Criterio de Peres-Horodecki

Criterio en la teoría de la información cuántica.

El criterio de Peres-Horodecki es una condición necesaria para que la matriz de densidad conjunta de dos sistemas mecánicos cuánticos sea separable . También se le llama criterio PPT , por transposición parcial positiva . En los casos de dimensiones 2×2 y 2×3 la condición también es suficiente. Se utiliza para decidir la separabilidad de estados mixtos , donde no se aplica la descomposición de Schmidt . El teorema fue descubierto en 1996 por Asher Peres ^[1] y la familia Horodecki ( Michał , Paweł y Ryszard ) ^[2] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

En dimensiones superiores, la prueba no es concluyente y conviene complementarla con pruebas más avanzadas, como las basadas en testigos de entrelazamiento .

Definición

Si tenemos un estado general que actúa sobre ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Su transposición parcial (con respecto a la parte B) se define como

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Tenga en cuenta que el parcial en el nombre implica que solo se transpone una parte del estado. Más precisamente, ¿se aplica el mapa de identidad al partido A y el mapa de transposición al partido B? ${\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$

Esta definición se puede ver más claramente si escribimos el estado como una matriz de bloques:

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}}$

Donde , y cada bloque es una matriz cuadrada de dimensión . Entonces la transpuesta parcial es ${\displaystyle n=\dim {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle m=\dim {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}}$

El criterio establece que si es separable entonces todos los valores propios de no son negativos. En otras palabras, si tiene un valor propio negativo, se garantiza que estará entrelazado . Lo contrario de estas afirmaciones es cierto si y sólo si la dimensión del espacio del producto es o . ${\displaystyle \rho \;\!}$ ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ ${\displaystyle \rho \;\!}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 2\times 3}$

El resultado es independiente del partido que se transpuso, porque . ${\displaystyle \rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}}$

Ejemplo

Considere esta familia de 2 qubits de estados de Werner :

${\displaystyle \rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

Puede considerarse como la combinación convexa de , un estado máximamente entrelazado , y el elemento de identidad, un estado máximamente mixto. ${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }$

Su matriz de densidad es

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

y la transpuesta parcial

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

Su mínimo valor propio es . Por lo tanto, el Estado está enredado por . ${\displaystyle (1-3p)/4}$ ${\displaystyle 1\geq p>1/3}$

Demostración

Si ρ es separable, se puede escribir como

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}$

En este caso, el efecto de la transposición parcial es trivial:

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}}$

Como el mapa de transposición conserva los valores propios, el espectro de es el mismo que el espectro de y, en particular, aún debe ser semidefinido positivo. Por tanto, también debe ser semidefinida positiva. Esto demuestra la necesidad del criterio PPT. ${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$ ${\displaystyle \rho _{i}^{B}\;\!}$ ${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$ ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$

Mostrar que ser PPT también es suficiente para los casos 2 X 2 y 3 X 2 (equivalentemente 2 X 3) es más complicado. Los Horodeckis demostraron que para cada estado de entrelazamiento existe un testigo de entrelazamiento . Esto es un resultado de naturaleza geométrica e invoca el teorema de Hahn-Banach (ver referencia a continuación).

A partir de la existencia de testigos de entrelazamiento, se puede demostrar que ser positivo para todas las aplicaciones positivas Λ es una condición necesaria y suficiente para la separabilidad de ρ, donde Λ se asigna a ${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$ ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$

Además, cada aplicación positiva de a se puede descomponer en una suma de aplicaciones completamente positivas y completamente copositivas, cuando y . En otras palabras, cada uno de estos mapas Λ se puede escribir como ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$ ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$ ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3}$

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,}$

donde y son completamente positivos y T es el mapa de transposición. Esto se desprende del teorema de Størmer-Woronowicz. ${\displaystyle \Lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Lambda _{2}}$

En términos generales, el mapa de transposición es, por tanto, el único que puede generar valores propios negativos en estas dimensiones. Entonces si es positivo, es positivo para cualquier Λ. Por tanto, concluimos que el criterio de Peres-Horodecki también es suficiente para la separabilidad cuando . ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ ${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$ ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6}$

Sin embargo, en dimensiones superiores existen mapas que no se pueden descomponer de esta manera y el criterio ya no es suficiente. En consecuencia, hay estados entrelazados que tienen una transpuesta parcial positiva. Estos estados tienen la interesante propiedad de que están entrelazados , es decir, no pueden destilarse para fines de comunicación cuántica .

Sistemas variables continuos

El criterio de Peres-Horodecki se ha extendido a sistemas variables continuos. Rajiah Simon ^[3] formuló una versión particular del criterio PPT en términos de los momentos de segundo orden de operadores canónicos y demostró que es necesario y suficiente para estados gaussianos en modo - (ver Ref. ^[4] para un criterio aparentemente diferente pero esencialmente enfoque equivalente). Más tarde se descubrió ^[5] que la condición de Simon también es necesaria y suficiente para los estados gaussianos en modo, pero ya no es suficiente para los estados gaussianos en modo. La condición de Simon se puede generalizar teniendo en cuenta los momentos de orden superior de los operadores canónicos ^{[6] [7]} o utilizando medidas entrópicas. ^{[8] [9]} ${\displaystyle 1\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus n}$ ${\displaystyle 2\oplus 2}$

Sistemas simétricos

Para estados simétricos de sistemas bipartitos, la positividad de la transpuesta parcial de la matriz de densidad está relacionada con el signo de ciertas correlaciones de dos cuerpos. Aquí, simetría significa que

${\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

tiene, ¿dónde está el operador de inversión o intercambio que intercambia las dos partes y ? Una base completa del subespacio simétrico es de la forma con y Aquí para y debe cumplirse, donde está la dimensión de las dos partes. ${\displaystyle F_{AB}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle \vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$ ${\displaystyle d}$

Se puede demostrar que para tales estados, tiene una transpuesta parcial positiva si y sólo si ^[10] ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0}$

se cumple para todos los operadores Por lo tanto, si se cumple para algunos , entonces el estado posee un entrelazamiento no PPT . ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0}$ ${\displaystyle M}$

Referencias

1. Peres, Asher (19 de agosto de 1996). "Criterio de separabilidad para matrices de densidad". Cartas de revisión física . 77 (8): 1413-1415. arXiv : quant-ph/9604005 . doi :10.1103/PhysRevLett.77.1413. ISSN  0031-9007. PMID  10063072. S2CID  5246518.
2. Horodecki, Michał; Horodecki, Pawel; Horodecki, Ryszard (1996). "Separabilidad de estados mixtos: condiciones necesarias y suficientes". Letras de Física A. 223 (1–2): 1–8. arXiv : quant-ph/9605038 . doi :10.1016/S0375-9601(96)00706-2. S2CID  10580997.
3. Simón, R. (2000). "Criterio de separabilidad de Peres-Horodecki para sistemas variables continuos". Cartas de revisión física . 84 (12): 2726–2729. arXiv : quant-ph/9909044 . Código Bib : 2000PhRvL..84.2726S. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310. S2CID  11664720.
4. Duan, Lu-Ming; Giedke, G.; Cirac, JI; Zoller, P. (2000). "Criterio de inseparabilidad para sistemas variables continuos". Cartas de revisión física . 84 (12): 2722–2725. arXiv : quant-ph/9908056 . Código bibliográfico : 2000PhRvL..84.2722D. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309. S2CID  9948874.
5. Werner, RF; Lobo, MM (2001). "Estados gaussianos entrelazados vinculados". Cartas de revisión física . 86 (16): 3658–3661. arXiv : quant-ph/0009118 . Código bibliográfico : 2001PhRvL..86.3658W. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047. S2CID  20897950.
6. Shchukin, E.; Vogel, W. (2005). "Criterios de inseparabilidad para estados cuánticos bipartitos continuos". Cartas de revisión física . 95 (23): 230502. arXiv : quant-ph/0508132 . Código Bib : 2005PhRvL..95w0502S. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285. S2CID  28595936.
7. Hillery, Mark; Zubairy, M. Suhail (2006). "Condiciones de entrelazamiento para estados de dos modos". Cartas de revisión física . 96 (5): 050503. arXiv : quant-ph/0507168 . Código bibliográfico : 2006PhRvL..96e0503H. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912. S2CID  43756465.
8. Walborn, S.; Taketani, B.; Salles, A.; Toscano, F.; de Matos Filho, R. (2009). "Criterios de entrelazamiento entrópico para variables continuas". Cartas de revisión física . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Código bibliográfico : 2009PhRvL.103p0505W. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682. S2CID  10523704.
9. Yichen Huang (octubre de 2013). "Detección de entrelazamientos: complejidad y criterios entrópicos de Shannon". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 59 (10): 6774–6778. doi :10.1109/TIT.2013.2257936. S2CID  7149863.
10. Tóth, Géza; Gühne, Otfried (1 de mayo de 2009). "Enredo y simetría permutacional". Cartas de revisión física . 102 (17): 170503. arXiv : 0812.4453 . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.170503. PMID  19518768. S2CID  43527866.

• Karol Życzkowski e Ingemar Bengtsson, Geometría de estados cuánticos, Cambridge University Press, 2006
• Woronowicz, SL (1976). "Mapas positivos de álgebras matriciales de baja dimensión". Rep. Matemáticas. Física . 10 (2): 165–183. Código Bib : 1976RpMP...10..165W. doi :10.1016/0034-4877(76)90038-0.