Curva intensidad-duración-frecuencia

Una curva de intensidad-duración-frecuencia ( curva IDF ) es una función matemática que relaciona la intensidad de un evento (por ejemplo, la lluvia ) con su duración y frecuencia de ocurrencia. ^[1] La frecuencia es la inversa de la probabilidad de ocurrencia. Estas curvas se utilizan comúnmente en hidrología para la previsión de inundaciones y en ingeniería civil para el diseño de drenaje urbano . Sin embargo, las curvas IDF también se analizan en hidrometeorología debido al interés en la concentración temporal o la estructura temporal de la lluvia , ^{[2] [3]} pero también es posible definir curvas IDF para eventos de sequía. ^{[4] [5]} Además, están surgiendo aplicaciones de las curvas IDF al diseño basado en riesgos fuera de la hidrometeorología, por ejemplo, algunos autores desarrollaron curvas IDF para choques de entrada de la cadena de suministro de alimentos a ciudades de EE. UU. ^[6]

Enfoques matemáticos

Las curvas IDF pueden tomar diferentes expresiones matemáticas, teóricas o empíricamente ajustadas a los datos de eventos observados. Para cada duración (p. ej. 5, 10, 60, 120, 180... minutos), se fija la función de distribución acumulativa empírica (ECDF), y una frecuencia o periodo de retorno determinado . Por tanto, la curva IDF empírica viene dada por la unión de los puntos de igual frecuencia de ocurrencia y diferente duración e intensidad ^[7] Asimismo, una curva IDF teórica o semiempírica es aquella cuya expresión matemática está justificada físicamente, pero presenta parámetros que deben ser estimados mediante ajustes empíricos.

Enfoques empíricos

Existe una gran cantidad de aproximaciones empíricas que relacionan la intensidad ( I ), la duración ( t ) y el periodo de retorno ( p ), desde ajustes a leyes de potencia como:

• Fórmula de Sherman, ^[8] con tres parámetros ( a , c y n ), que son función del periodo de retorno,  p :

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{(t+c)^{n}}}}$

• La fórmula de Chow, ^[9] también con tres parámetros ( a , c y n ), para un periodo de retorno particular p :

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}+c}}}$

• Ley de potencia según Aparicio (1997), ^[10] con cuatro parámetros ( a , c , m y n ), ya ajustados para todos los periodos de retorno de interés:

${\displaystyle I(t,p)=a\cdot {\frac {p^{m}}{(t+c)^{n}}}}$

En hidrometeorología , la ley de potencia simple (tomando ) se utiliza como medida de la estructura temporal de la lluvia: ^[2] ${\displaystyle \ c=0}$

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}}}=I_{o}\left({\frac {t_{o}}{t}}\right)^{n}}$

donde se define como una intensidad de referencia para un tiempo fijo , es decir , y es un parámetro adimensional conocido como n -índice . ^{[2] [3]} En un evento de lluvia, el equivalente a la curva IDF se denomina curva de Intensidad Máxima Promediada (MAI). ^[11] ${\displaystyle \ I_{o}}$ ${\displaystyle \ t_{o}}$ ${\displaystyle \ a=I_{o}t_{o}^{n}}$ ${\displaystyle \ n}$

Enfoques teóricos

Para obtener una curva IDF a partir de una distribución de probabilidad , es necesario aislar matemáticamente la cantidad total o profundidad del evento , que está directamente relacionada con la intensidad promedio y la duración , mediante la ecuación , y como el período de retorno se define como la inversa de , la función se encuentra como la inversa de , de acuerdo con: ${\displaystyle \ F(x)}$ ${\displaystyle \ x}$ ${\displaystyle \ I}$ ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ x=It}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ 1-F(x)}$ ${\displaystyle \ f(p)}$ ${\displaystyle \ F(x)}$

${\displaystyle It=f(p)\quad \Leftarrow \quad p={\frac {1}{1-F(It)}}}$

• Ley de potencia con período de retorno, derivada de la distribución de Pareto , para una duración fija : ${\displaystyle \ t}$

${\displaystyle \ I(p)=kp^{m}\quad \Leftarrow \quad F(It)=1-\left({\frac {kt}{It}}\right)^{1/m}=1-{\frac {1}{p}}}$

donde la constante de distribución de Pareto se ha redefinido como , ya que es una distribución válida para una duración específica del evento, se ha tomado como . ${\displaystyle \ k'=kt}$ ${\displaystyle \ x=It}$

• Función derivada de la distribución generalizada de Pareto , para una duración dada : ${\displaystyle \ t}$

${\displaystyle I(p)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{m}}\cdot (p^{m}-1)\quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\left(1+{\frac {m(I-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/m}=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m>0,\\\quad \mu +\sigma \ln(p)\quad \quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m=0.\end{cases}}}$

Nótese que para y , la distribución de Pareto generalizada recupera la forma simple de la distribución de Pareto, con . Sin embargo, con se recupera la distribución exponencial . ${\displaystyle \ m>0}$ ${\displaystyle \ \mu ={\frac {\sigma }{m}}}$ ${\displaystyle \ k'={\frac {\sigma }{m}}}$ ${\displaystyle \ m=0}$

• Función deducida de la distribución de Gumbel y de la distribución de Gumbel opuesta , para una duración dada : ${\displaystyle \ t}$

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln \left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right)\quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln(\ln p)\quad \quad \quad \quad \quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$

Referencias

1. Koutsoyiannis, D.; Kozonis, D.; Manetas, A. (1998). "Un marco matemático para estudiar las relaciones entre intensidad, duración y frecuencia de las precipitaciones". Journal of Hydrology . 206 (1–2): 118–135. Código Bibliográfico :1998JHyd..206..118K. doi :10.1016/S0022-1694(98)00097-3.
2. Monjo, R. (2016). "Medida de la estructura temporal de la precipitación utilizando el índice n adimensional". Climate Research . 67 (1): 71–86. Bibcode :2016ClRes..67...71M. doi : 10.3354/cr01359 .(pdf)
3. Monjo, R; Locatelli, L; Milligan, J; Torres, L; Velasco, M; Gaitán, E; Pórtoles, J; Redolat, D; Ruso, B; Ribalaygua, J. (2023). Estimación de precipitaciones extremas futuras en Barcelona (España) bajo hipótesis monofractal. Revista Internacional de Climatología. doi:10.1002/joc.8072
4. Heidari, Hadi; Arabi, Mazdak; Ghanbari, Mahshid; Warziniack, Travis (junio de 2020). "Un enfoque probabilístico para la caracterización de las relaciones de intensidad-duración-frecuencia (IDF) socioeconómicas subanuales en un entorno cambiante". Agua . 12 (6): 1522. doi : 10.3390/w12061522 .
5. Monjo, R.; Royé, D. y Martin-Vide, J. (2020): Lacunaridad de sequía meteorológica en todo el mundo y su clasificación, Earth Syst. Sci. Data, 12, 741–752, doi:10.5194/essd-12-741-2020
6. Gomez, Michael; Mejia, Alfonso; Ruddell, Benjamin L.; Rushforth, Richard R. (julio de 2021). "La diversidad de la cadena de suministro protege a las ciudades de los shocks alimentarios". Nature . 595 (7866): 250–254. Bibcode :2021Natur.595..250G. doi : 10.1038/s41586-021-03621-0 . ISSN  1476-4687. PMID  34234337. S2CID  235768350.
7. Témez, J. (1978): Cálculo Hidrometeorológico de caudales máximos en pequeñas cuencas naturales. Dirección General de Carreteras. Madrid. España. 111p.
8. Sherman, C. (1931): Frecuencia e intensidad de las precipitaciones excesivas en Boston, Massachusetts , Transacciones, Sociedad Americana de Ingenieros Civiles, 95, 951–960.
9. Chow, VT (1962): Determinación hidrológica de áreas de vías fluviales para estructuras de drenaje en pequeñas cuencas de drenaje , Engrg. Experimental Station, Univ. de Illinois, Urbana, I11, Illinois, boletín No. 462.
10. Aparicio, F. (1997): Fundamentos de Hidrología de Superficie. Balderas, México, Limusa. 303p.
11. Moncho, R.; Belda. F; Caselles, V. (2010): Estudio climático del exponente “n” en curvas IDF: aplicación para la península Ibérica . Tethys, nº6: 3–14. DOI: 10.3369/tethys.2009.6.01 (pdf) Archivado el 1 de enero de 2011 en Wayback Machine.