Fórmula de Bochner

En matemáticas , la fórmula de Bochner es un enunciado que relaciona las funciones armónicas de una variedad de Riemann con la curvatura de Ricci . La fórmula recibe su nombre del matemático estadounidense Salomon Bochner . ${\estilo de visualización (M,g)}$

Declaración formal

Si es una función suave, entonces $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$

{\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=g(\nabla \Delta u,\nabla u)+|\nabla ^{2}u|^{2 }+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)

donde es el gradiente de con respecto a , es el hessiano de con respecto a y es el tensor de curvatura de Ricci . ^[1] Si es armónico (es decir, , donde es el laplaciano con respecto a la métrica ), la fórmula de Bochner se convierte en $\nabla u$ ${\estilo de visualización u}$ ${\estilo de visualización g}$ $\nabla ^{2}u$ ${\estilo de visualización u}$ ${\estilo de visualización g}$ ${\mbox{Ric}}$ ${\estilo de visualización u}$ $\Delta u=0$ $\Delta =\Delta _ {g}$ ${\estilo de visualización g}$

{\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u ,\nabla u)

Bochner utilizó esta fórmula para demostrar el teorema de desaparición de Bochner.

Como corolario, si es una variedad riemanniana sin borde y es una función suave y compactamente soportada, entonces ${\estilo de visualización (M,g)}$ $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$

\int _{M}(\Delta u)^{2}\,d{\mbox{vol}}=\int _{M}{\Big (}|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u){\Big )}\,d{\mbox{vol}}

Esto se sigue inmediatamente de la primera identidad, observando que la integral del lado izquierdo se desvanece (por el teorema de divergencia ) e integrando por partes el primer término del lado derecho.

Variaciones y generalizaciones

Referencias

^ Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006), Flujo de Ricci de Hamilton, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 77, Providence, RI: Science Press, Nueva York, pág. 19, ISBN 978-0-8218-4231-7, Sr. 2274812.