Transformación alfa-beta

Transformación matemática en ingeniería

En ingeniería eléctrica , la transformación alfa-beta ( ) (también conocida como transformación de Clarke ) es una transformación matemática empleada para simplificar el análisis de circuitos trifásicos . Conceptualmente es similar a la transformación dq0 . Una aplicación muy útil de la transformación es la generación de la señal de referencia utilizada para el control de modulación de vector espacial de inversores trifásicos . ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

Historia

En 1937 y 1938, Edith Clarke publicó artículos con métodos modificados de cálculos sobre problemas trifásicos desequilibrados, que resultaron particularmente útiles. ^[1]

Definición

La transformada aplicada a corrientes trifásicas, tal como la utilizó Edith Clarke, es ^[2] ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

donde es una secuencia de corriente trifásica genérica y es la secuencia de corriente correspondiente dada por la transformación . La transformación inversa es: ${\displaystyle i_{abc}(t)}$ ${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

La transformación de Clarke anterior conserva la amplitud de las variables eléctricas a las que se aplica. De hecho, considere una secuencia de corriente continua, simétrica y trifásica

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}$

donde es el valor eficaz de , y es el ángulo genérico variable en el tiempo que también se puede establecer en sin pérdida de generalidad. Luego, al aplicarlo a la secuencia actual, resulta ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i_{a}(t)}$ ${\displaystyle i_{b}(t)}$ ${\displaystyle i_{c}(t)}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle \omega t}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}}$

donde la última ecuación es válida ya que hemos considerado corrientes equilibradas. Como se muestra arriba, las amplitudes de las corrientes en el sistema de referencia son las mismas que en el sistema de referencia natural. ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

Transformación invariante de potencia

Las potencias activa y reactiva calculadas en el dominio de Clarke con la transformación mostrada arriba no son las mismas que las calculadas en el sistema de referencia estándar. Esto sucede porque no es unitario . Para preservar las potencias activa y reactiva, en cambio, hay que considerar ${\displaystyle T}$

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

que es una matriz unitaria y la inversa coincide con su transpuesta. ^[3] En este caso las amplitudes de las corrientes transformadas no son las mismas que las del marco de referencia estándar, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}$

Finalmente, la transformación inversa en este caso es

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

Transformación simplificada

Dado que en un sistema equilibrado y por tanto también se puede considerar la transformada simplificada ^{[4] [5]} ${\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0}$ ${\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

que es simplemente la transformación original de Clarke con la tercera ecuación excluida, y

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}}$

que es la transformación inversa correspondiente.

Interpretación geométrica

La transformación puede considerarse como la proyección de las tres magnitudes de fase (voltajes o corrientes) sobre dos ejes estacionarios, el eje alfa y el eje beta. Sin embargo, no se pierde información si el sistema está equilibrado, ya que la ecuación es equivalente a la ecuación para en la transformada. Si el sistema no está equilibrado, entonces el término contendrá el componente de error de la proyección. Por lo tanto, un valor de cero indica que el sistema está equilibrado (y, por lo tanto, existe completamente en el espacio de coordenadas alfa-beta), y puede ignorarse para dos cálculos de coordenadas que operan bajo este supuesto de que el sistema está equilibrado. Esta es la elegancia de la transformada de Clarke, ya que reduce un sistema de tres componentes a un sistema de dos componentes gracias a este supuesto. ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ ${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$ ${\displaystyle I_{\gamma }}$ ${\displaystyle I_{\gamma }}$ ${\displaystyle I_{\gamma }}$

Otra forma de entender esto es que la ecuación define un plano en un espacio euclidiano de tres coordenadas. El espacio de coordenadas alfa-beta puede entenderse como el espacio de dos coordenadas definido por este plano, es decir, los ejes alfa-beta se encuentran en el plano definido por . ${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$ ${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$

Esto también significa que para utilizar la transformada de Clarke, se debe asegurar que el sistema esté equilibrado, de lo contrario, los dos cálculos de coordenadas subsiguientes serán erróneos. Esta es una consideración práctica en aplicaciones en las que se miden las cantidades trifásicas y es posible que haya un error de medición.

Arriba se muestra la transformación aplicada a tres corrientes simétricas que fluyen a través de tres devanados separados por 120 grados físicos. Las corrientes trifásicas están retrasadas respecto de sus voltajes de fase correspondientes en . El eje - se muestra con el eje alineado con la fase 'A'. El vector de corriente gira con velocidad angular . No hay componente ya que las corrientes están equilibradas. ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle I_{\alpha \beta \gamma }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \gamma }$

de0 transformación

La transformación es conceptualmente similar a la transformación. Mientras que la transformación es la proyección de las magnitudes de fase sobre un marco de referencia de dos ejes giratorio, la transformación puede considerarse como la proyección de las magnitudes de fase sobre un marco de referencia de dos ejes estacionario. ${\displaystyle dq0}$ ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ ${\displaystyle dq0}$ ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

Véase también

• Componentes simétricos
• Transformada Y-Δ
• Control vectorial (motor)

Referencias

1. O'Rourke, Colm J. (diciembre de 2019). "Una interpretación geométrica de los marcos de referencia y las transformaciones: dq0, Clarke y Park". IEEE Transactions on Energy Conversion . 34, 4 (4): 2070–2083. Bibcode :2019ITEnC..34.2070O. doi :10.1109/TEC.2019.2941175. hdl : 1721.1/123557 . S2CID  203113468 – vía MIT Open Access Articles.
2. WC Duesterhoeft; Max W. Schulz; Edith Clarke (julio de 1951). "Determinación de corrientes y voltajes instantáneos por medio de componentes alfa, beta y cero". Transactions of the American Institute of Electrical Engineers . 70 (2): 1248–1255. doi :10.1109/T-AIEE.1951.5060554. ISSN  0096-3860. S2CID  51636360.
3. S. CHATTOPADHYAY; M. MITRA; S. SENGUPTA (2008). "Enfoque basado en áreas para la evaluación de la calidad de la energía trifásica en el plano de Clarke". Journal of Electrical Systems . 04 (1): 62 . Consultado el 26 de noviembre de 2020 .
4. F. Tahri, A.Tahri, Eid A. AlRadadi y A. Draou Senior, "Análisis y control del compensador VAR estático avanzado basado en la teoría de la potencia reactiva instantánea", presentado en ACEMP, Bodrum, Turquía, 2007.
5. "Transformada de Clarke". www.mathworks.com .

Referencias generales

• CJ O'Rourke et al. "Una interpretación geométrica de los marcos de referencia y las transformaciones: dq0, Clarke y Park", en IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, n.º 4, págs. 2070-2083, diciembre de 2019.