En geometría , la luna de Hipócrates , llamada así por Hipócrates de Quíos , es una luna delimitada por arcos de dos círculos , el más pequeño de los cuales tiene como diámetro una cuerda que abarca un ángulo recto en el círculo más grande. Equivalentemente, es una región plana no convexa delimitada por un arco circular de 180 grados y un arco circular de 90 grados. Fue la primera figura curva en la que se calculó matemáticamente su área exacta . [1]
Hipócrates quería resolver el problema clásico de la cuadratura del círculo , es decir, construir un cuadrado mediante regla y compás , que tuviera la misma área que un círculo dado . [2] [3] Demostró que la luna limitada por los arcos etiquetados E y F en la figura tiene la misma área que el triángulo ABO . Esto brindó alguna esperanza de resolver el problema de la cuadratura del círculo, ya que la luna está limitada solo por arcos de círculos. Heath concluye que, al probar su resultado, Hipócrates también fue el primero en demostrar que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro. [2]
El libro de geometría de Hipócrates en el que aparece este resultado, Elementos , se ha perdido, pero puede haber formado el modelo para los Elementos de Euclides . [3] La prueba de Hipócrates se conservó a través de la Historia de la geometría compilada por Eudemo de Rodas , que tampoco ha sobrevivido, pero que fue extractada por Simplicio de Cilicia en su comentario a la Física de Aristóteles . [2] [4]
No fue hasta 1882, con la prueba de Ferdinand von Lindemann de la trascendencia de π , que la cuadratura del círculo resultó ser imposible. [5]
El resultado de Hipócrates se puede demostrar de la siguiente manera: el centro del círculo en el que se encuentra el arco AEB es el punto D , que es el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ABO . Por lo tanto, el diámetro AC del círculo mayor ABC es veces el diámetro del círculo menor en el que se encuentra el arco AEB . En consecuencia, el círculo menor tiene la mitad del área del círculo mayor y, por lo tanto, el cuarto de círculo AFBOA es igual en área al semicírculo AEBDA . Restando el área en forma de medialuna AFBDA del cuarto de círculo se obtiene el triángulo ABO y restando la misma medialuna del semicírculo se obtiene la luna. Dado que el triángulo y la luna se forman restando áreas iguales de áreas iguales, son ellos mismos iguales en área. [2] [6]
Utilizando una prueba similar a la anterior, el matemático árabe Hasan Ibn al-Haytham (nombre latinizado Alhazen , c. 965 – c. 1040) demostró que cuando se forman dos lunas, en los dos lados de un triángulo rectángulo , cuyos límites exteriores son semicírculos y cuyos límites interiores están formados por el círculo circunscrito del triángulo, entonces las áreas de estas dos lunas sumadas son iguales al área del triángulo. Las lunas formadas de esta manera a partir de un triángulo rectángulo se conocen como las lunas de Alhazen . [7] [8] La cuadratura de la luna de Hipócrates es el caso especial de este resultado para un triángulo rectángulo isósceles . [9]
Todos los lunas construibles con compás y regla pueden especificarse por los dos ángulos formados por los arcos interior y exterior en sus respectivos círculos; en esta notación, por ejemplo, la luna de Hipócrates tendría los ángulos interior y exterior (90°, 180°) con razón 1:2. Hipócrates encontró otros dos lunas cóncavas cuadrantes, con ángulos de aproximadamente (107,2°, 160,9°) con razón 2:3 y (68,5°, 205,6°) con razón 1:3. Dos lunas cóncavas cuadrantes más, con ángulos de aproximadamente (46,9°, 234,4°) con razón 1:5 y (100,8°, 168,0°) con razón 3:5 fueron encontrados en 1766 por Martin Johan Wallenius y nuevamente en 1840 por Thomas Clausen . A mediados del siglo XX, dos matemáticos rusos, Nikolai Chebotaryov y su alumno Anatoly Dorodnov, clasificaron por completo los lunés que se pueden construir con regla y compás y que tienen una superficie igual a la de un cuadrado dado. Como demostraron Chebotaryov y Dorodnov, estos cinco pares de ángulos dan el único lunés construible y cuadrable; en particular, no hay otros lunés construibles y cuadrables. [1] [8]
