Rotaciones y reflexiones en dos dimensiones

En la geometría euclidiana , las rotaciones y reflexiones bidimensionales son dos tipos de isometrías del plano euclidiano que están relacionadas entre sí.

Proceso

Una rotación en el plano se puede formar componiendo un par de reflexiones. Primero se refleja un punto $P$ a su imagen $P'$ en el otro lado de la línea $L 1$ . Luego se refleja $P'$ a su imagen $P''$ en el otro lado de la línea $L 2$ . Si las líneas $L 1$ y $L 2$ forman un ángulo $θ$ entre sí, entonces los puntos $P$ y $P''$ formarán un ángulo $2 θ$ alrededor del punto $O$ , la intersección de $L 1$ y $L 2$ . Es decir, el ángulo $∠ POP''$ medirá $2 θ$ .

Un par de rotaciones sobre el mismo punto $O$ será equivalente a otra rotación sobre el punto $O.$ Por otra parte, la composición de una reflexión y una rotación, o de una rotación y una reflexión (la composición no es conmutativa ), será equivalente a una reflexión.

Expresión matemática

Las afirmaciones anteriores se pueden expresar de forma más matemática. Sea una rotación sobre el origen $O$ con un ángulo $θ$ lo que se denota como $Rot(θ)$ . Sea una reflexión sobre una línea $L$ que pasa por el origen y forma un ángulo $θ$ con el eje $x$ lo que se denota como $Ref(θ)$ . Sea que estas rotaciones y reflexiones operen sobre todos los puntos del plano, y sea que estos puntos se representen mediante vectores de posición . Entonces una rotación se puede representar como una matriz , $\operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},$

y también para una reflexión, $\operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.$

Con estas definiciones de rotación y reflexión de coordenadas, se cumplen las siguientes cuatro identidades : ${\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}$

Prueba

Estas ecuaciones se pueden demostrar mediante una simple multiplicación de matrices y la aplicación de identidades trigonométricas , específicamente las identidades de suma y diferencia.

El conjunto de todas las reflexiones en líneas que pasan por el origen y las rotaciones alrededor del origen, junto con la operación de composición de reflexiones y rotaciones, forma un grupo . El grupo tiene una identidad: $Rot(0)$ . Cada rotación $Rot(φ)$ tiene una inversa $Rot(- φ)$ . Cada reflexión $Ref(θ)$ es su propia inversa. La composición tiene clausura y es asociativa, ya que la multiplicación de matrices es asociativa.

Observe que tanto $Ref(θ)$ como $Rot(θ)$ se han representado con matrices ortogonales . Todas estas matrices tienen un determinante cuyo valor absoluto es la unidad. Las matrices de rotación tienen un determinante de +1 y las matrices de reflexión tienen un determinante de −1.

El conjunto de todas las matrices bidimensionales ortogonales junto con la multiplicación de matrices forman el grupo ortogonal : $O (2)$ .

La siguiente tabla muestra ejemplos de matrices de rotación y reflexión:

Rotación de ejes

En matemáticas , una rotación de ejes en dos dimensiones es una aplicación de un sistema de coordenadas cartesianas xy a un sistema de coordenadas cartesianas x′y′ en el que el origen se mantiene fijo y los ejes x′ e y′ se obtienen rotando los ejes x e y en sentido antihorario a través de un ángulo . Un punto P tiene coordenadas ( x , y ) con respecto al sistema original y coordenadas ( x′ , y′ ) con respecto al nuevo sistema. ^[1] En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá haber sido rotado en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las agujas del reloj a través del ángulo . Una rotación de ejes en más de dos dimensiones se define de manera similar. ^[2]^[3] Una rotación de ejes es una aplicación lineal ^[4]^[5] y una transformación rígida .

\theta

\theta

Véase también

Referencias

^ Protter y Morrey (1970, pág.320)
^ Antón (1987, pág. 231)
^ Carga y ferias (1993, pág. 532)
^ Antón (1987, pág. 247)
^ Beauregard y Fraleigh (1973, pág.266)

Fuentes

Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Análisis numérico (5.ª ed.), Boston: Prindle, Weber y Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2.ª ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN 76087042