Norma de sombra

En matemáticas , específicamente en el análisis funcional , la norma de Schatten (o norma de Schatten-von-Neumann ) surge como una generalización de la p -integrabilidad similar a la norma de clase traza y la norma de Hilbert-Schmidt .

Definición

Sean , espacios de Hilbert y un operador acotado (lineal) de a . Para , defina la p -norma de Schatten de como ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \|T\|_{p}=[\operatorname {Tr} (|T|^{p})]^{1/p},}$

donde , utilizando el operador raíz cuadrada . ${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$

Si son compactos y son separables, entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{1},\,H_{2}}$

${\displaystyle \|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}}$

para los valores singulares de , es decir, los valores propios del operador hermítico . ${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$

Propiedades

A continuación, ampliamos formalmente el rango de to con la convención de que es la norma del operador. El índice dual to es entonces . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle q=1}$

• Las normas de Schatten son unitariamente invariantes: para los operadores unitarios y y , ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$

${\displaystyle \|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.}$

• Satisfacen la desigualdad de Hölder : para todos y tales que , y operadores definidos entre espacios de Hilbert y respectivamente, ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2},}$ ${\displaystyle H_{3}}$

${\displaystyle \|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.}$

Si satisface , entonces tenemos ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$

${\displaystyle \|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}}$.

La última versión de la desigualdad de Hölder se demuestra con mayor generalidad (para espacios no conmutativos en lugar de clases de Schatten-p) en ^[1] (para matrices, el último resultado se encuentra en ^[2] .) ${\displaystyle L^{p}}$

• Submultiplicatividad: Para todos los operadores y definidos entre espacios de Hilbert y respectivamente, ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2},}$ ${\displaystyle H_{3}}$

${\displaystyle \|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.}$

• Monotonía: Para , ${\displaystyle 1\leq p\leq p'\leq \infty }$

${\displaystyle \|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.}$

• Dualidad: Sean espacios de Hilbert de dimensión finita, y tales que , entonces ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

${\displaystyle \|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,}$

donde denota el producto interno de Hilbert-Schmidt . ${\displaystyle \langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)}$

• Sean dos bases ortonormales de los espacios de Hilbert , entonces para ${\displaystyle (e_{k})_{k},(f_{k'})_{k'}}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \|T\|_{1}\leq \sum _{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.}$

Observaciones

Tenga en cuenta que es la norma de Hilbert-Schmidt (ver operador de Hilbert-Schmidt ), es la norma de la clase de traza (ver clase de traza ) y es la norma del operador (ver norma del operador ). ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

Porque la función es un ejemplo de una cuasinorma . ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

Un operador que tiene una norma de Schatten finita se denomina operador de clase de Schatten y el espacio de tales operadores se denota por . Con esta norma, es un espacio de Banach y un espacio de Hilbert para p  = 2. ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$ ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$

Obsérvese que , el álgebra de operadores compactos . Esto se deduce del hecho de que si la suma es finita el espectro será finito o numerable con el origen como punto límite, y por lo tanto un operador compacto (véase operador compacto en el espacio de Hilbert ). ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})}$

El caso p = 1 se denomina a menudo norma nuclear (también conocida como norma de traza o norma n de Ky Fan ^[3] ).

Véase también

Normas matriciales

Referencias

1. Fack, Thierry; Kosaki, Hideki (1986). "Números s generalizados de operadores τ {\displaystyle \tau }-medibles" (PDF) . Revista del Pacífico de Matemáticas . 123 (2).
2. Ball, Keith; Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. (1994). "Desigualdades de suavidad y convexidad uniformes y agudas para normas de trazas". Inventiones Mathematicae . 115 : 463–482. doi :10.1007/BF01231769. S2CID  189831705.
3. Fan, Ky. (1951). "Propiedades máximas y desigualdades para los valores propios de operadores completamente continuos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 37 (11): 760–766. Bibcode :1951PNAS...37..760F. doi : 10.1073/pnas.37.11.760 . PMC 1063464 . PMID  16578416. 

• Rajendra Bhatia, Análisis matricial, vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• John Watrous , Teoría de la información cuántica, 2.3 Normas de los operadores, notas de clase, Universidad de Waterloo, 2011.
• Joachim Weidmann, Operadores lineales en espacios de Hilbert, Vol. 20. Springer, Nueva York, 1980.