Modelo de colapso esférico

Modelo de formación de halos de materia oscura

El modelo de colapso esférico describe la evolución de materia casi homogénea en el Universo temprano hacia estructuras virializadas colapsadas: halos de materia oscura . Este modelo supone que los halos son esféricos y están dominados por la gravedad, lo que conduce a una solución analítica para varias de las propiedades de los halos, como la densidad y el radio a lo largo del tiempo. ^{[1] [2] [3]}

El marco para el colapso esférico fue desarrollado por primera vez para describir la caída de materia en cúmulos de galaxias . ^[4] En ese momento, a principios de la década de 1970, todavía se estaban recopilando pruebas astronómicas de la materia oscura y se creía que el Universo estaba dominado por materia ordinaria y visible. Sin embargo, ahora se piensa que la materia oscura es la especie dominante de materia.

Derivación y ecuaciones clave

El escenario más simple de formación de un halo implica tomar una zona esférica lo suficientemente densa, que llamamos protohalo (p. ej., Descjacques et al. 2018), ^[5] del Universo temprano y rastrear su evolución bajo el efecto de su propia gravedad. Una vez que el protohalo ha colapsado y virializado, se convierte en un halo.

Como la materia fuera de esta esfera es esféricamente simétrica, podemos aplicar el teorema de las capas de Newton o el teorema de Birkhoff (para una descripción más general), de modo que las fuerzas externas tengan un promedio de cero y podamos tratar el protohalo como aislado del resto del Universo. El protohalo tiene una densidad , una masa y un radio (dados en coordenadas físicas ) que están relacionados por . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho =M/(4\pi r^{3}/3)}$

Para modelar el colapso de la región esférica, podemos utilizar la ley de Newton o la segunda ecuación de Friedmann , obteniendo

${\displaystyle {\ddot {r}}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}~.}$

El efecto de la expansión acelerada del Universo se puede incluir si se desea, pero es un efecto subdominante.

La ecuación anterior admite la solución explícita ^[6]

${\displaystyle r(t)=r_{0}~Q\left(1-{\frac {t}{t_{\text{ff}}}};{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right)~,}$

donde es el radio máximo, que se supone que ocurre en el momento , y es la función cuantil de la distribución Beta , también conocida como la función inversa de la función beta incompleta regularizada . El tiempo ${\displaystyle r_{0}=r(0)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle Q(x;\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle t_{\text{ff}}=\pi {\sqrt {\frac {r_{0}^{3}}{8GM}}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho _{0}}}}~,}$

es el tiempo de caída libre , donde . ${\displaystyle r(t_{\text{ff}})=0}$

Mucho antes de la derivación de esta solución explícita, se sabía que la ecuación de colapso esférico admitía una solución paramétrica ^[7].

${\displaystyle r(\theta )=A(1-\cos \theta )~,\qquad t(\theta )=B(\theta -\sin \theta )~,}$

en términos de un parámetro . El origen del tiempo, , ahora ocurre en un radio que se desvanece, y el tiempo aumenta al aumentar . Los coeficientes están dados por los contenidos de energía de la esfera (cf. ecuación 5.89 en Dodelson et al.). ^[2] Inicialmente la esfera se expande al ritmo del Universo ( ), pero luego se desacelera, gira ( ), y finalmente colapsa ( ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$

Si dividimos la densidad en un fondo y una perturbación por , podemos resolver la perturbación completamente no lineal. ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \rho (\theta )={\bar {\rho }}\left[1+\delta (\theta )\right]}$

${\displaystyle 1+\delta ={\frac {9}{2}}{\frac {(\theta -\sin \theta )^{2}}{(1-\cos \theta )^{3}}}~.}$

Inicialmente , en el punto de retorno , y en el colapso . ${\displaystyle \delta =0}$ ${\displaystyle \delta \approx 4.55}$ ${\displaystyle \delta =\infty }$

Alternativamente, si se consideran perturbaciones lineales, o equivalentemente tiempos pequeños , la ecuación anterior nos da una expresión para perturbaciones lineales ${\displaystyle \theta \ll 1}$

${\displaystyle \delta _{L}={\frac {3}{20}}\theta ^{2}~.}$

Podemos extrapolar entonces la perturbación lineal a regímenes no lineales (más adelante se explicará más sobre la utilidad de esto). En el giro y en el colapso obtenemos el umbral de colapso esférico ${\displaystyle \delta _{L}=1.06}$

${\displaystyle \delta _{L}\approx 1.69~.}$

Aunque el halo no tiene físicamente una sobredensidad de 1,69 en el momento del colapso, el umbral de colapso anterior es útil. Nos indica que, si modelamos el campo de densidad inicial (lineal) y lo extrapolamos al futuro, cualquier lugar que pueda considerarse una región en colapso formará un halo. ${\displaystyle \delta _{L}\geq 1.69}$

Véase también

• Formación y evolución de las galaxias
• Formalismo Press-Schechter – Modelo matemático utilizado para predecir el número de halos de materia oscura de una determinada masa.

Referencias

1. Barkana, Rennan (2018). La enciclopedia de cosmología, volumen 1: Formación y evolución de galaxias. Vol. 2. World Scientific. doi :10.1142/9496. ISBN 9789814656221.
2. Dodelson, Scott; Schmidt, Fabian (2021). Cosmología moderna (2.ª ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-815948-4.
3. Baumann, Daniel (2022). Cosmología. Cambridge University Press. Bibcode :2022cosm.book.....B. doi :10.1017/9781108937092. ISBN 9781108838078.
4. Gunn, James E.; Gott III, J. Richard (1972). "Sobre la caída de materia en cúmulos de galaxias y algunos efectos en su evolución". La revista astrofísica . 176 : 1–19. Código bibliográfico : 1972ApJ...176....1G. doi : 10.1086/151605 .
5. Desjacques, Vincent; Jeong, Donghui; Schmidt, Fabian (2018). "Sesgo de galaxias a gran escala". Physics Reports . 733 : 1–193. arXiv : 1611.09787 . Código Bibliográfico :2018PhR...733....1D. doi :10.1016/j.physrep.2017.12.002.
6. Obreschkow, Danail (7 de junio de 2024). "De la cavitación a la astrofísica: solución explícita de la ecuación de colapso esférico". Phys. Rev. E . 109 (6): 065102. arXiv : 2401.05445 . doi :10.1103/PhysRevE.109.065102.
7. Lin, CC; Mestel, L.; Shu, FH (noviembre de 1965). "El colapso gravitacional de un esferoide uniforme". Astrophysical Journal . 142 : 1431. doi :10.1086/148428.