Criterio de estabilidad del jurado

En teoría de control y procesamiento de señales , el criterio de estabilidad del jurado es un método para determinar la estabilidad de un sistema de tiempo discreto lineal mediante el análisis de los coeficientes de su polinomio característico . Es el análogo en tiempo discreto del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . El criterio de estabilidad de Jury requiere que los polos del sistema estén ubicados dentro del círculo unitario centrado en el origen, mientras que el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz requiere que los polos estén en la mitad izquierda del plano complejo . El criterio del Jurado lleva el nombre de Eliahu Ibraham Jurado .

Método

Si el polinomio característico del sistema está dado por

f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\dots +a_{1}z^{n-1 }+a_{0}z^{n}

entonces la tabla se construye de la siguiente manera: ^[1]

Es decir, la primera fila se construye con los coeficientes polinomiales en orden, y la segunda fila es la primera fila en orden inverso y conjugada.

La tercera fila de la tabla se calcula restando la segunda fila de la primera fila, y la cuarta fila es la tercera fila con los primeros n elementos invertidos (ya que el elemento final es cero). ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$

{\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{ n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{ \frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0 }}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right )\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \; \;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_ {n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{alineado}}

La expansión de la tabla continúa de esta manera hasta llegar a una fila que contiene sólo un elemento distinto de cero.

Tenga en cuenta que es para las dos primeras filas. Luego, para la tercera y cuarta fila, el coeficiente cambia (es decir ). Esto puede verse como el nuevo polinomio que tiene un grado menos y luego continúa. ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ ${\ Displaystyle a_ {n}}$ ${\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}$

Examen de estabilidad

Si entonces para cada valor de ... que sea negativo, el polinomio tiene una raíz fuera del disco unitario. Esto implica que el método se puede detener después de que se encuentre el primer valor negativo al verificar la estabilidad. ${a_{0}}>0$ ${\ Displaystyle a_ {0}, b_ {0}, c_ {0}}$

Implementación de muestra

Este método es muy fácil de implementar utilizando matrices dinámicas en una computadora. También indica si todos los módulos de las raíces ( complejas y reales ) se encuentran dentro del disco unitario. El vector $v$ contiene los coeficientes reales del polinomio original en orden de mayor grado a menor grado.

 /* vvd es la matriz del jurado */ vvd . empujar_back ( v ); // Almacena la primera fila al revés ( v . comenzar (), v . finalizar ()); vvd . empujar_back ( v ); // Almacena la segunda fila      para ( yo = 2 ;; yo += 2 ) { v . claro (); doble mult = vvd [ i -2 ][ vvd [ i -2 ]. tamaño () -1 ] / vvd [ i -2 ][ 0 ]; // Este es un/a0 como se menciona en el artículo.         for ( j = 0 ; j < vvd [ i -2 ]. size () -1 ; j ++ ) // Tome las últimas 2 filas y calcule la siguiente fila v . push_back ( vvd [ i -2 ][ j ] - vvd [ i -1 ][ j ] * mult );          vvd . empujar_back ( v ); revertir ( v . comenzar (), v . finalizar ()); // invierte la siguiente fila vvd . empujar_back ( v ); si ( v . tamaño () == 1 ) romper ; }           // La verificación se realiza usando for ( i = 0 ; i < vvd . size (); i += 2 ) { if ( vvd [ i ] [ 0 ] <= 0 ) break ; }          if ( i == vvd . size ()) "Todas las raíces se encuentran dentro del disco unitario" else "no"

Ver también

Criterio de Liénard-Chipart , otro criterio de estabilidad derivado de Routh-Hurwitz (para sistemas de tiempo continuo)

Referencias

^ Sistemas de control de tiempo discreto (2ª ed.), pág. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, Nueva Jersey, EE. UU. © 1995 ISBN 0-13-034281-5

Para obtener más detalles, consulte estas referencias:

Una nota sobre el criterio reducido de Schur-Cohn
Wikilibros sobre sistemas de control: prueba del jurado

Para recursos avanzados:

Archivado el 2 de agosto de 2008 en Wayback Machine .
Benidir, M. (1996). "Sobre la distribución de raíces de polinomios generales con respecto al círculo unitario". Procesamiento de la señal . 53 : 75–82. doi :10.1016/0165-1684(96)00077-1.
http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz

Para implementaciones:

http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html (calculadoras gráficas TI-83+/84+)