Función casi continua

En matemáticas , la noción de función cuasicontinua es similar, pero más débil, a la noción de función continua . Todas las funciones continuas son cuasicontinuas, pero lo contrario no ocurre en general.

Definición

Sea un espacio topológico . Una función de valor real es casi continua en un punto si para cualquier vecindad abierta de existe un conjunto abierto no vacío tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G\subset U}$

${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon \;\;\;\;\forall y\in G}$

Tenga en cuenta que en la definición anterior, no es necesario que . ${\displaystyle x\in G}$

Propiedades

• Si es continua entonces es casi continua ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$
• Si es continuo y cuasicontinuo, entonces es cuasicontinuo. ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f+g}$

Ejemplo

Considere la función definida por cuando y cuando sea . Claramente, f es continua en todas partes excepto en x=0, por lo tanto, casi continua en todas partes excepto (como máximo) en x=0. En x=0, tome cualquier vecindad abierta U de x. Entonces existe un conjunto abierto tal que . Claramente esto produce que f sea casi continua. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\leq 0}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle G\subset U}$ ${\displaystyle y<0\;\forall y\in G}$ ${\displaystyle |f(0)-f(y)|=0\;\forall y\in G}$

Por el contrario, la función definida por siempre es un número racional y siempre es un número irracional en ninguna parte es cuasicontinua, ya que todo conjunto abierto no vacío contiene algo con . ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle |g(y_{1})-g(y_{2})|=1}$

Referencias

• Ján Borsik (2007-2008). "Puntos de continuidad, cuasicontinuidad, camarilla y cuasicontinuidad superior e inferior". Intercambio de análisis real . 33 (2): 339–350.
• T. Neubrunn (1988). "Cuasicontinuidad". Intercambio de análisis real . 14 (2): 259–308. JSTOR  44151947.