↔⇔≡⟺
Símbolos lógicos que representan iff
En lógica y campos relacionados como las matemáticas y la filosofía , " si y sólo si " (abreviado como " iff ") es un conectivo lógico bicondicional [1] entre afirmaciones donde ambas afirmaciones son verdaderas o ambas son falsas. El conectivo es bicondicional (una declaración de equivalencia material ), [2] y puede compararse con el condicional material estándar ("sólo si", igual a "si... entonces") combinado con su reverso ("si"); de ahí el nombre. El resultado es que la verdad de cualquiera de los enunciados conectados requiere la verdad del otro (es decir, ambos enunciados son verdaderos o ambos son falsos), aunque es controvertido si el conectivo así definido se traduce correctamente en inglés "if y sólo si", con su significado preexistente. Por ejemplo, P si y sólo si Q significa que P es verdadera siempre que Q sea verdadera, y el único caso en el que P es verdadera es si Q también es verdadera, mientras que en el caso de P si Q , podría haber otros escenarios en los que P es verdadera y Q es falsa.
En la escritura, las frases comúnmente utilizadas como alternativas a P "si y sólo si" Q incluyen: Q es necesario y suficiente para P , para P es necesario y suficiente que Q , P sea equivalente (o materialmente equivalente) a Q (compárese con implicación material ), P precisamente si Q , P precisamente (o exactamente) cuando Q , P exactamente en el caso Q y P solo en el caso Q. [3] Algunos autores consideran que "iff" no es adecuado en escritos formales; [4] otros lo consideran un "caso límite" y toleran su uso. [5] En fórmulas lógicas , se utilizan símbolos lógicos, como y , [6] en lugar de estas frases; consulte § Notación a continuación.
La tabla de verdad de P Q es la siguiente: [7] [8]
Es equivalente al producido por la puerta XNOR , y opuesto al producido por la puerta XOR . [9]
Los símbolos lógicos correspondientes son " ", " ", [6] y , [10] y, a veces, "iff". Generalmente se tratan como equivalentes. Sin embargo, algunos textos de lógica matemática (particularmente aquellos sobre lógica de primer orden , en lugar de lógica proposicional ) hacen una distinción entre estos, en los que el primero, ↔, se usa como símbolo en fórmulas lógicas, mientras que ⇔ se usa en razonamientos sobre esas fórmulas lógicas (por ejemplo, en metalógica ). En la notación polaca de Łukasiewicz , es el símbolo del prefijo . [11]
Otro término para el conectivo lógico , es decir, el símbolo en fórmulas lógicas, es exclusivo ni .
En TeX , "si y sólo si" se muestra como una flecha doble larga: mediante el comando \iff o \Longleftrightarrow. [12]
En la mayoría de los sistemas lógicos , se prueba un enunciado de la forma "P si Q" demostrando "si P, entonces Q" y "si Q, entonces P", o "si P, entonces Q" y "si no-P". , entonces no-Q". Probar estos pares de enunciados a veces conduce a una prueba más natural, ya que no existen condiciones obvias en las que se pueda inferir un bicondicional directamente. Una alternativa es probar la disyunción "(P y Q) o (no-P y no-Q)", que a su vez puede inferirse directamente de cualquiera de sus disyunciones, es decir, porque "iff" es funcional de verdad , " P si Q" se sigue si se ha demostrado que P y Q son ambos verdaderos o ambos falsos.
El uso de la abreviatura "iff" apareció por primera vez en forma impresa en el libro General Topology de John L. Kelley de 1955 . [13] Su invención a menudo se atribuye a Paul Halmos , quien escribió "Inventé 'iff', por 'si y sólo si', pero nunca pude creer que realmente fui su primer inventor". [14]
No está claro cómo se debía pronunciar "iff". En la práctica actual, la única 'palabra' "iff" casi siempre se lee como las cuatro palabras "si y sólo si". Sin embargo, en el prefacio de Topología general , Kelley sugiere que debería leerse de manera diferente: "En algunos casos donde el contenido matemático requiere 'si y sólo si' y la eufonía exige algo menos, uso el 'iff' de Halmos". Los autores de un libro de texto de matemáticas discretas sugieren: [15] "Si necesitas pronunciar iff, mantén la 'ff' para que la gente escuche la diferencia con 'if'", lo que implica que "iff" podría pronunciarse como [ ɪfː] .
Convencionalmente, las definiciones son declaraciones "si y sólo si"; algunos textos, como la Topología general de Kelley , siguen esta convención y utilizan "si y sólo si" o sif en definiciones de términos nuevos. [16] Sin embargo, este uso de "si y sólo si" es relativamente poco común y pasa por alto el hecho lingüístico de que el "si" de una definición se interpreta en el sentido de "si y sólo si". La mayoría de los libros de texto, trabajos de investigación y artículos (incluidos los artículos de Wikipedia en inglés) siguen la convención lingüística de interpretar "si" como "si y sólo si" siempre que se trata de una definición matemática (como en "un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita"). [17] Además, en el caso de una definición recursiva , la única si la mitad de la definición se interpreta como una oración en el metalenguaje afirma que las oraciones en la definición de un predicado son las únicas oraciones que determinan la extensión del predicado.
La suficiencia es lo contrario de la necesidad. Es decir, dado P → Q (es decir , si P entonces Q ), P sería una condición suficiente para Q y Q sería una condición necesaria para P. Además, dado P → Q , es cierto que ¬Q → ¬P (donde ¬ es el operador de negación, es decir, "no"). Esto significa que la relación entre P y Q , establecida por P → Q , se puede expresar de las siguientes maneras, todas equivalentes:
Como ejemplo, tomemos el primer ejemplo anterior, que dice P → Q , donde P es "la fruta en cuestión es una manzana" y Q es "Madison se comerá la fruta en cuestión". Las siguientes son cuatro formas equivalentes de expresar esta misma relación:
Aquí, el segundo ejemplo se puede reformular en la forma de si... entonces como "Si Madison come la fruta en cuestión, entonces es una manzana"; si tomamos esto junto con el primer ejemplo, encontramos que el tercer ejemplo puede expresarse como "Si la fruta en cuestión es una manzana, entonces Madison se la comerá; y si Madison se come la fruta, entonces es una manzana".
Los diagramas de Euler muestran relaciones lógicas entre eventos, propiedades, etc. "P sólo si Q", "si P entonces Q" y "P→Q" significan que P es un subconjunto , propio o impropio, de Q. "P si Q", "si Q entonces P" y Q→P significan que Q es un subconjunto propio o inadecuado de P. "P si y sólo si Q" y "Q si y sólo si P" significan que los conjuntos P y Q son idénticos entre sí.
Iff también se utiliza fuera del campo de la lógica. Dondequiera que se aplique la lógica, especialmente en discusiones matemáticas , tiene el mismo significado que el anterior: es una abreviatura de si y sólo si , lo que indica que una afirmación es necesaria y suficiente para la otra. Este es un ejemplo de jerga matemática (aunque, como se señaló anteriormente, if se usa con más frecuencia que iff en declaraciones de definición).
Los elementos de X son todos y sólo los elementos de Y significa: "Para cualquier z en el dominio del discurso , z está en X si y sólo si z está en Y ".
En su Inteligencia artificial: un enfoque moderno , Russell y Norvig señalan (página 282), [18] en efecto, que a menudo es más natural expresar si y sólo si como si junto con una "semántica de base de datos (o programación lógica)" . Dan el ejemplo de la frase inglesa "Richard tiene dos hermanos, Geoffrey y John".
En una base de datos o programa lógico , esto podría representarse simplemente con dos oraciones:
La semántica de la base de datos interpreta que la base de datos (o programa) contiene todo y sólo el conocimiento relevante para la resolución de problemas en un dominio determinado. Solo se interpreta si expresa en el metalenguaje que las oraciones en la base de datos representan el único conocimiento que debe considerarse al sacar conclusiones de la base de datos.
En lógica de primer orden (FOL) con la semántica estándar, la misma oración en inglés debería representarse, usando if y only if , y only if interpretada en el lenguaje objeto, de alguna forma como:
En comparación con la semántica estándar para FOL, la semántica de la base de datos tiene una implementación más eficiente. En lugar de razonar con oraciones de la forma:
utiliza oraciones de la forma:
razonar hacia adelante desde las condiciones a las conclusiones o hacia atrás desde las conclusiones a las condiciones .
La semántica de la base de datos es análoga al principio jurídico expressio unius est exclusio alterius (la mención expresa de una cosa excluye todas las demás). Además, sustenta la aplicación de la programación lógica a la representación de textos legales y razonamientos legales. [19]
bien puede suponer un verdadero ahorro de tiempo, no lo recomendamos en un escrito formal.
Es común en la escritura matemática.
Los teoremas que tienen la forma "P si y solo Q" son muy apreciados en matemáticas.
Ofrecen lo que se llaman condiciones "necesarias y suficientes", y ofrecen nuevas formas completamente equivalentes y, con suerte, interesantes de decir exactamente lo mismo.
