fasores de tensión tiene una secuencia de fase negativa o acb , se puede derivar de manera similar la siguiente matriz:

${\displaystyle {\textbf {A}}_{acb}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

Descomposición

Los componentes de la secuencia se derivan de la ecuación de análisis.

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\textbf {A}}^{-1}\mathbf {v} _{abc}}$

dónde

${\displaystyle {\textbf {A}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

Las dos ecuaciones anteriores indican cómo derivar componentes simétricas correspondientes a un conjunto asimétrico de tres fasores:

• La secuencia 0 es un tercio de la suma de los tres fasores originales.
• La secuencia 1 es un tercio de la suma de los tres fasores originales girados en sentido antihorario 0°, 120° y 240°.
• La secuencia 2 es un tercio de la suma de los tres fasores originales girados en sentido antihorario 0°, 240° y 120°.

Visualmente, si los componentes originales son simétricos, las secuencias 0 y 2 formarán cada una un triángulo, sumando cero, y los componentes de la secuencia 1 sumarán una línea recta.

Intuición

Teorema de Napoleón: si los triángulos centrados en L , M y N son equiláteros, entonces también lo es el triángulo verde.

Los fasores forman un triángulo cerrado (por ejemplo, voltajes externos o voltajes de línea a línea). Para encontrar las componentes sincrónica e inversa de las fases, toma cualquier lado del triángulo exterior y dibuja los dos posibles triángulos equiláteros que comparten el lado seleccionado como base. Estos dos triángulos equiláteros representan un sistema sincrónico y otro inverso. ${\displaystyle \scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};\;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};\;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}}$

Si los fasores V fueran un sistema perfectamente sincrónico, el vértice del triángulo exterior que no está en la línea base estaría en la misma posición que el vértice correspondiente del triángulo equilátero que representa el sistema sincrónico. Cualquier cantidad de componente inverso significaría una desviación de esta posición. La desviación es exactamente 3 veces el componente de fase inversa.

La componente síncrona es igualmente 3 veces la desviación del "triángulo equilátero inverso". Las direcciones de estos componentes son correctas para la fase correspondiente. Parece contrario a la intuición que esto funcione para las tres fases independientemente del lado elegido, pero esa es la belleza de esta ilustración. El gráfico es del Teorema de Napoleón , que coincide con una técnica de cálculo gráfico que a veces aparece en libros de referencia más antiguos. ^[6]

Caso polifásico

Se puede ver que la matriz de transformación A anterior es una matriz DFT y, como tal, se pueden calcular componentes simétricos para cualquier sistema polifásico.

Contribución de armónicos a componentes simétricos en sistemas de potencia trifásicos.

Los armónicos a menudo ocurren en los sistemas de energía como consecuencia de cargas no lineales. Cada orden de armónicos contribuye a diferentes componentes de secuencia. Los fundamentales y los armónicos del orden contribuirán al componente de secuencia positiva. Los armónicos de orden contribuirán a la secuencia negativa. Los armónicos de orden contribuyen a la secuencia cero. ${\displaystyle \scriptstyle 3n+1}$ ${\displaystyle \scriptstyle 3n-1}$ ${\displaystyle \scriptstyle 3n}$

Tenga en cuenta que las reglas anteriores solo son aplicables si los valores de fase (o distorsión) en cada fase son exactamente iguales. Tenga en cuenta además que incluso los armónicos no son comunes en los sistemas de energía.

Consecuencia del componente de secuencia cero en los sistemas de potencia

La secuencia cero representa el componente de los fasores desequilibrados que es igual en magnitud y fase. Debido a que están en fase, las corrientes de secuencia cero que fluyen a través de una red de n fases sumarán n veces la magnitud de los componentes individuales de las corrientes de secuencia cero. En condiciones normales de funcionamiento, esta suma es lo suficientemente pequeña como para ser insignificante. Sin embargo, durante grandes eventos de secuencia cero, como la caída de un rayo, esta suma distinta de cero de corrientes puede hacer que fluya una corriente mayor a través del conductor neutro que los conductores de fase individuales. Debido a que los conductores neutros normalmente no son más grandes que los conductores de fase individuales y, a menudo, son más pequeños que estos conductores, un componente de secuencia cero grande puede provocar un sobrecalentamiento de los conductores neutros y provocar incendios.

Una forma de evitar grandes corrientes de secuencia cero es utilizar una conexión en triángulo, que aparece como un circuito abierto a las corrientes de secuencia cero. Por esta razón, la mayor parte de la transmisión y gran parte de la subtransmisión se implementan utilizando delta. Gran parte de la distribución también se implementa mediante delta, aunque en ocasiones los sistemas de distribución "antiguos" se han "convertido" (convertidos de delta a estrella ) para aumentar la capacidad de la línea a un bajo costo de conversión, pero a expensas de un mayor Costo del relé de protección de la estación central.

Ver también

• Simetría
• Transformación directa en cuadratura cero
• Transformación alfa-beta

Referencias

Notas

1. Hadjsaïd, Nouredine; Sabonnadière, Jean-Claude (2013). Sistemas Eléctricos y Reestructuración. John Wiley e hijos. pag. 244.ISBN​ 9781118599921.
2. Mathis, Wolfgang; Pauli, Rainer (1999). Teoremas de redes. Biblioteca en línea de Wiley. doi :10.1002/047134608X.W2507. ISBN 047134608X. […] los resultados de Fortescue […] se prueban mediante el teorema de superposición y, por esta razón, es imposible una generalización directa a redes no lineales.
3. Blackburn, J. Lewis (7 de junio de 1993). Componentes simétricos para ingeniería de sistemas de energía (1ª ed.). Nueva York: CRC Press. ISBN 978-0-8247-8767-7.
4. Charles L. Fortescue, "Método de coordenadas simétricas aplicado a la solución de redes polifásicas". Presentado en la 34ª convención anual del AIEE (Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos) en Atlantic City, Nueva Jersey, el 28 de junio de 1918. Publicado en: AIEE Transactions , vol. 37, parte II, páginas 1027-1140 (1918). Para conocer una breve historia de los primeros años de la teoría de componentes simétricos, consulte: J. Lewis Blackburn, Symmetrical Components for Power Engineering (Boca Raton, Florida: CRC Press, 1993), páginas 3–4.
5. Gabriele Kass-Simon, Patricia Farnes, Deborah Nash (ed), Mujeres de ciencia: corregir el récord , Indiana University Press, 1993, ISBN 0253208130 . páginas 164-168 
6. Wagner, CF; Evans, RD (1933). Componentes simétricos . Nueva York y Londres: McGraw Hill. pag. 265.

Bibliografía

• J. Lewis Blackburn Componentes simétricos para ingeniería de sistemas de energía , Marcel Dekker, Nueva York (1993). ISBN 0-8247-8767-6 
• William D. Stevenson, Jr. Elementos del análisis de sistemas de energía, tercera edición , McGraw-Hill , Nueva York (1975). ISBN 0-07-061285-4 . 
• Artículo histórico del IEEE sobre el desarrollo temprano de componentes simétricos, consultado el 12 de mayo de 2005.
• Westinghouse Corporation, Applied Protective Relaying , 1976, Westinghouse Corporation, sin ISBN, tarjeta de la Biblioteca del Congreso no. 76-8060: una referencia estándar sobre relés de protección electromecánicos