Incrustación continua

En matemáticas , se dice que un espacio vectorial normado está continuamente inmerso en otro espacio vectorial normado si la función de inclusión entre ellos es continua . En cierto sentido, las dos normas son "casi equivalentes", aunque no estén definidas en el mismo espacio. Varios de los teoremas de inmerso de Sobolev son teoremas de inmerso continuo.

Definición

Sean X e Y dos espacios vectoriales normados, con normas ||·|| _X y ||·|| _Y respectivamente, tales que X  ⊆  Y . Si la función de inclusión (función identidad)

${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y:x\mapsto x}$

es continua, es decir, si existe una constante C  > 0 tal que

${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$

para cada x en X , entonces se dice que X está continuamente embebido en Y . Algunos autores usan la flecha en forma de gancho "↪" para denotar una incrustación continua, es decir, " X  ​​↪  Y " significa " X e Y son espacios normados con X continuamente embebido en Y ". Este es un uso consistente de la notación desde el punto de vista de la categoría de espacios vectoriales topológicos , en la que los morfismos ("flechas") son las aplicaciones lineales continuas .

Ejemplos

• Un ejemplo de dimensión finita de una incrustación continua está dado por una incrustación natural de la línea real X  =  R en el plano Y  =  R ² , donde a ambos espacios se les da la norma euclidiana:

${\displaystyle i:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2}:x\mapsto (x,0)}$

En este caso, || x || _X  = || x || _Y para cada número real X . Claramente, la elección óptima de la constante C es C  = 1.

• Un ejemplo de dimensión infinita de una incrustación continua lo da el teorema de Rellich-Kondrachov : sea Ω ⊆  R ⁿ un dominio de Lipschitz abierto y acotado , y sea 1 ≤  p  <  n .

${\displaystyle p^{*}={\frac {np}{n-p}}.}$

Entonces el espacio de Sobolev W ^{1, p} (Ω;  R ) está continuamente embebido en el espacio L p L ^{p ∗} (Ω;  R ). De hecho, para 1 ≤  q  <  p ^∗ , esta incrustación es compacta . La constante óptima C dependerá de la geometría del dominio Ω.

• Los espacios de dimensión infinita también ofrecen ejemplos de incrustaciones discontinuas . Por ejemplo, considere

${\displaystyle X=Y=C^{0}([0,1];\mathbf {R} ),}$

el espacio de funciones continuas de valor real definidas en el intervalo unitario, pero dotadas de la norma L ^{1 para} X y de la norma suprema para Y. Para n  ∈  N , sea f _n la función lineal continua por partes dada por

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-n^{2}x+n,&0\leq x\leq {\tfrac {1}{n}};\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Entonces, para cada n , || f _n || _Y  = || f _n || _∞  =  n , pero

${\displaystyle \|f_{n}\|_{L^{1}}=\int _{0}^{1}|f_{n}(x)|\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}.}$

Por lo tanto, no se puede encontrar ninguna constante C tal que || f _n || _Y  ≤  C || f _n || _X , y por lo tanto la incrustación de X en Y es discontinua.

Véase también

• Incorporación compacta

Referencias

• Renardy, M. y Rogers, RC (1992). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-97952-2.