Inestabilidad de Weibel

La inestabilidad de Weibel es una inestabilidad del plasma presente en plasmas electromagnéticos homogéneos o casi homogéneos que poseen una anisotropía en el espacio de momento (velocidad). Esta anisotropía se entiende más generalmente como dos temperaturas en diferentes direcciones. Burton Fried demostró que esta inestabilidad puede entenderse más simplemente como la superposición de muchos haces que se contraen. En este sentido, es como la inestabilidad de dos corrientes, excepto que las perturbaciones son electromagnéticas y dan lugar a la filamentación, a diferencia de las perturbaciones electrostáticas que darían lugar a la acumulación de carga. En el límite lineal, la inestabilidad provoca un crecimiento exponencial de los campos electromagnéticos en el plasma que ayudan a restablecer la isotropía del espacio de momento. En casos muy extremos, la inestabilidad de Weibel está relacionada con inestabilidades de corriente unidimensionales o bidimensionales .

Consideremos un plasma de iones de electrones en el que los iones están fijos y los electrones están más calientes en la dirección y que en la dirección x o z.

Para ver cómo crece la perturbación del campo magnético, supongamos que surge espontáneamente un campo B = B cos kx a partir del ruido. La fuerza de Lorentz curva entonces las trayectorias de los electrones, con el resultado de que los electrones B que se mueven hacia arriba se congregan en B y los que se mueven hacia abajo en A. Las capas de corriente resultantes generan un campo magnético que mejora el campo original y, por lo tanto, la perturbación crece. ${\displaystyle j=-env_{e}}$

La inestabilidad de Weibel también es común en los plasmas astrofísicos, como en la formación de choques sin colisión en remanentes de supernovas y estallidos de rayos β. ${\displaystyle \gamma }$

Un ejemplo sencillo de inestabilidad de Weibel

Como ejemplo simple de inestabilidad de Weibel, considere un haz de electrones con densidad y velocidad inicial propagándose en un plasma de densidad con velocidad . El análisis a continuación mostrará cómo una perturbación electromagnética en forma de onda plana da lugar a una inestabilidad de Weibel en este sistema de plasma anisotrópico simple. Supongamos un plasma no relativista para simplificar. ${\displaystyle n_{b0}}$ ${\displaystyle v_{0}\mathbf {z} }$ ${\displaystyle n_{p0}=n_{b0}}$ ${\displaystyle -v_{0}\mathbf {z} }$

Suponemos que no hay campo eléctrico o magnético de fondo, es decir . La perturbación se tomará como una onda electromagnética que se propaga a lo largo de ie . Supongamos que el campo eléctrico tiene la forma ${\displaystyle \mathbf {B_{0}} =\mathbf {E_{0}} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} =k\mathbf {\hat {x}} }$

${\displaystyle \mathbf {E_{1}} =Ae^{i(kx-\omega t)}\mathbf {z} }$

Con la dependencia espacial y temporal asumida, podemos usar y . A partir de la Ley de Faraday, podemos obtener el campo magnético de perturbación ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rightarrow -i\omega }$ ${\displaystyle \nabla \rightarrow ik\mathbf {\hat {x}} }$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E_{1}} =-{\frac {\partial \mathbf {B_{1}} }{\partial t}}\Rightarrow i\mathbf {k} \times \mathbf {E_{1}} =i\omega \mathbf {B_{1}} \Rightarrow \mathbf {B_{1}} =\mathbf {\hat {y}} {\frac {k}{\omega }}E_{1}}$

Consideremos el haz de electrones. Suponemos pequeñas perturbaciones y, por lo tanto, linealizamos la velocidad y la densidad . El objetivo es encontrar la densidad de corriente del haz de electrones de perturbación. ${\displaystyle \mathbf {v_{b}} =\mathbf {v_{b0}} +\mathbf {v_{b1}} }$ ${\displaystyle n_{b}=n_{b0}+n_{b1}}$

${\displaystyle \mathbf {J_{b1}} =-en_{b}\mathbf {v_{b}} =-en_{b0}\mathbf {v_{b1}} -en_{b1}\mathbf {v_{b0}} }$

donde se han descuidado los términos de segundo orden. Para ello, comenzamos con la ecuación del momento del fluido para el haz de electrones.

${\displaystyle m({\frac {\partial \mathbf {v_{b}} }{\partial t}}+(\mathbf {v_{b}} \cdot \nabla )\mathbf {v_{b}} )=-e\mathbf {E} -e\mathbf {v_{b}} \times \mathbf {B} }$

que se puede simplificar teniendo en cuenta que y descuidando los términos de segundo orden. Con el supuesto de onda plana para las derivadas, la ecuación de momento se convierte en ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v_{b0}} }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {v_{b0}} =0}$

${\displaystyle -i\omega m\mathbf {v_{b1}} =-e\mathbf {E_{1}} -e\mathbf {v_{b0}} \times \mathbf {B_{1}} }$

Podemos descomponer las ecuaciones anteriores en componentes, prestando atención al producto vectorial en el extremo derecho, y obtener los componentes distintos de cero de la perturbación de la velocidad del haz:

${\displaystyle v_{b1z}={\frac {eE_{1}}{mi\omega }}}$

${\displaystyle v_{b1x}={\frac {eE_{1}}{mi\omega }}{\frac {kv_{b0}}{\omega }}}$

Para encontrar la densidad de perturbación , utilizamos la ecuación de continuidad del fluido para el haz de electrones. ${\displaystyle n_{b1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{b}}{\partial t}}+\nabla \cdot (n_{b}\mathbf {v_{b}} )=0}$

que puede simplificarse nuevamente teniendo en cuenta que y descuidando los términos de segundo orden. El resultado es ${\displaystyle {\frac {\partial n_{b0}}{\partial t}}=\nabla n_{b0}=0}$

${\displaystyle n_{b1}=n_{b0}{\frac {k}{\omega }}v_{b1x}}$

Utilizando estos resultados, podemos utilizar la ecuación para la densidad de corriente de perturbación del haz dada anteriormente para encontrar

${\displaystyle J_{b1x}=-n_{b0}e^{2}E_{1}{\frac {kv_{b0}}{im\omega ^{2}}}}$

${\displaystyle J_{b1z}=-n_{b0}e^{2}E_{1}{\frac {1}{im\omega }}(1+{\frac {k^{2}v_{b0}^{2}}{\omega ^{2}}})}$

Se pueden escribir expresiones análogas para la densidad de corriente de perturbación del plasma que se mueve hacia la izquierda. Al observar que el componente x de la densidad de corriente de perturbación es proporcional a , vemos que con nuestras suposiciones para las densidades y velocidades no perturbadas del haz y del plasma, el componente x de la densidad de corriente neta desaparecerá, mientras que los componentes z, que son proporcionales a , se sumarán. Por lo tanto, la perturbación de la densidad de corriente neta es ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {J_{1}} =-2n_{b0}e^{2}E_{1}{\frac {1}{im\omega }}(1+{\frac {k^{2}v_{b0}^{2}}{\omega ^{2}}})\mathbf {\hat {z}} }$

La relación de dispersión ahora se puede encontrar a partir de las ecuaciones de Maxwell:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E_{1}} =i\omega \mathbf {B_{1}} }$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B_{1}} =\mu _{0}\mathbf {J_{1}} -i\omega \epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E_{1}} }$

${\displaystyle \Rightarrow \nabla \times \nabla \times \mathbf {E_{1}} =-\nabla ^{2}\mathbf {E_{1}} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E_{1}} )=k^{2}\mathbf {E_{1}} +i\mathbf {k} (i\mathbf {k} \cdot \mathbf {E_{1}} )=k^{2}\mathbf {E_{1}} =i\omega \nabla \times \mathbf {B_{1}} ={\frac {i\omega }{c^{2}\epsilon _{0}}}\mathbf {J_{1}} +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\mathbf {E_{1}} }$

donde es la velocidad de la luz en el espacio libre. Al definir la frecuencia efectiva del plasma , la ecuación anterior da como resultado ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}}$ ${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {2n_{b0}e^{2}}{\epsilon _{0}m}}}$

${\displaystyle k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {\omega _{p}^{2}}{c^{2}}}(1+{\frac {k^{2}v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}})\Rightarrow \omega ^{4}-\omega ^{2}(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})-\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}=0}$

Esta ecuación bicuadrática se puede resolver fácilmente para obtener la relación de dispersión

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {1}{2}}(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2}\pm {\sqrt {(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}+4\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}})}$

En la búsqueda de inestabilidades, buscamos que ( se supone real). Por lo tanto, debemos tomar la relación/moda de dispersión correspondiente al signo menos en la ecuación anterior. ${\displaystyle Im(\omega )\neq 0}$ ${\displaystyle k}$

Para comprender mejor la inestabilidad, es útil aprovechar nuestra suposición no relativista para simplificar el término de raíz cuadrada, observando que ${\displaystyle v_{0}<<c}$

${\displaystyle {\sqrt {(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}+4\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}}=(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})(1+{\frac {4\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}}})^{1/2}\approx (\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})(1+{\frac {2\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}}})}$

La relación de dispersión resultante es entonces mucho más simple.

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2}}}<0}$

${\displaystyle \omega }$Es puramente imaginario. Escribir ${\displaystyle \omega =i\gamma }$

${\displaystyle \gamma ={\frac {\omega _{p}kv_{0}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{1/2}}}=\omega _{p}{\frac {v_{0}}{c}}{\frac {1}{(1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{k^{2}c^{2}}})^{1/2}}}}$

vemos que , efectivamente, corresponde a una inestabilidad. ${\displaystyle Im(\omega )>0}$

Los campos electromagnéticos tienen entonces la forma

${\displaystyle \mathbf {E_{1}} =A\mathbf {\hat {z}} e^{\gamma t}e^{ikx}}$

${\displaystyle \mathbf {B_{1}} =\mathbf {\hat {y}} {\frac {k}{\omega }}E_{1}=\mathbf {\hat {y}} {\frac {k}{i\gamma }}Ae^{\gamma t}e^{ikx}}$

Por lo tanto, los campos eléctrico y magnético están desfasados, y al observar que ${\displaystyle 90^{o}}$

${\displaystyle {\frac {|B_{1}|}{|E_{1}|}}={\frac {k}{\gamma }}\propto {\frac {c}{v_{0}}}>>1}$

De modo que vemos que se trata de una perturbación principalmente magnética, aunque hay una perturbación eléctrica distinta de cero. El crecimiento del campo magnético da como resultado la estructura de filamentación característica de la inestabilidad de Weibel. La saturación se producirá cuando la tasa de crecimiento sea del orden de la frecuencia del ciclotrón electrónico. ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma \sim \omega _{p}{\frac {v_{0}}{c}}\sim \omega _{c}\Rightarrow B\sim {\frac {m}{e}}\omega _{p}{\frac {v_{0}}{c}}}$

Referencias

• Weibel, Erich S. (1959-02-01). "Ondas transversales de crecimiento espontáneo en un plasma debido a una distribución de velocidad anisotrópica". Physical Review Letters . 2 (3). American Physical Society (APS): 83–84. Bibcode :1959PhRvL...2...83W. doi :10.1103/physrevlett.2.83. ISSN  0031-9007.
• Fried, Burton D. (1959). "Mecanismo de inestabilidad de ondas de plasma transversales". Física de fluidos . 2 (3). AIP Publishing: 337. Bibcode :1959PhFl....2..337F. doi :10.1063/1.1705933. ISSN  0031-9171.
• Conferencia [1]

Véase también

• Inestabilidad cromo-Weibel