Función convexa adecuada

En el análisis matemático , en particular en los subcampos del análisis y la optimización convexos , una función convexa propia es una función convexa extendida de valor real con un dominio no vacío , que nunca toma el valor y tampoco es idénticamente igual a ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty .}$

En el análisis convexo y el análisis variacional , normalmente se busca un punto (en el dominio) en el que se minimiza alguna función dada , donde se valora en la recta numérica real extendida ^[1] Dicho punto, si existe, se denomina mínimo global punto de la función y su valor en este punto se llama mínimo global ( valor ) de la función. Si la función toma como valor entonces necesariamente es el valor mínimo global y se puede responder al problema de minimización; Esta es, en última instancia, la razón por la cual la definición de " propio " requiere que la función nunca tome como valor. Suponiendo esto, si el dominio de la función está vacío o si la función es idénticamente igual a entonces el problema de minimización nuevamente tiene una respuesta inmediata. Las funciones extendidas de valor real para las cuales el problema de minimización no se resuelve mediante ninguno de estos tres casos triviales son exactamente aquellas que se llaman propias . Muchos (aunque no todos) resultados cuyas hipótesis requieren que la función sea adecuada añaden este requisito específicamente para excluir estos casos triviales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Si el problema es, en cambio, un problema de maximización (lo que estaría claramente indicado, por ejemplo, si la función es cóncava en lugar de convexa), entonces la definición de " propio " se define de una manera análoga (aunque técnicamente diferente) pero con el mismo objetivo: para excluir casos en los que el problema de maximización pueda resolverse inmediatamente. Específicamente, una función cóncava se llama propia si su negación , que es una función convexa, es propia en el sentido definido anteriormente. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle -g,}$

Definiciones

Supongamos que es una función que toma valores en la recta de números reales extendida. Si es una función convexa o si se busca un punto mínimo de, entonces se llama propia si ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)>-\infty }$     para cada ${\displaystyle x\in X}$

y si también existe algún punto tal que ${\displaystyle x_{0}\in X}$

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty .}$

Es decir, una función es propia si nunca alcanza el valor y su dominio efectivo no está vacío. ^[2] Esto significa que existen algunas funciones convexas en las cuales y nunca son iguales que no son propias y se denominan funciones convexas impropias . ^[3] ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Una función cóncava propia es, por definición, cualquier función que sea una función convexa propia. Explícitamente, si es una función cóncava o si se busca un punto máximo de , entonces se llama propia si su dominio no está vacío, nunca toma el valor y no es idénticamente igual a ${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle f:=-g}$ ${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Propiedades

Para cada función convexa propia existen algunas que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-r}$

para cada ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

La suma de dos funciones convexas propias es convexa, pero no necesariamente adecuada. ^[4] Por ejemplo, si los conjuntos y son conjuntos convexos no vacíos en el espacio vectorial , entonces las funciones características y son funciones convexas propias, pero si entonces es idénticamente igual a ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle B\subset X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle I_{B}}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$ ${\displaystyle +\infty .}$

La convolución mínima de dos funciones convexas propias es convexa pero no necesariamente convexa propia. ^[5]

Ver también

• Dominio efectivo

Citas

1. Rockafellar y Wets 2009, págs. 1-28.
2. Aliprantis, CD; Frontera, KC (2007). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista (3 ed.). Saltador. pag. 254.doi : 10.1007 /3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
3. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pag. 24.ISBN​ 978-0-691-01586-6.
4. Boyd, Stephen (2004). Optimizacion convexa . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 79.ISBN​ 978-0-521-83378-3.
5. Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Teoría de problemas extremos, Estudios de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 6, Holanda Septentrional, pág. 168, ISBN 9780080875279.

Referencias

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.