Controlabilidad Gramian

En la teoría del control , es posible que necesitemos descubrir si un sistema como el

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}}$

es controlable , donde , y son , respectivamente , y matrices para un sistema con entradas, variables de estado y salidas. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle q\times n}$ ${\displaystyle q\times p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Una de las muchas formas en que se puede lograr tal objetivo es mediante el uso de Controlabilidad Gramiana .

Controlabilidad en sistemas LTI

Los sistemas lineales invariantes de tiempo (LTI) son aquellos sistemas en los que los parámetros , y son invariantes con respecto al tiempo. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$

Se puede observar si el sistema LTI es o no controlable simplemente mirando el par . Entonces, podemos decir que las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

1. La pareja es controlable. ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

2. La matriz ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau =\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}(t-\tau )}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}(t-\tau )}d\tau }$

es no singular para cualquiera . ${\displaystyle t>0}$

3. La matriz de controlabilidad ${\displaystyle n\times np}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=[{\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A^{2}B}}&...&{\boldsymbol {A^{n-1}B}}\end{array}}]}$

tiene rango n.

4. La matriz ${\displaystyle n\times (n+p)}$

${\displaystyle [{\begin{array}{cc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{array}}]}$

tiene rango de fila completo en cada valor propio de . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

Si, además, todos los valores propios de tienen partes reales negativas ( es estable), y la solución única de la ecuación de Lyapunov ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}$

es positivo definido, el sistema es controlable. La solución se llama Controlabilidad Gramiana y se puede expresar como

Error al analizar (SVG (MathML se puede habilitar mediante un complemento del navegador): respuesta no válida ("La extensión Math no puede conectarse a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":) : {\displaystyle \boldsymbol{W_{c}}=\int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A }^{T}\tau}d\tau}

En la siguiente sección veremos más de cerca el Gramiano de Controlabilidad.

Controlabilidad Gramian

La controlabilidad de Gramian se puede encontrar como la solución de la ecuación de Lyapunov dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}$

De hecho, podemos ver que si tomamos

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$

como solución vamos a encontrar que:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}&=&\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau &+&\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A^{T}}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}|_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB^{T}}}\\&=&{\boldsymbol {-BB^{T}}}\end{array}}}$

Donde usamos el hecho de que at para estable (todos sus valores propios tienen parte real negativa). Esto nos muestra que efectivamente es la solución para la ecuación de Lyapunov bajo análisis. ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}$ ${\displaystyle t=\infty }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

Propiedades

Podemos ver que es una matriz simétrica, por lo tanto, también lo es . ${\displaystyle {\boldsymbol {BB^{T}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

Podemos usar nuevamente el hecho de que si es estable (todos sus valores propios tienen parte real negativa) para demostrar que es único. Para demostrarlo, supongamos que tenemos dos soluciones diferentes para ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}$

y están dados por y . Entonces nosotros tenemos: ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c2}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {0}}}$

Multiplicar por por la izquierda y por por la derecha, nos llevaría a ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}}$

${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}[{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}]e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]={\boldsymbol {0}}}$

Integrando de a : ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle [e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]|_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}}$

utilizando el hecho de que como : ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})={\boldsymbol {0}}}$

En otras palabras, tiene que ser único. ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

Además, podemos ver que

${\displaystyle {\boldsymbol {x^{T}W_{c}x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt}$

es positivo para cualquier t (asumiendo el caso no degenerado donde no es idénticamente cero). Esto forma una matriz definida positiva. ${\displaystyle \left\Vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

Se pueden encontrar más propiedades de los sistemas controlables en ^[1] , así como la prueba de las otras afirmaciones equivalentes de "El par es controlable" presentado en la sección Controlabilidad en sistemas LTI. ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

Sistemas de tiempo discreto

Para sistemas de tiempo discreto como

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}}$

Se puede comprobar que existen equivalencias para la afirmación “El par es controlable” (las equivalencias son muy parecidas para el caso del tiempo continuo). ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

Nos interesa la equivalencia que afirma que, si “El par es controlable” y todos los valores propios de tienen magnitud menor que ( es estable), entonces la solución única de ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle W_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{dc}{\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {BB^{T}}}}$

es positivo definido y está dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}=\sum _{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}}$

Esto se llama Gramiano de Controlabilidad discreta. Podemos ver fácilmente la correspondencia entre el tiempo discreto y el caso del tiempo continuo, es decir, si podemos comprobar que es definido positivo y que todos los valores propios de tienen magnitud menor que , el sistema es controlable. Se pueden encontrar más propiedades y pruebas en. ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

Sistemas variantes de tiempo lineal

Los sistemas de variante de tiempo lineal (LTV) son aquellos que tienen la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}}$

Es decir, las matrices tienen entradas que varían con el tiempo. Nuevamente, así como en el caso del tiempo continuo y en el caso del tiempo discreto, uno puede estar interesado en descubrir si el sistema dado por el par es controlable o no. Esto se puede hacer de forma muy similar a los casos anteriores. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$

El sistema es controlable en el tiempo si y sólo si existe un finito tal que la matriz, también llamada Controlabilidad Gramiana, dada por ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau ,}$

donde está la matriz de transición de estados de , es no singular. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$

Nuevamente, tenemos un método similar para determinar si un sistema es o no un sistema controlable.

Propiedades de Wc ( t 0 ,t 1 )

Tenemos que la Controlabilidad Gramiana tiene la siguiente propiedad: ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{c}(t,t_{1})+{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},t)}$

eso se puede ver fácilmente por la definición y por la propiedad de la matriz de transición de estado que afirma que: ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$

Puede encontrar más información sobre Controlabilidad Gramiana en ^[3]

Ver también

• Controlabilidad
• Observabilidad Gramiana
• matriz de Gramian
• Control mínimo de energía
• valor singular de Hankel

Referencias

1. Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales Tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. pag. 145.ISBN​ 0-19-511777-8.
2. Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales Tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. pag. 169.ISBN​ 0-19-511777-8.
3. Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales Tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. pag. 176.ISBN​ 0-19-511777-8.

enlaces externos

• Función Mathematica para calcular la controlabilidad Gramian