Función de control-Lyapunov

En teoría del control , una función de control-Lyapunov (CLF) ^{[1] [2] [3] [4]} es una extensión de la idea de la función de Lyapunov a sistemas con entradas de control . La función de Lyapunov ordinaria se utiliza para probar si un sistema dinámico es (Lyapunov) estable o (más restrictivamente) asintóticamente estable . La estabilidad de Lyapunov significa que si el sistema comienza en un estado en algún dominio D , entonces el estado permanecerá en D para siempre. Para la estabilidad asintótica , también se requiere que el estado converja . Se utiliza una función de control-Lyapunov para probar si un sistema es asintóticamente estabilizable , es decir, si para cualquier estado x existe un control tal que el sistema pueda llevarse al estado cero asintóticamente aplicando el control u . ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle u(x,t)}$

La teoría y aplicación de las funciones de control-Lyapunov fueron desarrolladas por Zvi Artstein y Eduardo D. Sontag en las décadas de 1980 y 1990.

Definición

Considere un sistema dinámico autónomo con entradas.

donde es el vector de estado y es el vector de control. Supongamos que nuestro objetivo es llevar el sistema a un equilibrio desde cada estado inicial en algún dominio . Sin pérdida de generalidad, supongamos que el equilibrio está en (para un equilibrio , puede trasladarse al origen mediante un cambio de variables). ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{*}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{*}=0}$ ${\displaystyle x_{*}\neq 0}$

Definición. Una función de control-Lyapunov (CLF) es una función que es continuamente diferenciable , positiva-definida (es decir, es positiva para todos excepto donde es cero), y tal que para todos existe algo tal que ${\displaystyle V:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}(x\neq 0),}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x,u):=\langle \nabla V(x),f(x,u)\rangle <0,}$

donde denota el producto interno de . ${\displaystyle \langle u,v\rangle }$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{n}}$

La última condición es la condición clave; en palabras dice que para cada estado x podemos encontrar un control u que reducirá la "energía" V . Intuitivamente, si en cada estado siempre podemos encontrar una manera de reducir la energía, eventualmente deberíamos poder llevar la energía asintóticamente a cero, es decir, detener el sistema. Esto se vuelve riguroso mediante el teorema de Artstein .

Algunos resultados se aplican sólo a sistemas afines al control, es decir, sistemas de control en la siguiente forma:

donde y para . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$

Teoremas

Eduardo Sontag demostró que para un sistema de control dado, existe un CLF continuo si y sólo si el origen es asintótico estabilizable. ^{[5] Más tarde} , Francis H. Clarke , Yuri Ledyaev, Eduardo Sontag y AI Subbotin demostraron que todo sistema asintóticamente controlable puede estabilizarse mediante una retroalimentación (generalmente discontinua). ^[6] Artstein demostró que el sistema dinámico ( 2 ) tiene una función de control-Lyapunov diferenciable si y sólo si existe una retroalimentación estabilizadora regular u ( x ).

Construyendo la entrada estabilizadora

A menudo es difícil encontrar una función de control de Lyapunov para un sistema dado, pero si se encuentra, entonces el problema de estabilización por retroalimentación se simplifica considerablemente. Para el sistema afín de control ( 2 ), la fórmula de Sontag (o fórmula universal de Sontag ) da la ley de retroalimentación directamente en términos de las derivadas del CLF. ^{[4] : Ec. 5.56} En el caso especial de un sistema de entrada única , la fórmula de Sontag se escribe como ${\displaystyle k:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle (m=1)}$

${\displaystyle k(x)={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {L_{f}V(x)+{\sqrt {\left[L_{f}V(x)\right]^{2}+\left[L_{g}V(x)\right]^{4}}}}{L_{g}V(x)}}&{\text{ if }}L_{g}V(x)\neq 0\\0&{\text{ if }}L_{g}V(x)=0\end{cases}}}$

donde y son las derivadas de Lie de together y , respectivamente. ${\displaystyle L_{f}V(x):=\langle \nabla V(x),f(x)\rangle }$ ${\displaystyle L_{g}V(x):=\langle \nabla V(x),g(x)\rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Para el sistema no lineal general ( 1 ), la entrada se puede encontrar resolviendo un problema de programación estática no lineal. ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u^{*}(x)={\underset {u}{\operatorname {arg\,min} }}\nabla V(x)\cdot f(x,u)}$

para cada estado x .

Ejemplo

A continuación se muestra un ejemplo característico de la aplicación de una función candidata de Lyapunov a un problema de control.

Considere el sistema no lineal, que es un sistema masa-resorte-amortiguador con endurecimiento del resorte y masa dependiente de la posición descrito por

${\displaystyle m(1+q^{2}){\ddot {q}}+b{\dot {q}}+K_{0}q+K_{1}q^{3}=u}$

Ahora, dado el estado deseado, y el estado real, con error, defina una función como ${\displaystyle q_{d}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle e=q_{d}-q}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r={\dot {e}}+\alpha e}$

Un candidato de Control-Lyapunov es entonces

${\displaystyle r\mapsto V(r):={\frac {1}{2}}r^{2}}$

lo cual es positivo para todos . ${\displaystyle r\neq 0}$

Ahora tomando la derivada temporal de ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}=r{\dot {r}}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=({\dot {e}}+\alpha e)({\ddot {e}}+\alpha {\dot {e}})}$

El objetivo es conseguir que la derivada del tiempo sea

${\displaystyle {\dot {V}}=-\kappa V}$

que es globalmente exponencialmente estable si es globalmente positivo definido (que lo es). ${\displaystyle V}$

Por lo tanto queremos el corchete más a la derecha de , ${\displaystyle {\dot {V}}}$

${\displaystyle ({\ddot {e}}+\alpha {\dot {e}})=({\ddot {q}}_{d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})}$

para cumplir con el requisito

${\displaystyle ({\ddot {q}}_{d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)}$

que al sustituir la dinámica, da ${\displaystyle {\ddot {q}}}$

${\displaystyle \left({\ddot {q}}_{d}-{\frac {u-K_{0}q-K_{1}q^{3}-b{\dot {q}}}{m(1+q^{2})}}+\alpha {\dot {e}}\right)=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)}$

Resolviendo para obtener la ley de control ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u=m(1+q^{2})\left({\ddot {q}}_{d}+\alpha {\dot {e}}+{\frac {\kappa }{2}}r\right)+K_{0}q+K_{1}q^{3}+b{\dot {q}}}$

con y , ambos mayores que cero, como parámetros ajustables ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$

Esta ley de control garantizará la estabilidad exponencial global ya que al sustituir en el tiempo los rendimientos derivados, como se esperaba

${\displaystyle {\dot {V}}=-\kappa V}$

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden que tiene solución

${\displaystyle V=V(0)\exp(-\kappa t)}$

Y de ahí el error y la tasa de error, recordando que , decaen exponencialmente hasta cero. ${\displaystyle V={\frac {1}{2}}({\dot {e}}+\alpha e)^{2}}$

Si desea ajustar una respuesta particular a partir de esto, es necesario volver a sustituirla en la solución que derivamos y resolvemos . Esto se deja como ejercicio para el lector, pero los primeros pasos para llegar a la solución son: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle r{\dot {r}}=-{\frac {\kappa }{2}}r^{2}}$

${\displaystyle {\dot {r}}=-{\frac {\kappa }{2}}r}$

${\displaystyle r=r(0)\exp \left(-{\frac {\kappa }{2}}t\right)}$

${\displaystyle {\dot {e}}+\alpha e=({\dot {e}}(0)+\alpha e(0))\exp \left(-{\frac {\kappa }{2}}t\right)}$

que luego se puede resolver utilizando cualquier método de ecuación diferencial lineal.

Referencias

1. Isidori, A. (1995). Sistemas de control no lineales . Saltador. ISBN 978-3-540-19916-8.
2. Hombre libre, Randy A.; Petar V. Kokotovic (2008). "Funciones de control robustas de Lyapunov". Diseño robusto de control no lineal (ilustrado, reimpresión ed.). Birkhäuser. págs. 33–63. doi :10.1007/978-0-8176-4759-9_3. ISBN 978-0-8176-4758-2. Consultado el 4 de marzo de 2009 .
3. Khalil, Hassan (2015). Control no lineal . Pearson. ISBN 9780133499261.
4. Sontag, Eduardo (1998). Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensiones finitas. Segunda edición (PDF) . Saltador. ISBN 978-0-387-98489-6.
5. Sontag, ED (1983). "Una caracterización similar a Lyapunov de la controlabilidad asintótica". SIAM J. Control óptimo . 21 (3): 462–471. doi :10.1137/0321028. S2CID  450209.
6. Clarke, FH; Ledyaev, YS; Sontag, ED; Subbotín, AI (1997). "La controlabilidad asintótica implica estabilización por retroalimentación". Traducción IEEE. Automático. Control . 42 (10): 1394-1407. doi : 10.1109/9.633828.

Ver también

• teorema de artstein
• Optimización de Lyapunov
• Deriva más penalización