Controlabilidad Gramian

En la teoría de control , puede que necesitemos averiguar si un sistema como es controlable o no , donde , , y son, respectivamente, , , y matrices para un sistema con entradas, variables de estado y salidas. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)&={\boldsymbol {Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)&={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle q\times n}$ ${\displaystyle q\times p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Una de las muchas maneras de lograr tal objetivo es mediante el uso del Gramiano de Controlabilidad .

Controlabilidad en sistemas LTI

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) son aquellos sistemas en los que los parámetros , , y son invariantes con respecto al tiempo. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$

Se puede observar si el sistema LTI es o no controlable simplemente observando el par . Entonces, podemos decir que las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

1. La pareja es controlable. ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$
2. La matriz no es singular para cualquier . ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau =\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}(t-\tau )}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}(t-\tau )}d\tau }$$ ${\displaystyle t>0}$
3. La matriz de controlabilidad tiene rango n. ${\displaystyle n\times np}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {B}}&\cdots &{\boldsymbol {A}}^{n-1}{\boldsymbol {B}}\end{bmatrix}}}$$
4. La matriz tiene rango de fila completo en cada valor propio de . ${\displaystyle n\times (n+p)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

Si, además, todos los valores propios de tienen partes reales negativas ( es estable), y la única solución de la ecuación de Lyapunov es definida positiva, el sistema es controlable. La solución se denomina Gramiano de Controlabilidad y se puede expresar como ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$$

En la siguiente sección vamos a analizar más de cerca el Gramiano de Controlabilidad.

Controlabilidad Gramian

La controlabilidad de Gramian se puede encontrar como la solución de la ecuación de Lyapunov dada por $${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}}$$

De hecho, podemos ver que si tomamos como solución, vamos a encontrar que: $${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}&=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau +\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A}}^{T}d\tau \\[1ex]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}\left(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }\right)d\tau \\[1ex]&=\left.e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}\right|_{t=0}^{\infty }\\[1ex]&={\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB}}^{T}\\[1ex]&={\boldsymbol {-BB}}^{T}\end{aligned}}}$$

Donde usamos el hecho de que at es estable (todos sus valores propios tienen parte real negativa). Esto nos muestra que es efectivamente la solución para la ecuación de Lyapunov bajo análisis. ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}$ ${\displaystyle t=\infty }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

Propiedades

Podemos ver que es una matriz simétrica, por lo tanto, también lo es . ${\displaystyle {\boldsymbol {BB^{T}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

Podemos utilizar de nuevo el hecho de que, si es estable (todos sus valores propios tienen parte real negativa) para demostrar que es única. Para demostrarlo, supongamos que tenemos dos soluciones diferentes para y que están dadas por y . Entonces tenemos: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c2}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A}}^{T}={\boldsymbol {0}}}$$

Multiplicando por la izquierda y por la derecha, nos llevaría a ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}}$ $${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\left[{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A}}^{T}\right]e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}={\frac {d}{dt}}\left[e^{{\boldsymbol {A}}t}\left({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}\right)e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}\right]={\boldsymbol {0}}}$$

Integrando de a : usando el hecho de que como : ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle \left[e^{{\boldsymbol {A}}t}\left({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}\right)e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}\right]_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}}$$ ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})={\boldsymbol {0}}}$$

En otras palabras, tiene que ser único. ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

Además, podemos ver que es positivo para cualquier t (asumiendo el caso no degenerado donde no es idénticamente cero). Esto forma una matriz definida positiva. $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\,dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\right\Vert _{2}^{2}dt}$$ ${\displaystyle \left\Vert {\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\right\Vert }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

Se pueden encontrar más propiedades de sistemas controlables en Chen (1999, p. 145), así como la prueba de otras afirmaciones equivalentes de “El par es controlable” presentadas en la sección Controlabilidad en sistemas LTI. ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

Sistemas de tiempo discreto

Para sistemas de tiempo discreto como $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}[k+1]&={\boldsymbol {Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]&={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{aligned}}}$$

Se puede comprobar que existen equivalencias para la afirmación “El par es controlable” (las equivalencias son muy parecidas para el caso de tiempo continuo). ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

Nos interesa la equivalencia que afirma que, si “El par es controlable” y todos los valores propios de tienen magnitud menor que ( es estable), entonces la única solución de es definida positiva y está dada por ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle W_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{dc}{\boldsymbol {A}}^{T}={\boldsymbol {BB}}^{T}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}=\sum _{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}\left({\boldsymbol {A}}^{T}\right)^{m}}$$

Esto se denomina el Gramiano de controlabilidad discreta. Podemos ver fácilmente la correspondencia entre el tiempo discreto y el caso del tiempo continuo, es decir, si podemos comprobar que es definida positiva y todos los valores propios de tienen magnitud menor que , el sistema es controlable. Se pueden encontrar más propiedades y pruebas en Chen (1999, p. 169). ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

Sistemas lineales variantes en el tiempo

Los sistemas variantes en el tiempo lineal (LTV) son aquellos que tienen la forma: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)&={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)&={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{aligned}}}$$

Es decir, las matrices , y tienen entradas que varían con el tiempo. Nuevamente, tanto en el caso de tiempo continuo como en el de tiempo discreto, puede interesarnos descubrir si el sistema dado por el par es controlable o no. Esto se puede hacer de una manera muy similar a los casos anteriores. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$

El sistema es controlable en el tiempo si y sólo si existe un finito tal que la matriz, también llamada Gramiana de Controlabilidad, dada por donde es la matriz de transición de estados de , no es singular. ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau ,}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$

Nuevamente tenemos un método similar para determinar si un sistema es o no un sistema controlable.

Propiedades deYodo(a0,a1)

Tenemos que los Gramianos de Controlabilidad tienen la siguiente propiedad: que se puede ver fácilmente por la definición de y por la propiedad de la matriz de transición de estados que afirma que: ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{c}(t,t_{1})+{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},t)}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$$

Se puede encontrar más información sobre el Gramiano de Controlabilidad en Chen (1999, p. 176).

Véase también

• Controlabilidad
• Observabilidad Gramiana
• Matriz gramiana
• Control mínimo de energía
• Valor singular de Hankel

Referencias

• Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales, tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-511777-8.

Enlaces externos

• Función de Mathematica para calcular la controlabilidad de Gramian