La ley de Paschen es una ecuación que da el voltaje de ruptura , es decir, el voltaje necesario para iniciar una descarga o arco eléctrico , entre dos electrodos en un gas en función de la presión y la longitud del espacio. [2] [3] Lleva el nombre de Friedrich Paschen, quien lo descubrió empíricamente en 1889. [4]
Paschen estudió el voltaje de ruptura de varios gases entre placas metálicas paralelas a medida que variaban la presión del gas y la distancia del espacio:
Para un gas dado, el voltaje es función únicamente del producto de la presión y la longitud del espacio. [2] [3] La curva que encontró del voltaje versus el producto de longitud del espacio de presión (derecha) se llama curva de Paschen . Encontró una ecuación que se ajustaba a estas curvas, que ahora se llama ley de Paschen. [3]
A presiones y longitudes de separación más altas, el voltaje de ruptura es aproximadamente proporcional al producto de la presión y la longitud de la separación, y el término ley de Paschen se utiliza a veces para referirse a esta relación más simple. [5] Sin embargo, esto sólo es cierto a grandes rasgos, en un rango limitado de la curva.
Los primeros experimentadores del vacío encontraron un comportamiento bastante sorprendente. A veces, un arco se produciría en una trayectoria larga e irregular en lugar de en la distancia mínima entre los electrodos. Por ejemplo, en el aire, a una presión de una atmósfera , la distancia para una tensión de ruptura mínima es de aproximadamente 7,5 μm. El voltaje requerido para crear un arco a esta distancia es de 327 V, que es insuficiente para encender los arcos en espacios más anchos o más estrechos. Para un espacio de 3,5 μm, el voltaje requerido es 533 V, casi el doble. Si se aplicaran 500 V, no sería suficiente formar un arco a una distancia de 2,85 µm, pero sí a una distancia de 7,5 µm.
Paschen descubrió que el voltaje de ruptura se describía mediante la ecuación [1]
donde es el voltaje de ruptura en voltios , es la presión en pascales , es la distancia de separación en metros , es el coeficiente de emisión de electrones secundarios (el número de electrones secundarios producidos por ion positivo incidente), es la ionización de saturación en el gas a un particular ( campo eléctrico /presión), y está relacionado con las energías de excitación e ionización.
Las constantes e interpolan el primer coeficiente de Townsend . Se determinan experimentalmente y se considera que son aproximadamente constantes en un rango restringido de para cualquier gas determinado. Por ejemplo, aire con una en el rango de 450 a 7500 V/(kPa·cm), = 112,50 (kPa·cm) −1 y = 2737,50 V/(kPa·cm). [6]
La gráfica de esta ecuación es la curva de Paschen. Al diferenciarlo con respecto a y establecer la derivada en cero, se puede encontrar el voltaje mínimo. Esto produce
y predice la aparición de una tensión de ruptura mínima de = 7,5×10 −6 m·atm. Esto es 327 V en aire a una presión atmosférica estándar a una distancia de 7,5 μm.
La composición del gas determina tanto el voltaje mínimo del arco como la distancia a la que se produce. Para el argón , el voltaje mínimo del arco es de 137 V a 12 μm mayor. Para el dióxido de azufre , la tensión de arco mínima es de 457 V a sólo 4,4 μm.
Para aire en condiciones estándar de temperatura y presión (STP), el voltaje necesario para crear un arco de 1 metro es de aproximadamente 3,4 MV. [7] La intensidad del campo eléctrico para este espacio es, por tanto, de 3,4 MV/m.
El campo eléctrico necesario para formar un arco a través del espacio de voltaje mínimo es mucho mayor que el necesario para crear un arco en un espacio de un metro. En brechas grandes (o pd grandes), se sabe que la Ley de Paschen falla. Los criterios de Meek para desglose se utilizan generalmente para brechas grandes. [8] Tiene en cuenta la falta de uniformidad en el campo eléctrico y la formación de serpentinas debido a la acumulación de carga dentro del espacio que puede ocurrir en largas distancias. Para una separación de 7,5 μm, el voltaje del arco es de 327 V, que es 43 MV/m. Esto es aproximadamente 14 veces mayor que la intensidad del campo para la distancia de 1,5 metros. El fenómeno está bien verificado experimentalmente y se conoce como mínimo de Paschen.
La ecuación pierde precisión para espacios de menos de 10 µm en aire en una atmósfera [9] y predice incorrectamente un voltaje de arco infinito en un espacio de aproximadamente 2,7 micrómetros. El voltaje de ruptura también puede diferir de la predicción de la curva de Paschen para espacios entre electrodos muy pequeños, cuando la emisión de campo desde la superficie del cátodo se vuelve importante.
El camino libre medio de una molécula en un gas es la distancia promedio entre su colisión con otras moléculas. Esto es inversamente proporcional a la presión del gas, dada la temperatura constante. En el aire a STP, el camino libre medio de las moléculas es de aproximadamente 96 nm. Dado que los electrones son mucho más pequeños, la distancia promedio entre las moléculas que chocan es aproximadamente 5,6 veces mayor, o aproximadamente 0,5 μm. Esta es una fracción sustancial del espacio de 7,5 μm entre los electrodos para un voltaje de arco mínimo. Si el electrón está en un campo eléctrico de 43 MV/m, se acelerará y adquirirá 21,5 eV de energía en 0,5 μm de recorrido en la dirección del campo. La primera energía de ionización necesaria para desalojar un electrón de la molécula de nitrógeno es de aproximadamente 15,6 eV. El electrón acelerado adquirirá energía más que suficiente para ionizar una molécula de nitrógeno. Este electrón liberado será a su vez acelerado, lo que provocará otra colisión. Luego, una reacción en cadena conduce a la ruptura de la avalancha y se produce un arco a partir de la cascada de electrones liberados. [10]
Se producirán más colisiones en el camino de los electrones entre los electrodos en un gas a mayor presión. Cuando el producto presión-espacio es alto, un electrón chocará con muchas moléculas de gas diferentes a medida que viaja del cátodo al ánodo. Cada una de las colisiones aleatoriza la dirección del electrón, por lo que el campo eléctrico no siempre acelera al electrón ; a veces viaja de regreso al cátodo y el campo lo desacelera.
Las colisiones reducen la energía del electrón y le dificultan ionizar una molécula. Las pérdidas de energía debido a un mayor número de colisiones requieren voltajes mayores para que los electrones acumulen suficiente energía para ionizar muchas moléculas de gas, lo cual es necesario para producir una ruptura por avalancha .
En el lado izquierdo del mínimo Paschen, el producto es pequeño. El camino libre medio del electrón puede llegar a ser largo en comparación con el espacio entre los electrodos. En este caso, los electrones podrían ganar grandes cantidades de energía, pero sufrir menos colisiones ionizantes. Por lo tanto, se requiere un voltaje mayor para asegurar la ionización de suficientes moléculas de gas para iniciar una avalancha.
Para calcular la tensión de ruptura se parte de un campo eléctrico homogéneo. Este es el caso de una configuración de condensadores de placas paralelas . Los electrodos pueden tener la distancia . El cátodo se encuentra en el punto .
Para obtener la ionización por impacto , la energía de los electrones debe ser mayor que la energía de ionización de los átomos del gas entre las placas. Por longitud del camino se producirán varias ionizaciones. Se conoce como el primer coeficiente de Townsend, ya que fue introducido por Townsend. [11] El aumento de la corriente de electrones se puede describir para la configuración supuesta como
(Por lo tanto, la cantidad de electrones libres en el ánodo es igual a la cantidad de electrones libres en el cátodo que se multiplicaron por la ionización por impacto. Cuanto más grande y/o , más electrones libres se crean).
El número de electrones creados es
Despreciando posibles ionizaciones múltiples del mismo átomo, el número de iones creados es el mismo que el número de electrones creados:
es la corriente de iones. Para mantener la descarga, se deben crear electrones libres en la superficie del cátodo. Esto es posible porque los iones que golpean el cátodo liberan electrones secundarios en el impacto. (Para voltajes aplicados muy grandes también puede ocurrir emisión de electrones de campo .) Sin emisión de campo, podemos escribir
donde es el número medio de electrones secundarios generados por ion. Esto también se conoce como segundo coeficiente de Townsend. Suponiendo que , se obtiene la relación entre los coeficientes de Townsend poniendo ( 4 ) en ( 3 ) y transformando:
¿Cuál es la cantidad de ? El número de ionización depende de la probabilidad de que un electrón choque con una molécula de gas. Esta probabilidad es la relación del área de la sección transversal de una colisión entre un electrón y un ion en relación con el área total disponible para que el electrón la atraviese:
Como lo expresa la segunda parte de la ecuación, también es posible expresar la probabilidad como relación entre el camino recorrido por el electrón y el camino libre medio (distancia a la que ocurre otra colisión).
es el número de moléculas que los electrones pueden alcanzar. Se puede calcular usando la ecuación de estado del gas ideal.
El boceto adjunto lo ilustra . Como el radio de un electrón puede despreciarse en comparación con el radio de un ion, se simplifica a . Usando esta relación, poniendo ( 7 ) en ( 6 ) y transformando a uno se obtiene
donde el factor sólo se introdujo para una mejor visión general.
La alteración de la corriente de los electrones que aún no colisionaron en cada punto del camino se puede expresar como
Esta ecuación diferencial se puede resolver fácilmente:
La probabilidad de que (que todavía no haya habido una colisión en el punto ) es
Según su definición es el número de ionizaciones por longitud de camino y, por tanto, la relación entre la probabilidad de que no haya colisión en el camino libre medio de los iones y el camino libre medio de los electrones:
Se consideró que la energía que una partícula cargada puede obtener entre una colisión depende de la intensidad del campo eléctrico y de la carga :
Para el capacitor de placas paralelas tenemos donde está el voltaje aplicado. Como se supuso una ionización única es la carga elemental . Ahora podemos poner ( 13 ) y ( 8 ) en ( 12 ) y obtener
Poniendo esto en (5) y transformando a obtenemos la ley de Paschen para el voltaje de ruptura que fue investigada por primera vez por Paschen en [4] y cuya fórmula fue derivada por primera vez por Townsend en [12].
La ignición del plasma según la definición de Townsend ( descarga de Townsend ) es una descarga autosostenida, independiente de una fuente externa de electrones libres. Esto significa que los electrones del cátodo pueden alcanzar el ánodo a lo lejos e ionizar al menos un átomo en su camino. Entonces según la definición de esta relación se debe cumplir:
Si se usa en lugar de ( 5 ) se obtiene el voltaje de ruptura
La ley de Paschen requiere que:
Diferentes gases tendrán diferentes caminos libres medios para moléculas y electrones. Esto se debe a que diferentes moléculas tienen secciones transversales de ionización, es decir, diferentes diámetros efectivos. Los gases nobles como el helio y el argón son monoatómicos más difíciles de ionizar y tienden a tener diámetros efectivos más pequeños. Esto les da mayores caminos libres medios.
Los potenciales de ionización difieren entre las moléculas, así como la velocidad con la que recuperan electrones después de haber sido expulsadas de su órbita. Los tres efectos cambian el número de colisiones necesarias para provocar un crecimiento exponencial de electrones libres. Estos electrones libres son necesarios para provocar un arco.