Condición de borde de Robin

Clase de problemas en ecuaciones diferenciales parciales

En matemáticas , la condición de contorno de Robin ( / ˈrɒbɪn / ; propiamente en francés: [ʁɔbɛ̃] ), o condición de contorno de tercer tipo , es un tipo de condición de contorno , llamada así en honor a Victor Gustave Robin ( 1855-1897). ^[1] Cuando se impone sobre una ecuación diferencial ordinaria o parcial , es una especificación de una combinación lineal de los valores de una función y los valores de su derivada en el límite del dominio. Otros nombres equivalentes en uso son condición de tipo Fourier y condición de radiación . ^[2]

Definición

Las condiciones de contorno de Robin son una combinación ponderada de las condiciones de contorno de Dirichlet y las condiciones de contorno de Neumann . Esto contrasta con las condiciones de contorno mixtas , que son condiciones de contorno de diferentes tipos especificadas en diferentes subconjuntos del contorno. Las condiciones de contorno de Robin también se denominan condiciones de contorno de impedancia , por su aplicación en problemas electromagnéticos , o condiciones de contorno convectivo , por su aplicación en problemas de transferencia de calor (Hahn, 2012).

Si Ω es el dominio en el que se debe resolver la ecuación dada y ∂Ω denota su límite , la condición de límite de Robin es: ^[3]

${\displaystyle au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{on }}\partial \Omega }$

para algunas constantes a y b distintas de cero y una función dada g definida en ∂Ω. Aquí, u es la solución desconocida definida en Ω y ⁠∂ tu/∂​⁠ denota la derivada normal en el límite. En términos más generales, se permite que a y b sean funciones (dadas), en lugar de constantes.

En una dimensión, si, por ejemplo, Ω = [0,1], la condición de contorno de Robin se convierte en las condiciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}au(0)-bu'(0)&=g(0)\\au(1)+bu'(1)&=g(1)\end{aligned}}}$

Observe el cambio de signo delante del término que involucra una derivada: esto se debe a que la normal a [0,1] en 0 apunta en la dirección negativa, mientras que en 1 apunta en la dirección positiva.

Solicitud

Las condiciones de contorno de Robin se utilizan comúnmente para resolver problemas de Sturm-Liouville que aparecen en muchos contextos de ciencia e ingeniería.

Además, la condición de contorno de Robin es una forma general de la condición de contorno aislante para ecuaciones de convección-difusión . Aquí, los flujos convectivo y difusivo en el contorno suman cero:

${\displaystyle u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}=0}$

donde D es la constante de difusión, u es la velocidad convectiva en el límite y c es la concentración. El segundo término es un resultado de la ley de difusión de Fick .

Referencias

1. Gustafson, K., (1998). Descomposición del dominio, trigonometría del operador, condición de Robin, Matemáticas contemporáneas , 218 , 432-437.
2. Logan, J. David, (2001). Modelado del transporte en sistemas hidrogeoquímicos. Springer.
3. JE Akin (2005). Análisis de elementos finitos con estimadores de error: una introducción al método de elementos finitos y al análisis de error adaptativo para estudiantes de ingeniería. Butterworth-Heinemann. pág. 69. ISBN 9780080472751.

Bibliografía

• Gustafson, K. y T. Abe, (1998a). La tercera condición de contorno: ¿fue la de Robin?, The Mathematical Intelligencer , 20 , n.° 1, 63–71.
• Gustafson, K. y T. Abe, (1998b). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer , 20 , n.° 2, 47–53.
• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Matemáticas aplicadas, cuerpo y alma . Berlín; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-00889-6.

• Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Análisis numérico teórico: un marco de análisis funcional . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95142-3.

• Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Ecuaciones diferenciales computacionales . Cambridge; Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56738-6.

• Mei, Zhen (2000). Análisis numérico de bifurcación para ecuaciones de reacción-difusión . Berlín; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-67296-6.

• Hahn, David W.; Ozisk, MN (2012). Conducción de calor, 3.ª edición . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-470-90293-6.