El método Monte Carlo cuántico abarca una gran familia de métodos computacionales cuyo objetivo común es el estudio de sistemas cuánticos complejos . Uno de los principales objetivos de estos enfoques es proporcionar una solución confiable (o una aproximación precisa) del problema cuántico de muchos cuerpos . Los diversos enfoques del método Monte Carlo cuántico comparten el uso común del método Monte Carlo para manejar las integrales multidimensionales que surgen en las diferentes formulaciones del problema de muchos cuerpos.
Los métodos de Monte Carlo cuántico permiten un tratamiento directo y una descripción de efectos complejos de muchos cuerpos codificados en la función de onda , yendo más allá de la teoría del campo medio . En particular, existen algoritmos numéricamente exactos y de escala polinómica para estudiar con exactitud las propiedades estáticas de los sistemas de bosones sin frustración geométrica . Para los fermiones , existen muy buenas aproximaciones a sus propiedades estáticas y algoritmos de Monte Carlo cuántico numéricamente exactos y de escala exponencial, pero ninguno que sea ambas cosas a la vez.
En principio, cualquier sistema físico puede describirse mediante la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos siempre que las partículas que lo componen no se muevan "demasiado" rápido; es decir, no se muevan a una velocidad comparable a la de la luz, y se puedan despreciar los efectos relativistas . Esto es cierto para una amplia gama de problemas electrónicos en física de la materia condensada , en los condensados de Bose-Einstein y en los superfluidos como el helio líquido . La capacidad de resolver la ecuación de Schrödinger para un sistema dado permite predecir su comportamiento, con importantes aplicaciones que van desde la ciencia de los materiales hasta los sistemas biológicos complejos .
La dificultad es, sin embargo, que resolver la ecuación de Schrödinger requiere el conocimiento de la función de onda de muchos cuerpos en el espacio de Hilbert de muchos cuerpos , que típicamente tiene un tamaño exponencialmente grande en el número de partículas. Su solución para un número razonablemente grande de partículas es, por lo tanto, típicamente imposible, incluso para la tecnología de computación paralela moderna en una cantidad de tiempo razonable. Tradicionalmente, se han utilizado aproximaciones para la función de onda de muchos cuerpos como una función antisimétrica de orbitales de un cuerpo [1] , para tener un tratamiento manejable de la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, este tipo de formulación tiene varios inconvenientes, ya sea limitando el efecto de las correlaciones cuánticas de muchos cuerpos, como en el caso de la aproximación Hartree–Fock (HF), o convergiendo muy lentamente, como en las aplicaciones de interacción de configuración en química cuántica.
El Monte Carlo cuántico es una forma de estudiar directamente el problema de muchos cuerpos y la función de onda de muchos cuerpos más allá de estas aproximaciones. Los enfoques de Monte Carlo cuántico más avanzados proporcionan una solución exacta al problema de muchos cuerpos para sistemas de bosones interactuantes no frustrados , al tiempo que proporcionan una descripción aproximada de los sistemas de fermiones interactuantes . La mayoría de los métodos apuntan a calcular la función de onda del estado fundamental del sistema, con la excepción del Monte Carlo de integral de trayectoria y el Monte Carlo de campo auxiliar de temperatura finita , que calculan la matriz de densidad . Además de las propiedades estáticas, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo también se puede resolver, aunque solo de manera aproximada, restringiendo la forma funcional de la función de onda evolucionada en el tiempo , como se hace en el Monte Carlo variacional dependiente del tiempo .
Desde un punto de vista probabilístico, el cálculo de los valores propios superiores y las funciones propias del estado fundamental correspondientes asociadas con la ecuación de Schrödinger se basa en la resolución numérica de problemas de integración de trayectorias de Feynman-Kac. [2] [3]
Existen varios métodos cuánticos de Monte Carlo, cada uno de los cuales utiliza Monte Carlo de diferentes maneras para resolver el problema de muchos cuerpos.