Característica (álgebra)

Número entero más pequeño n para el cual n es igual a 0 en un anillo

En matemáticas , la característica de un anillo R , a menudo denominada char( R ) , se define como el número positivo más pequeño de copias de la identidad multiplicativa del anillo ( 1 ) que sumarán la identidad aditiva ( 0 ). Si no existe tal número, se dice que el anillo tiene característica cero.

Es decir, char( R ) es el número positivo más pequeño n tal que: ^{[1] (p 198, Teoría 23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0}$

si existe tal número n , y 0 en caso contrario.

Motivación

La definición especial del cero característico está motivada por las definiciones equivalentes caracterizadas en la siguiente sección, donde no es necesario considerar por separado el cero característico.

La característica también puede tomarse como el exponente del grupo aditivo del anillo , es decir, el entero positivo más pequeño n tal que: ^{[1] (p. 198, Def. 23.12)}

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

para cada elemento a del anillo (de nuevo, si n existe; de ​​lo contrario, cero). Esta definición se aplica en la clase más general de anillos aleatorios (ver Anillo (matemáticas) § Identidad multiplicativa y el término "anillo" ); para anillos (unitales) las dos definiciones son equivalentes debido a su ley distributiva .

Caracterizaciones equivalentes

• La característica de un anillo R es el número natural n tal que n ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ es el núcleo del único homomorfismo de anillo de a R . ^[a] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• La característica es el número natural n tal que R contiene un subanillo isomorfo al factor anillo , que es la imagen del homomorfismo anterior. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Cuando los números enteros no negativos {0, 1, 2, 3, ...} están parcialmente ordenados por divisibilidad, entonces 1 es el más pequeño y 0 es el más grande. Entonces la característica de un anillo es el valor más pequeño de n para el cual n ⋅ 1 = 0 . Si nada "más pequeño" (en este orden) que 0 es suficiente, entonces la característica es  0 . Este es el orden parcial apropiado debido a hechos tales como que char( A × B ) es el mínimo común múltiplo de char A y char B , y que no existe ningún homomorfismo de anillo f  : A → B a menos que char B divida a char A .
• La característica de un anillo R es n precisamente si la afirmación ka = 0 para todo a ∈ R implica que k es un múltiplo de n .

Estuche de anillos

Si R y S son anillos y existe un homomorfismo de anillo R → S , entonces la característica de S divide la característica de R . Esto a veces se puede usar para excluir la posibilidad de ciertos homomorfismos de anillo. El único anillo con característica 1 es el anillo cero , que tiene un solo elemento 0 . Si un anillo no trivial R no tiene ningún divisor de cero no trivial , entonces su característica es 0 o primo . En particular, esto se aplica a todos los cuerpos , a todos los dominios integrales y a todos los anillos de división . Cualquier anillo de característica 0 es infinito.

El anillo de números enteros módulo n tiene característica n . Si R es un subanillo de S , entonces R y S tienen la misma característica. Por ejemplo, si p es primo y q ( X ) es un polinomio irreducible con coeficientes en el cuerpo con p elementos, entonces el anillo de cocientes es un cuerpo de característica p . Otro ejemplo: El cuerpo de números complejos contiene , por lo que la característica de es 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Un -álgebra es equivalentemente un anillo cuya característica divide a n . Esto se debe a que para cada anillo R existe un homomorfismo de anillo y esta función se factoriza si y solo si la característica de R divide a n . En este caso, para cualquier r en el anillo, entonces sumando r a sí mismo n veces se obtiene nr = 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Si un anillo conmutativo R tiene característica prima p , entonces tenemos ( x + y ) ^p = x ^p + y ^p para todos los elementos x e y en R – el normalmente incorrecto " sueño de novato " se cumple para la potencia p . La función x ↦ x ^p define entonces un homomorfismo de anillo R → R , que se llama homomorfismo de Frobenius . Si R es un dominio integral es inyectivo .

Caso de campos

Como se mencionó anteriormente, la característica de cualquier campo es 0 o un número primo. Un campo de característica distinta de cero se denomina campo de característica finita o característica positiva o característica prima . El exponente característico se define de manera similar, excepto que es igual a 1 cuando la característica es 0 ; de lo contrario, tiene el mismo valor que la característica. ^[2]

Cualquier campo F tiene un subcampo mínimo único , también llamado suCuerpo primo . Este subcuerpo es isomorfo alcuerponúmeros racionaleso a un cuerpo finitode orden primo. Dos cuerpos primos de la misma característica son isomorfos, y este isomorfismo es único. En otras palabras, existe esencialmente un cuerpo primo único en cada característica. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Campos de característica cero

Los cuerpos de característica cero más comunes son los subcuerpos de los números complejos . Los cuerpos p-ádicos son cuerpos de característica cero que se utilizan ampliamente en la teoría de números. Tienen valores absolutos que son muy diferentes de los de los números complejos.

Para cualquier cuerpo ordenado , como el cuerpo de los números racionales o el cuerpo de los números reales , la característica es 0. Por lo tanto, todo cuerpo de números algebraicos y el cuerpo de números complejos tienen característica cero. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Campos de característica prima

El campo finito GF( p ⁿ ) tiene característica p .

Existen infinitos cuerpos de característica prima. Por ejemplo, el cuerpo de todas las funciones racionales sobre , la clausura algebraica de o el cuerpo de las series formales de Laurent . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))}$

El tamaño de cualquier anillo finito de característica prima p es una potencia de p . Como en ese caso lo contiene , también es un espacio vectorial sobre ese cuerpo, y a partir del álgebra lineal sabemos que los tamaños de espacios vectoriales finitos sobre cuerpos finitos son una potencia del tamaño del cuerpo. Esto también demuestra que el tamaño de cualquier espacio vectorial finito es una potencia prima. ^[b] ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Notas

1. Los requisitos de los homomorfismos de anillo son tales que solo puede haber un homomorfismo (de hecho, exactamente uno) del anillo de números enteros a cualquier anillo; en el lenguaje de la teoría de categorías , es un objeto inicial de la categoría de anillos . Nuevamente, esto se aplica cuando un anillo tiene un elemento de identidad multiplicativo (que se conserva mediante homomorfismos de anillo). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. Es un espacio vectorial sobre un campo finito, que hemos demostrado que es de tamaño p ⁿ , por lo que su tamaño es ( p ⁿ ) ^m = p ^nm .

Referencias

1. Fraleigh, John B.; Brand, Neal E. (2020). Un primer curso de álgebra abstracta (8.ª ed.). Pearson Education .
2. Bourbaki, Nicolas (2003). "5. Exponente característico de un cuerpo. Cuerpos perfectos". Álgebra II, capítulos 4-7 . Springer. pág. AV7. doi :10.1007/978-3-642-61698-3.

Fuentes

• McCoy, Neal H. (1973) [1964]. La teoría de los anillos . Chelsea Publishing . pág. 4. ISBN. 978-0-8284-0266-8.