El problema de estabilidad de las ecuaciones funcionales se originó a partir de una pregunta de Stanisław Ulam , planteada en 1940, sobre la estabilidad de los homomorfismos de grupo . Al año siguiente, Donald H. Hyers [1] dio una respuesta parcialmente afirmativa a la pregunta de Ulam en el contexto de los espacios de Banach en el caso de los mapeos aditivos , lo que fue el primer avance significativo y un paso hacia más soluciones en esta área. . Desde entonces, se han publicado un gran número de artículos relacionados con diversas generalizaciones del problema de Ulam y el teorema de Hyers. En 1978, Themistocles M. Rassias [2] logró ampliar el teorema de Hyers para asignaciones entre espacios de Banach al considerar una diferencia de Cauchy ilimitada [3] sujeta a una condición de continuidad en la asignación. Fue el primero en demostrar la estabilidad del mapeo lineal . Este resultado de Rassias atrajo a varios matemáticos de todo el mundo que comenzaron a sentirse estimulados a investigar los problemas de estabilidad de ecuaciones funcionales.
Considerando una gran influencia de SM Ulam , DH Hyers y Th. M. Rassias sobre el estudio de los problemas de estabilidad de ecuaciones funcionales, el fenómeno de estabilidad demostrado por Th. M. Rassias condujo al desarrollo de lo que ahora se conoce como estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias [4] de ecuaciones funcionales . Para una presentación extensa de la estabilidad de ecuaciones funcionales en el contexto del problema de Ulam, se remite al lector interesado a los libros de S.-M. Jung, [5] S. Czerwik, [6] YJ Cho, C. Park, Th.M. Rassias y R. Saadati, [7] YJ Cho, Th.M. Rassias y R. Saadati, [8] y PL. Kannappan, [9] así como a los siguientes artículos. [10] [11] [12] [13] En 1950, T. Aoki [14] consideró una diferencia de Cauchy ilimitada que Rassias generalizó más tarde al caso lineal. Este resultado se conoce como estabilidad Hyers-Ulam-Aoki del mapeo aditivo. [15] Aoki (1950) no había considerado la continuidad en el mapeo, mientras que Rassias (1978) impuso una hipótesis de continuidad adicional que arrojó una conclusión formalmente más sólida.
Referencias
- ^ DH Hyers, Sobre la estabilidad de la ecuación funcional lineal, Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos, 27 (1941), 222-224.
- ^ Th. M. Rassias, Sobre la estabilidad del mapeo lineal en espacios de Banach, Proc. América. Matemáticas. Soc. 72 (1978), 297–300.
- ^ DH Hyers, G. Isac y Th. M. Rassias, Estabilidad de ecuaciones funcionales en varias variables, Birkhäuser Verlag , Boston, Basilea, Berlín, 1998.
- ^ Estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias , en: Encyclopaedia of Mathematics, Suplemento III, M. Hazewinkel (ed.), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001, págs.194-196.
- ^ S.-M. Jung, Estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de ecuaciones funcionales en análisis no lineal , Springer, Nueva York (2011) ISBN 978-1-4419-9636-7 .
- ^ S.Czerwik, Ecuaciones funcionales y desigualdades en varias variables , World Scientific Publishing Co, Singapur (2002).
- ^ YJ Cho, C. Park, Th.M. Rassias y R. Saadati, Estabilidad de ecuaciones funcionales en álgebras de Banach , Springer, Nueva York (2015).
- ^ YJ Cho, Th.M. Rassias y R. Saadati, Estabilidad de ecuaciones funcionales en espacios normativos aleatorios , Springer, Nueva York (2013).
- ^ Pl. Kannappan, Ecuaciones funcionales y desigualdades con aplicaciones , Springer, Nueva York (2009).
- ^ S.-M. Jung, Estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de la ecuación de Jensen y su aplicación , Proc. América. Matemáticas. Soc. 126(1998), 3137-3143.
- ^ S.-M. Jung, Sobre la estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de una ecuación funcional cuadrática , J. Math. Anal. Aplica. 232 (1999), 384-393.
- ^ G.-H. Kim, Una generalización de la estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de la ecuación funcional G , Math. Desigual. Aplica. 10(2007), 351-358.
- ^ Y.-H. Lee y K.-W. Jun, Una generalización de la estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de la ecuación de pexider , J. Math. Anal. Aplica. 246(2000), 627-638.
- ^ T. Aoki, Sobre la estabilidad de la transformación lineal en espacios de Banach, J. Math. Soc. Jpn., 2 (1950), 64-66.
- ^ L. Maligranda, Un resultado de Tosio Aoki sobre una generalización de la estabilidad de Hyers-Ulam de funciones aditivas: una cuestión de prioridad, Aequationes Mathematicae 75 (2008), 289-296.
Ver también
- Th. M. Rassias, Sobre la estabilidad de ecuaciones funcionales y un problema de Ulam, Acta Applicandae Mathematicae, 62 (1) (2000), 23-130.
- P. Gavruta, Una generalización de la estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de mapeos aproximadamente aditivos, J. Math. Anal. Aplica. 184 (1994), 431–436.
- P. Gavruta y L. Gavruta, Un nuevo método para la estabilidad generalizada de Hyers-Ulam-Rassias , Int. J. Anal no lineal. Aplica. 1 (2010), núm. 2, 6 págs.
- J. Chung, Estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de la ecuación de Cauchy en el espacio de distribuciones de Schwartz, J. Math. Anal. Aplica. 300 (2) (2004), 343 – 350.
- T. Miura, S.-E. Takahasi y G. Hirasawa, Estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de los homomorfismos de Jordan en álgebras de Banach, J. Inequal. Aplica. 4 (2005), 435–441.
- A. Najati y C. Park, Estabilidad de homomorfismos de Hyers-Ulam-Rassias en álgebras cuasi-Banach asociadas a la ecuación funcional de Cauchy pexiderizada, J. Math. Anal. Aplica. 335 (2007), 763–778.
- Th. M. Rassias y J. Brzdek (eds.), Ecuaciones funcionales en análisis matemático , Springer, Nueva York, 2012, ISBN 978-1-4614-0054-7 .
- D. Zhang y J. Wang, Sobre la estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de la ecuación de Jensen , Bull. Matemáticas coreanas. Soc. 46 (4) (2009), 645–656.
- T. Trif, estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias de una ecuación funcional tipo Jensen, J. Math. Anal. Aplica. 250 (2000), 579–588.
- Pl. Kannappan, Ecuaciones funcionales y desigualdades con aplicaciones , Springer, Nueva York, 2009, ISBN 978-0-387-89491-1 .
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- WW Breckner y T. Trif, Funciones convexas y ecuaciones funcionales relacionadas. Temas seleccionados , Cluj University Press, Cluj, 2008.