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Cuadrícula dispersa

Las cuadrículas dispersas son técnicas numéricas para representar, integrar o interpolar funciones de alta dimensión . Fueron desarrolladas originalmente por el matemático ruso Sergey A. Smolyak, alumno de Lazar Lyusternik , y se basan en la construcción de un producto tensorial disperso. Michael Griebel y Christoph Zenger desarrollaron posteriormente algoritmos informáticos para implementaciones eficientes de dichas cuadrículas .

La maldición de la dimensionalidad

La forma estándar de representar funciones multidimensionales son las cuadrículas tensoriales o completas. La cantidad de funciones base o nodos (puntos de cuadrícula) que deben almacenarse y procesarse depende exponencialmente de la cantidad de dimensiones.

La maldición de la dimensionalidad se expresa en el orden del error de integración que se comete por una cuadratura de nivel , con puntos. La función tiene regularidad , es decir es veces diferenciable. El número de dimensiones es .

Regla de cuadratura de Smolyak

Smolyak encontró un método computacionalmente más eficiente para integrar funciones multidimensionales basado en una regla de cuadratura univariante . La integral de Smolyak -dimensional de una función se puede escribir como una fórmula de recursión con el producto tensorial .

El índice es el nivel de discretización. Si se calcula una integración unidimensional en el nivel mediante la evaluación de puntos, la estimación del error para una función de regularidad será

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