Corte de Dedekind

Método de construcción de los números reales

Dedekind utilizó su corte para construir los números reales irracionales .

En matemáticas , los cortes de Dedekind , llamados así por el matemático alemán Richard Dedekind (pero considerados previamente por Joseph Bertrand ^{[1] [2]} ), son un método de construcción de los números reales a partir de los números racionales . Un corte de Dedekind es una partición de los números racionales en dos conjuntos A y B , de modo que cada elemento de A es menor que cada elemento de B , y A no contiene ningún elemento mayor . El conjunto B puede tener o no un elemento más pequeño entre los racionales. Si B tiene un elemento más pequeño entre los racionales, el corte corresponde a ese racional. De lo contrario, ese corte define un número irracional único que, en términos generales, llena el "vacío" entre A y  B. ^[3] En otras palabras, A contiene todos los números racionales menores que el corte, y B contiene todos los números racionales mayores o iguales que el corte. Un corte irracional se equipara a un número irracional que no está en ninguno de los conjuntos. Cada número real, racional o no, se equipara a un solo corte de racionales. ^[3]

Los cortes de Dedekind se pueden generalizar a partir de los números racionales a cualquier conjunto totalmente ordenado definiendo un corte de Dedekind como una partición de un conjunto totalmente ordenado en dos partes no vacías A y B , de modo que A es cerrado hacia abajo (lo que significa que para todo a en A , x ≤ a implica que x también está en A ) y B es cerrado hacia arriba, y A no contiene ningún elemento mayor. Véase también completitud (teoría del orden) .

Es fácil demostrar que un corte de Dedekind entre los números reales está definido de manera única por el corte correspondiente entre los números racionales. De manera similar, cada corte de números reales es idéntico al corte producido por un número real específico (que puede identificarse como el elemento más pequeño del conjunto B ). En otras palabras, la línea numérica donde cada número real se define como un corte de Dedekind de números racionales es un continuo completo sin más espacios vacíos.

Definición

Un corte de Dedekind es una partición de los racionales en dos subconjuntos y tal que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A}$no está vacío.
2. ${\displaystyle A\neq \mathbb {Q} }$(equivalentemente, no está vacío). ${\displaystyle B}$
3. Si , , y , entonces . ( está "cerrado hacia abajo".) ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle A}$
4. Si , entonces existe un tal que . ( no contiene un elemento mayor.) ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle y>x}$ ${\displaystyle A}$

Al omitir los dos primeros requisitos, obtenemos formalmente la recta de números reales extendida .

Representaciones

Es más simétrico utilizar la notación ( A , B ) para los cortes de Dedekind, pero cada uno de A y B determina al otro. Puede ser una simplificación, en términos de notación, si no más, concentrarse en una "mitad" (por ejemplo, la inferior) y llamar "corte de Dedekind" a cualquier conjunto A cerrado hacia abajo sin el elemento más grande.

Si el conjunto ordenado S es completo, entonces, para cada corte de Dedekind ( A , B ) de S , el conjunto B debe tener un elemento mínimo b , por lo tanto debemos tener que A es el intervalo (−∞, b ), y B el intervalo [ b , +∞). En este caso, decimos que b está representado por el corte ( A , B ).

El objetivo principal del corte de Dedekind es trabajar con conjuntos de números que no están completos. El corte en sí mismo puede representar un número que no está en la colección original de números (generalmente números racionales ). El corte puede representar un número b , aunque los números contenidos en los dos conjuntos A y B no incluyan en realidad el número b que representa su corte.

Por ejemplo, si A y B solo contienen números racionales , aún se pueden cortar poniendo cada número racional negativo en A , junto con cada número racional no negativo cuyo cuadrado sea menor que 2; de manera similar, B contendría cada número racional positivo cuyo cuadrado sea mayor o igual a 2. Aunque no hay un valor racional para , si los números racionales se dividen en A y B de esta manera, la partición en sí misma representa un número irracional . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Ordenación de cortes

Considere un corte de Dedekind ( A , B ) como menor que otro corte de Dedekind ( C , D ) (del mismo superconjunto) si A es un subconjunto propio de C . De manera equivalente, si D es un subconjunto propio de B , el corte ( A , B ) es nuevamente menor que ( C , D ). De esta manera, la inclusión de conjuntos se puede utilizar para representar el ordenamiento de números, y todas las demás relaciones ( mayor que , menor o igual que , igual a , etc.) se pueden crear de manera similar a partir de relaciones de conjuntos.

El conjunto de todos los cortes de Dedekind es en sí mismo un conjunto (de conjuntos) ordenado linealmente. Además, el conjunto de cortes de Dedekind tiene la propiedad de límite superior mínimo , es decir, cada subconjunto no vacío de él que tenga algún límite superior tiene un límite superior mínimo . Por lo tanto, construir el conjunto de cortes de Dedekind sirve para el propósito de incrustar el conjunto ordenado original S , que podría no haber tenido la propiedad de límite superior mínimo, dentro de un conjunto ordenado linealmente (generalmente más grande) que sí tiene esta propiedad útil.

Construcción de los números reales

Un corte típico de Dedekind de los números racionales viene dado por la partición con ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (A,B)}$

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},}$

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ and }}b\geq 0\}.}$^[4]

Este corte representa el número irracional en la construcción de Dedekind. La idea esencial es que utilizamos un conjunto , que es el conjunto de todos los números racionales cuyos cuadrados son menores que 2, para "representar" el número , y además, al definir correctamente los operadores aritméticos sobre estos conjuntos (suma, resta, multiplicación y división), estos conjuntos (junto con estas operaciones aritméticas) forman los conocidos números reales. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Para establecer esto, hay que demostrar que realmente es un corte (según la definición) y el cuadrado de , es decir (consulte el enlace anterior para la definición precisa de cómo se define la multiplicación de cortes), es (nótese que rigurosamente hablando este número 2 está representado por un corte ). Para demostrar la primera parte, demostramos que para cualquier racional positivo con , existe un racional con y . La elección funciona, por lo tanto es de hecho un corte. Ahora armados con la multiplicación entre cortes, es fácil comprobar que (esencialmente, esto es porque ). Por lo tanto, para demostrar que , demostramos que , y basta con demostrar que para cualquier , existe , . Para esto notamos que si , entonces para lo construido anteriormente, esto significa que tenemos una secuencia en cuyo cuadrado puede llegar a ser arbitrariamente cercano a , lo que termina la demostración. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}<2}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y^{2}<2}$ ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ ${\displaystyle x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0}$ ${\displaystyle A\times A=2}$ ${\displaystyle A\times A\geq 2}$ ${\displaystyle r<2}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x^{2}>r}$ ${\displaystyle x>0,2-x^{2}=\epsilon >0}$ ${\displaystyle 2-y^{2}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2}$

Nótese que la igualdad b ²  = 2 no puede cumplirse ya que no es racional . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Relación con la aritmética de intervalos

Dado un corte de Dedekind que representa el número real dividiendo los racionales en donde los racionales en son menores que y los racionales en son mayores que , se puede representar de manera equivalente como el conjunto de pares con y , con el corte inferior y el corte superior dados por proyecciones. Esto corresponde exactamente al conjunto de intervalos que se aproximan a . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle r}$

Esto permite que las operaciones aritméticas básicas sobre los números reales se definan en términos de aritmética de intervalos . Esta propiedad y su relación con los números reales se dan solo en términos de y es particularmente importante en fundamentos más débiles como el análisis constructivo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Generalizaciones

Conjuntos arbitrarios ordenados linealmente

En el caso general de un conjunto linealmente ordenado arbitrario X , un corte es un par tal que y , implican . Algunos autores añaden el requisito de que tanto A como B sean no vacíos. ^[5] ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A\cup B=X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a<b}$

Si ni A tiene un máximo ni B tiene un mínimo, el corte se llama brecha . Un conjunto ordenado linealmente dotado de la topología de orden es compacto si y solo si no tiene brecha. ^[6]

Números surrealistas

Para la construcción de números surrealistas (entre muchas posibles) se utiliza una construcción similar a los cortes de Dedekind . La noción relevante en este caso es el corte de Cuesta-Dutari, ^[7] llamado así por el matemático español Norberto Cuesta Dutari  [es] .

Conjuntos parcialmente ordenados

De manera más general, si S es un conjunto parcialmente ordenado , una completitud de S significa una red completa L con una incrustación de orden de S en L. La noción de red completa generaliza la propiedad de límite superior mínimo de los números reales.

Una completitud de S es el conjunto de sus subconjuntos cerrados hacia abajo , ordenados por inclusión . Una completitud relacionada que preserva todos los sups e infs existentes de S se obtiene mediante la siguiente construcción: Para cada subconjunto A de S , sea A ^u el conjunto de límites superiores de A , y sea A ^l el conjunto de límites inferiores de A. (Estos operadores forman una conexión de Galois ). Entonces, la completitud de Dedekind-MacNeille de S consiste en todos los subconjuntos A para los cuales ( A ^u ) ^l = A ; está ordenada por inclusión. La completitud de Dedekind-MacNeille es la red completa más pequeña con S incrustado en ella.

Notas

1. Bertrand, Joseph (1849). Traité d'Arithmétique. página 203. Un número inconmensurable sólo puede definirse indicando cómo la magnitud que expresa puede formarse por medio de la unidad. En lo que sigue, suponemos que esta definición consiste en indicar cuáles son los números conmensurables menores o mayores que él...
2. Spalt, Detlef (2019). Eine kurze Geschichte der Analysis . Saltador. doi :10.1007/978-3-662-57816-2. ISBN 978-3-662-57815-5.
3. Dedekind, Richard (1872). Continuidad y números irracionales (PDF) . Sección IV. Siempre que nos encontramos ante un corte producido por un número no racional, creamos un nuevo número irracional , que consideramos completamente definido por este corte... . De ahora en adelante, por lo tanto, a cada corte definido corresponde un número racional o irracional definido...
4. En la segunda línea, puede reemplazarse por sin ninguna diferencia ya que no hay solución para in y ya está prohibido por la primera condición. Esto da como resultado la expresión equivalente ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle x^{2}=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle b=0}$

   ${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}>2{\text{ and }}b>0\}.}$

5. R. Engelking, Topología general, I.3
6. Jun-Iti Nagata, Topología general moderna, segunda edición revisada, Teorema VIII.2, pág. 461. En realidad, el teorema se cumple en el contexto de espacios ordenados generalizados, pero en este contexto más general se deben tener en cuenta los pseudo-huecos.
7. Alling, Norman L. (1987). Fundamentos del análisis sobre campos numéricos surrealistas . Estudios matemáticos 141. Holanda del Norte. ISBN 0-444-70226-1.

Referencias

• Dedekind, Richard, Ensayos sobre la teoría de los números , "Continuidad y números irracionales", Dover Publications: Nueva York, ISBN 0-486-21010-3 . También disponible en Project Gutenberg. 

Enlaces externos

• "Corte de Dedekind", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]