En matemáticas , los cuantos son ciertas estructuras algebraicas parcialmente ordenadas que generalizan lugares ( topologías libres de puntos ), así como varias redes multiplicativas de ideales de la teoría de anillos y el análisis funcional ( álgebras C* , álgebras de von Neumann ). Los cuantales a veces se denominan semigrupos residuales completos .
Un cuantale es una red completa con una operación binaria asociativa , llamada multiplicación , que satisface una propiedad distributiva tal que
y
para todos y (aquí hay cualquier conjunto de índices ). El cuantale es unital si tiene un elemento identidad para su multiplicación:
para todos . En este caso, el cuantale es naturalmente un monoide respecto a su multiplicación .
Un cuanto unital puede definirse de manera equivalente como un monoide en la categoría Sup de semirrejillas de unión completa.
Un cuanto unital es un semianillo idempotente bajo unión y multiplicación.
Un cuanto unital en el que la identidad es el elemento superior de la red subyacente se dice que es estrictamente bilateral (o simplemente integral ).
Un cuantale conmutativo es un cuantale cuya multiplicación es conmutativa . Un marco , con su multiplicación dada por la operación de encuentro , es un ejemplo típico de un cuanta conmutativo estrictamente bilateral. Otro ejemplo sencillo lo proporciona el intervalo unitario junto con su multiplicación habitual .
Un cuantote idempotente es un cuantote cuya multiplicación es idempotente . Un marco es lo mismo que un cuantal idempotente estrictamente de dos caras.
Un cuantal involutivo es un cuantal con involución.
que conserva une:
Un homomorfismo cuantale es un mapa que preserva las uniones y la multiplicación para todos y :
