El aprendizaje de DeGroot

Proceso de aprendizaje social

El aprendizaje de DeGroot se refiere a un proceso de aprendizaje social de tipo empírico. La idea fue enunciada en su forma general por el estadístico estadounidense Morris H. DeGroot ; ^[1] los antecedentes fueron articulados por John RP French ^[2] y Frank Harary. ^[3] El modelo se ha utilizado en física , informática y, más ampliamente, en la teoría de redes sociales . ^{[4] [5]}

Configuración y proceso de aprendizaje

Tomemos una sociedad de agentes donde todos tienen una opinión sobre un tema, representada por un vector de probabilidades . Los agentes no obtienen información nueva en base a la cual puedan actualizar sus opiniones, pero se comunican con otros agentes. Los vínculos entre los agentes (quién sabe quién) y el peso que le dan a las opiniones de los demás se representan mediante una matriz de confianza donde es el peso que el agente le da a la opinión del agente. La matriz de confianza está, por lo tanto, en una relación uno a uno con un grafo dirigido ponderado donde hay una arista entre y si y solo si . La matriz de confianza es estocástica , sus filas consisten en números reales no negativos, y cada fila suma 1. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p(0)=(p_{1}(0),\dots ,p_{n}(0))}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle T_{ij}>0}$

Formalmente, las creencias se actualizan en cada período como

${\displaystyle p(t)=Tp(t-1)}$

Así que las opiniones del período 5 están relacionadas con las opiniones iniciales de ${\displaystyle t}$

${\displaystyle p(t)=T^{t}p(0)}$

Convergencia de creencias y consenso

Una pregunta importante es si las creencias convergen hacia un límite y entre sí en el largo plazo. Como la matriz de confianza es estocástica , los resultados estándar de la teoría de cadenas de Markov se pueden utilizar para indicar las condiciones en las que el límite

${\displaystyle p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)}$

existe para cualquier creencia inicial . Los siguientes casos se tratan en Golub y Jackson ^[6] (2010). ${\displaystyle p(0)\in [0,1]^{n}}$

Caso fuertemente conectado

Si el gráfico de la red social (representado por la matriz de confianza) está fuertemente conectado , la convergencia de creencias es equivalente a cada una de las siguientes propiedades:

• El gráfico representado por es aperiódico ${\displaystyle T}$
• hay un vector propio izquierdo único de correspondiente al valor propio 1 cuyas entradas suman 1 tal que, para cada , para cada donde denota el producto escalar . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p\in [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \left(\lim _{t\to \infty }T^{t}p\right)_{i}=s\cdot p}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \cdot }$

La equivalencia entre los dos últimos es una consecuencia directa del teorema de Perron-Frobenius .

Caso general

No es necesario tener una red social fuertemente conectada para tener creencias convergentes, sin embargo, la igualdad de creencias limitantes no se mantiene en general.

Decimos que un grupo de agentes es cerrado si para cualquier , solo si . Las creencias son convergentes si y solo si cada conjunto de nodos (que representan individuos) que está fuertemente conectado y cerrado también es aperiódico . ${\displaystyle C\subseteq \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle i\in C}$ ${\displaystyle T_{ij}>0}$ ${\displaystyle j\in C}$

Consenso

Se dice que un grupo de individuos llega a un consenso si, para cualquier cosa , esto significa que, como resultado del proceso de aprendizaje, en el límite tienen la misma creencia sobre el tema. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p_{i}(\infty )=p_{j}(\infty )}$ ${\displaystyle i,j\in C}$

En una red fuertemente conectada y aperiódica, todo el grupo llega a un consenso. En general, cualquier grupo de individuos fuertemente conectado y cerrado llega a un consenso para cada vector inicial de creencias si y sólo si es aperiódico. Si, por ejemplo, hay dos grupos que satisfacen estos supuestos, llegan a un consenso dentro de los grupos, pero no necesariamente hay un consenso a nivel de la sociedad. ${\displaystyle C}$

Influencia social

Tomemos una red social fuertemente conectada y aperiódica . En este caso, la creencia limitante común está determinada por las creencias iniciales a través de

${\displaystyle p(\infty )=s\cdot p(0)}$

donde es el vector propio izquierdo de longitud unitaria única de correspondiente al valor propio 1. El vector muestra los pesos que los agentes asignan a las creencias iniciales de los demás en el límite de consenso. Por lo tanto, cuanto mayor sea , mayor influencia tiene el individuo en la creencia de consenso. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle i}$

La propiedad del vector propio implica que ${\displaystyle s=sT}$

${\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}T_{ji}s_{j}}$

Esto significa que la influencia de es un promedio ponderado de la influencia de aquellos agentes que prestan atención a , con ponderaciones de su nivel de confianza. Por lo tanto, los agentes influyentes se caracterizan por ser confiables para otros individuos con alta influencia. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle i}$

Ejemplos

Estos ejemplos aparecen en Jackson ^[4] (2008).

Convergencia de creencias

Una sociedad con creencias convergentes

Consideremos una sociedad de tres individuos con la siguiente matriz de confianza:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$

Por lo tanto, la primera persona pondera por igual las creencias de las otras dos, mientras que la segunda escucha solo a la primera y la tercera solo al segundo individuo. Para esta estructura de confianza social, el límite existe y es igual.

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)=\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}\right)p(0)={\begin{pmatrix}2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\\end{pmatrix}}p(0)}$

Por lo tanto, el vector de influencia es y la creencia de consenso es . En otras palabras, independientemente de las creencias iniciales, los individuos llegan a un consenso en el que la creencia inicial de la primera y la segunda persona tiene el doble de influencia que la de la tercera. ${\displaystyle s=\left(2/5,2/5,1/5\right)}$ ${\displaystyle 2/5p_{1}(0)+2/5p_{2}(0)+1/5p_{3}(0)}$

Creencias no convergentes

Una sociedad con creencias no convergentes

Si cambiamos el ejemplo anterior de forma que la tercera persona también escuche exclusivamente a la primera, tenemos la siguiente matriz de confianza:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

En este caso para cualquiera que tengamos ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle T^{2k-1}={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle T^{2k}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}}$

Por lo tanto, no existe y las creencias no convergen en el límite. Intuitivamente, 1 se actualiza en función de las creencias de 2 y 3, mientras que 2 y 3 se actualizan únicamente en función de la creencia de 1, por lo que intercambian sus creencias en cada período. ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}}$

Propiedades asintóticas en grandes sociedades: sabiduría

Es posible examinar el resultado del proceso de aprendizaje de DeGroot en sociedades grandes, es decir, en el límite. ${\displaystyle n\to \infty }$

Sea el tema sobre el que la gente tiene opiniones un "estado verdadero" . Supongamos que los individuos tienen señales ruidosas independientes de (ahora el superíndice se refiere al tiempo, el argumento al tamaño de la sociedad). Supongamos que para todos la matriz de confianza es tal que las creencias limitantes existen independientemente de las creencias iniciales. Entonces la secuencia de sociedades se llama sabia si ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$ ${\displaystyle p_{i}^{(0)}(n)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T(n)}$ ${\displaystyle p_{i}^{(\infty )}(n)}$ ${\displaystyle \left(T(n)\right)_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \max _{i\leq n}|p_{i}^{(\infty )}-\mu |{\xrightarrow {\ p\ }}0}$

donde denota convergencia en probabilidad . Esto significa que si la sociedad crece sin límites, con el tiempo tendrá una creencia común y precisa sobre el tema incierto. ${\displaystyle {\xrightarrow {\ p\ }}}$

Una condición necesaria y suficiente para la sabiduría se puede dar con la ayuda de vectores de influencia. Una secuencia de sociedades es sabia si y sólo si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{i\leq n}s_{i}(n)=0}$

Es decir, la sociedad es sabia precisamente cuando la influencia del individuo más influyente desaparece en el límite de la sociedad en general. Para una caracterización más detallada y ejemplos, véase Golub y Jackson ^[6] (2010).

Referencias

1. DeGroot, Morris H. 1974. “Llegar a un consenso”. Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística , 69(345): 118–21.
2. French, John RP 1956. “Una teoría formal del poder social” Psychological Review , 63: 181–94.
3. Harary, Frank. 1959. “Un criterio de unanimidad en la teoría del poder social de French” en Dorwin Cartwright (ed.), Estudios en poder social , Ann Arbor, MI: Instituto de Investigación Social.
4. Jackson, Matthew O. 2008. Redes sociales y económicas. Princeton University Press.
5. Koley, Gaurav; Deshmukh, Jayati; Srinivasa, Srinath (2020). "Capital social como compromiso y revisión de creencias". En Aref, Samin; Bontcheva, Kalina; Braghieri, Marco; Dignum, Frank; Giannotti, Fosca; Grisolia, Francesco; Pedreschi, Dino (eds.). Informática Social . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 12467. Cham: Editorial Internacional Springer. págs. 137-151. doi :10.1007/978-3-030-60975-7_11. ISBN 978-3-030-60975-7.ID S2C  222233101.
6. Golub, Benjamin y Matthew O. Jackson 2010. "Aprendizaje ingenuo en redes sociales y la sabiduría de las multitudes", American Economic Journal: Microeconomics, American Economic Association, vol. 2(1), páginas 112-49, febrero.