Primo que cumple una desigualdad relacionada con la función de conteo de primos
En matemáticas , un número primo de Ramanujan es un número primo que satisface un resultado probado por Srinivasa Ramanujan en relación con la función de conteo de primos .
Orígenes y definición
En 1919, Ramanujan publicó una nueva prueba del postulado de Bertrand que, como él mismo señala, fue demostrada por primera vez por Chebyshev . [1] Al final del artículo publicado de dos páginas, Ramanujan obtuvo un resultado generalizado, y es:
OEIS : A104272
donde es la función de conteo de primos , igual al número de primos menores o iguales a x .![{\displaystyle \pi (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Lo contrario de este resultado es la definición de los primos de Ramanujan:
- El n- ésimo primo de Ramanujan es el mínimo entero R n para el cual para todo x ≥ R n . [2] En otras palabras: los primos de Ramanujan son los mínimos enteros R n para los cuales hay al menos n primos entre x y x /2 para todo x ≥ R n .
![{\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los primeros cinco números primos de Ramanujan son, por tanto, 2, 11, 17, 29 y 41.
Tenga en cuenta que el número entero R n es necesariamente un número primo: y, por tanto, debe aumentar obteniendo otro primo en x = R n . Dado que puede aumentar como máximo en 1,![{\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_ {n}}{2}}\right)=n.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Límites y una fórmula asintótica
Para todos , los límites![{\displaystyle n\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
sostener. Si entonces también![{\displaystyle n>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle p_ {2n} <R_ {n} <p_ {3n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde p n es el n- ésimo número primo.
Como n tiende al infinito, R n es asintótico al 2 n ésimo primo, es decir,
- R norte ~ p 2 norte ( norte → ∞).
Todos estos resultados fueron probados por Sondow (2009), [3] excepto el límite superior R n < p 3 n que fue conjeturado por él y demostrado por Laishram (2010). [4] Sondow, Nicholson y Noe (2011) [5] mejoraron el límite para
![{\displaystyle R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\ p_{3n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es la forma óptima de R n ≤ c·p 3 n ya que es una igualdad para n = 5.
Referencias
- ^ Ramanujan, S. (1919), "Una prueba del postulado de Bertrand", Revista de la Sociedad Matemática de la India , 11 : 181–182
- ^ Jonathan Sondow. "Ramanujan Prime". MundoMatemático .
- ^ Sondow, J. (2009), "Primos de Ramanujan y postulado de Bertrand", Amer. Matemáticas. Mensual , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi : 10.4169/193009709x458609
- ^ Laishram, S. (2010), "Sobre una conjetura sobre los primos de Ramanujan" (PDF) , Revista Internacional de Teoría de Números , 6 (8): 1869–1873, CiteSeerX 10.1.1.639.4934 , doi :10.1142/s1793042110003848 .
- ^ Sondow, J.; Nicholson, J.; Noe, TD (2011), "Primes de Ramanujan: límites, carreras, gemelos y espacios" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 14 : 11.6.2, arXiv : 1105.2249 , Bibcode : 2011arXiv1105.2249S