Un contraejemplo es cualquier excepción a una generalización . En lógica, un contraejemplo refuta la generalización, y lo hace rigurosamente en los campos de las matemáticas y la filosofía . [1] Por ejemplo, el hecho de que "el estudiante John Smith no es perezoso" es un contraejemplo de la generalización "los estudiantes son perezosos", y a la vez un contraejemplo y una refutación de la cuantificación universal "todos los estudiantes son perezosos". [2]
En matemáticas, los contraejemplos se utilizan a menudo para demostrar los límites de los teoremas posibles. Al utilizar contraejemplos para demostrar que ciertas conjeturas son falsas, los investigadores matemáticos pueden evitar caer en callejones sin salida y aprender a modificar las conjeturas para producir teoremas demostrables. A veces se dice que el desarrollo matemático consiste principalmente en encontrar (y demostrar) teoremas y contraejemplos. [3]
Supongamos que una matemática estudia geometría y formas y desea demostrar ciertos teoremas sobre ellas. Conjetura que "todos los rectángulos son cuadrados " y le interesa saber si esta afirmación es verdadera o falsa.
En este caso, puede intentar demostrar la verdad de la afirmación mediante razonamiento deductivo o puede intentar encontrar un contraejemplo de la afirmación si sospecha que es falsa. En este último caso, un contraejemplo sería un rectángulo que no es un cuadrado, como un rectángulo con dos lados de longitud 5 y dos lados de longitud 7. Sin embargo, a pesar de haber encontrado rectángulos que no eran cuadrados, todos los rectángulos que encontró tenían cuatro lados. Luego formula la nueva conjetura "Todos los rectángulos tienen cuatro lados". Esta es lógicamente más débil que su conjetura original, ya que todo cuadrado tiene cuatro lados, pero no toda forma de cuatro lados es un cuadrado.
El ejemplo anterior explicaba, de manera simplificada, cómo un matemático podría debilitar su conjetura frente a contraejemplos, pero los contraejemplos también pueden utilizarse para demostrar la necesidad de ciertas suposiciones e hipótesis . Por ejemplo, supongamos que después de un tiempo, el matemático anterior se decidiera por la nueva conjetura "Todas las formas que son rectángulos y tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados". Esta conjetura tiene dos partes: la forma debe ser "un rectángulo" y debe tener "cuatro lados de igual longitud". El matemático querría entonces saber si puede eliminar cualquiera de las dos suposiciones y mantener la verdad de su conjetura. Esto significa que necesita comprobar la verdad de las dos afirmaciones siguientes:
Ya se ha dado un contraejemplo de (1) y un contraejemplo de (2) es un rombo no cuadrado . Por tanto, el matemático sabe ahora que cada suposición por sí sola es insuficiente.
Un contraejemplo de la afirmación "todos los números primos son impares " es el número 2, ya que es un número primo pero no es un número impar. [1] Ninguno de los números 7 o 10 es un contraejemplo, ya que ninguno de ellos es suficiente para contradecir la afirmación. En este ejemplo, 2 es de hecho el único contraejemplo posible de la afirmación, aunque eso por sí solo es suficiente para contradecir la afirmación. De manera similar, la afirmación "todos los números naturales son primos o compuestos " tiene el número 1 como contraejemplo, ya que 1 no es primo ni compuesto.
La conjetura de Euler sobre la suma de potencias fue refutada por un contraejemplo. Afirmaba que eran necesarias al menos n potencias n para sumar otra potencia n . Esta conjetura fue refutada en 1966 [4] con un contraejemplo que implicaba n = 5; ahora se conocen otros contraejemplos n = 5, así como algunos contraejemplos n = 4. [5]
El contraejemplo de Witsenhausen muestra que no siempre es cierto (para problemas de control ) que una función de pérdida cuadrática y una ecuación lineal de evolución de la variable de estado impliquen leyes de control óptimas que sean lineales.
Todas las isometrías del plano euclidiano son aplicaciones que preservan el área , pero lo inverso es falso como lo muestran los contraejemplos de la aplicación de corte y la aplicación de compresión .
Otros ejemplos incluyen las refutaciones de la conjetura de Seifert , la conjetura de Pólya , la conjetura del decimocuarto problema de Hilbert , la conjetura de Tait y la conjetura de Ganea .
En filosofía , los contraejemplos se utilizan habitualmente para argumentar que una determinada posición filosófica es errónea, demostrando que no se aplica en determinados casos. Alternativamente, el primer filósofo puede modificar su afirmación de modo que el contraejemplo ya no se aplique; esto es análogo a cuando un matemático modifica una conjetura debido a un contraejemplo.
Por ejemplo, en el Gorgias de Platón , Calicles , tratando de definir lo que significa decir que algunas personas son "mejores" que otras, afirma que aquellos que son más fuertes son mejores.
Pero Sócrates responde que, debido a su fuerza numérica, la clase de la plebe común es más fuerte que la clase propietaria de los nobles, aunque las masas sean prima facie de peor carácter. Así, Sócrates ha propuesto un contraejemplo a la afirmación de Calicles, al examinar un ámbito que Calicles tal vez no esperaba: los grupos de personas en lugar de las personas individuales.
Calicles podría desafiar el contraejemplo de Sócrates, argumentando tal vez que la plebe común es realmente mejor que los nobles, o que incluso en su gran número, no son más fuertes. Pero si Calicles acepta el contraejemplo, entonces debe retirar su afirmación o modificarla de modo que el contraejemplo ya no sea aplicable. Por ejemplo, podría modificar su afirmación para referirse sólo a personas individuales, lo que le obligaría a pensar en la gente común como una colección de individuos y no como una turba.
Resulta que modifica su afirmación para decir "más sabio" en lugar de "más fuerte", argumentando que ninguna cantidad de superioridad numérica puede hacer que las personas sean más sabias.
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