Armónicos (potencia eléctrica)

Onda sinusoidal cuya frecuencia es un múltiplo entero

En un sistema de energía eléctrica , un armónico de una forma de onda de voltaje o corriente es una onda sinusoidal cuya frecuencia es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental . Las frecuencias armónicas se producen por la acción de cargas no lineales como rectificadores , iluminación de descarga o máquinas eléctricas saturadas . Son una causa frecuente de problemas de calidad de la energía y pueden provocar un aumento del calentamiento de los equipos y conductores, fallas de encendido en variadores de velocidad y pulsaciones de par en motores y generadores.

Los armónicos se clasifican generalmente según dos criterios diferentes: el tipo de señal (tensión o corriente) y el orden del armónico (par, impar, ternario o impar no ternario); en un sistema trifásico, se pueden clasificar además según su secuencia de fases ( positiva , negativa , cero ).

Armónicos de corriente

En un sistema de alimentación de corriente alterna normal , la corriente varía sinusoidalmente a una frecuencia específica, normalmente 50 o 60 hercios . Cuando se conecta al sistema una carga eléctrica lineal invariante en el tiempo , esta consume una corriente sinusoidal a la misma frecuencia que el voltaje, aunque no siempre en fase con el voltaje). ^{[1] : 2}

Una lámpara fluorescente compacta es un ejemplo de carga eléctrica con una característica no lineal, debido al circuito rectificador que utiliza. La forma de onda de la corriente, azul, está muy distorsionada.

Los armónicos de corriente son causados ​​por cargas no lineales. Cuando una carga no lineal, como un rectificador, se conecta al sistema, consume una corriente que no es sinusoidal. La distorsión de la forma de onda de la corriente puede ser bastante compleja, dependiendo del tipo de carga y su interacción con otros componentes del sistema.

Independientemente de lo compleja que sea la forma de onda de la corriente, la transformada de la serie de Fourier permite deconstruir la forma de onda compleja en una serie de sinusoides simples, que comienzan en la frecuencia fundamental del sistema de potencia y se producen en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. En los sistemas de potencia , los armónicos se definen como múltiplos enteros positivos de la frecuencia fundamental. Por lo tanto, el tercer armónico es el tercer múltiplo de la frecuencia fundamental.

Los armónicos en los sistemas de energía son generados por cargas no lineales. Los dispositivos semiconductores como transistores, IGBT, MOSFET, diodos, etc. son todos cargas no lineales. Otros ejemplos de cargas no lineales incluyen equipos de oficina comunes como computadoras e impresoras, iluminación fluorescente, cargadores de baterías y también variadores de velocidad. Los motores eléctricos normalmente no contribuyen significativamente a la generación de armónicos. Sin embargo, tanto los motores como los transformadores crearán armónicos cuando estén sobrecargados o saturados.

Las corrientes de carga no lineales crean distorsión en la forma de onda de voltaje sinusoidal pura suministrada por la empresa de servicios públicos, y esto puede generar resonancia. Los armónicos pares normalmente no existen en el sistema de energía debido a la simetría entre las mitades positiva y negativa de un ciclo. Además, si las formas de onda de las tres fases son simétricas, los múltiplos armónicos de tres se suprimen mediante la conexión delta (Δ) de transformadores y motores como se describe a continuación.

Si nos centramos, por ejemplo, en el tercer armónico, podemos ver cómo se comportan todos los armónicos con un múltiplo de tres en los sistemas de potencia. ^[2] La potencia se suministra mediante un sistema trifásico, en el que cada fase está separada 120 grados. Esto se hace por dos razones: principalmente porque los generadores y motores trifásicos son más sencillos de construir debido al par constante desarrollado a través de las tres fases; y en segundo lugar, si las tres fases están equilibradas, suman cero y el tamaño de los conductores neutros se puede reducir o incluso omitir en algunos casos. Ambas medidas dan como resultado importantes ahorros de costes para las empresas de servicios públicos.

Armónicos de tercer orden

Adición armónica de tercer orden

Sin embargo, la corriente armónica de tercer orden equilibrada no se sumará a cero en el neutro. Como se ve en la figura, el tercer armónico se sumará de manera constructiva a través de las tres fases. Esto conduce a una corriente en el conductor neutro a tres veces la frecuencia fundamental, lo que puede causar problemas si el sistema no está diseñado para ello (es decir, conductores dimensionados solo para el funcionamiento normal). ^[2] Para reducir el efecto de los armónicos de tercer orden, se utilizan conexiones delta como atenuadores, o cortocircuitos de tercer armónico ya que la corriente circula en la conexión delta en lugar de fluir en el neutro de un transformador Y-Δ (conexión en estrella).

Armónicos de tensión

Los armónicos de tensión son causados ​​principalmente por armónicos de corriente. El voltaje proporcionado por la fuente de voltaje será distorsionado por armónicos de corriente debido a la impedancia de la fuente. Si la impedancia de la fuente de voltaje es pequeña, los armónicos de corriente causarán solo pequeños armónicos de voltaje. Por lo general, los armónicos de voltaje son de hecho pequeños en comparación con los armónicos de corriente. Por esa razón, la forma de onda de voltaje generalmente se puede aproximar por la frecuencia fundamental del voltaje. Si se utiliza esta aproximación, los armónicos de corriente no producen ningún efecto en la potencia real transferida a la carga. Una forma intuitiva de ver esto es dibujar la onda de voltaje en la frecuencia fundamental y superponer un armónico de corriente sin cambio de fase (para observar más fácilmente el siguiente fenómeno). Lo que se puede observar es que para cada período de voltaje, hay un área igual por encima del eje horizontal y por debajo de la onda armónica de corriente que por debajo del eje y por encima de la onda armónica de corriente. Esto significa que la potencia real promedio aportada por los armónicos de corriente es igual a cero. Sin embargo, si se consideran armónicos de voltaje más altos, entonces los armónicos de corriente sí contribuyen a la potencia real transferida a la carga.

Un conjunto de tres voltajes de línea (o de línea a línea) en un sistema de energía trifásico equilibrado (de tres o cuatro cables) no puede contener armónicos cuya frecuencia sea un múltiplo entero de la frecuencia de los terceros armónicos ( es decir, armónicos de orden ), lo que incluye armónicos triplen ( es decir, armónicos de orden ). ^[3] Esto ocurre porque de lo contrario se violaría la ley de voltaje de Kirchhoff (LTK): dichos armónicos están en fase, por lo que su suma para las tres fases no es cero, sin embargo, la LTK requiere que la suma de dichos voltajes sea cero, lo que requiere que la suma de dichos armónicos también sea cero. Con el mismo argumento, un conjunto de tres corrientes de línea en un sistema de energía trifásico equilibrado de tres cables no puede contener armónicos cuya frecuencia sea un múltiplo entero de la frecuencia de los terceros armónicos; pero un sistema de cuatro cables puede, y los armónicos triplen de las corrientes de línea constituirían la corriente neutra. ${\displaystyle h=3n}$ ${\displaystyle h=3(2n-1)}$

Armónicos pares, impares, ternarios y no ternarios

Los armónicos de una señal periódica distorsionada (no sinusoidal) se pueden clasificar según su orden.

La frecuencia cíclica (en hercios) de los armónicos se escribe generalmente como o , y son iguales a o , donde o es el orden de los armónicos (que son números enteros) y es la frecuencia cíclica fundamental de la señal periódica distorsionada (no sinusoidal). De manera similar, la frecuencia angular (en radianes por segundo) de los armónicos se escribe como o , y son iguales a o , donde es la frecuencia angular fundamental de la señal periódica distorsionada (no sinusoidal). La frecuencia angular está relacionada con la frecuencia cíclica como (válido tanto para los armónicos como para el componente fundamental). ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{h}}$ ${\displaystyle nf_{0}}$ ${\displaystyle hf_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{h}}$ ${\displaystyle n\omega _{0}}$ ${\displaystyle h\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

Armónicos pares

Los armónicos pares de una señal periódica distorsionada (no sinusoidal) son armónicos cuya frecuencia es un múltiplo entero par distinto de cero de la frecuencia fundamental de la señal distorsionada (que es la misma que la frecuencia del componente fundamental). Por lo tanto, su orden viene dado por:

${\displaystyle h=2k,\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(even harmonics)}}}$

donde es un número entero; por ejemplo, . Si la señal distorsionada se representa en la forma trigonométrica o en la forma amplitud-fase de la serie de Fourier, entonces toma solo valores enteros positivos (sin incluir cero), es decir, toma valores del conjunto de números naturales ; si la señal distorsionada se representa en la forma exponencial compleja de la serie de Fourier, entonces toma valores enteros negativos y positivos (sin incluir cero, ya que el componente de CC generalmente no se considera como un armónico). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h=2,4,6,8,10}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Armónicos impares

Los armónicos impares de una señal periódica distorsionada (no sinusoidal) son armónicos cuya frecuencia es un múltiplo entero impar de la frecuencia fundamental de la señal distorsionada (que es la misma que la frecuencia del componente fundamental). Por lo tanto, su orden viene dado por:

${\displaystyle h=2k-1,\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(odd harmonics)}}}$

Por ejemplo, . ${\displaystyle h=1,3,5,7,9}$

En señales periódicas distorsionadas (o formas de onda) que poseen simetría de media onda , lo que significa que la forma de onda durante el semiciclo negativo es igual al negativo de la forma de onda durante el semiciclo positivo, todos los armónicos pares son cero ( ) y el componente de CC también es cero ( ), por lo que solo tienen armónicos impares ( ); estos armónicos impares en general son términos coseno así como términos seno, pero en ciertas formas de onda como las ondas cuadradas los términos coseno son cero ( , ). En muchas cargas no lineales como inversores , controladores de voltaje de CA y cicloconvertidores , la(s) forma(s) de onda del voltaje de salida generalmente tiene simetría de media onda y por lo tanto solo contiene armónicos impares. ${\displaystyle a_{2k}=b_{2k}=A_{2k}=0}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle A_{2k-1}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{2k-1}=0}$ ${\displaystyle b_{2k-1}\neq 0}$

El componente fundamental es un armónico impar, ya que cuando , la fórmula anterior da como resultado , que es el orden del componente fundamental. Si se excluye el componente fundamental de los armónicos impares, entonces el orden de los armónicos restantes viene dado por: ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle h=1}$

${\displaystyle h=2k+1,\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(odd harmonics that aren't the fundamental)}}}$

Por ejemplo, . ${\displaystyle h=3,5,7,9,11}$

Armónicos triples

Los armónicos triples de una señal periódica distorsionada (no sinusoidal) son armónicos cuya frecuencia es un múltiplo entero impar de la frecuencia del tercer armónico de la señal distorsionada, lo que da como resultado una corriente en el conductor neutro. ^[4] Su orden viene dado por:

${\displaystyle h=3(2k-1),\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(triplen harmonics)}}}$

Por ejemplo, . ${\displaystyle h=3,9,15,21,27}$

Todos los armónicos triples son también armónicos impares, pero no todos los armónicos impares son también armónicos triples.

Armónicos impares no triples

Ciertas señales periódicas distorsionadas (no sinusoidales) solo poseen armónicos que no son pares ni triples , por ejemplo, la tensión de salida de un controlador de tensión CA trifásico conectado en estrella con control de ángulo de fase y un ángulo de disparo de y con una carga puramente resistiva conectada a su salida y alimentada con tensiones sinusoidales balanceadas trifásicas. Su orden viene dado por: ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}(6\,k+[-1]^{k}-3),\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(non-triplen odd harmonics)}}}$

Por ejemplo, . ${\displaystyle h=1,5,7,11,13,17,19,23,25}$

Todos los armónicos que no son armónicos pares ni armónicos triples también son armónicos impares, pero no todos los armónicos impares son también armónicos que no son armónicos pares ni armónicos triples.

Si se excluye el componente fundamental de los armónicos que no son pares ni ternarios, entonces el orden de los armónicos restantes viene dado por:

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}(-1)^{k}(6\,k[-1]^{k}+3[-1]^{k}-1),\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(non-triplen odd harmonics that aren't the fundamental)}}}$

o también por:

${\displaystyle h=6k\mp 1,\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(non-triplen odd harmonics that aren't the fundamental)}}}$

Por ejemplo, . En este último caso, estos armónicos son llamados por IEEE como armónicos no triples impares . ^[5] ${\displaystyle h=5,7,11,13,17,19,23,25}$

Armónicos de secuencia positiva, secuencia negativa y secuencia cero

En el caso de sistemas trifásicos equilibrados (de tres o cuatro hilos), los armónicos de un conjunto de tres señales periódicas distorsionadas (no sinusoidales) también se pueden clasificar según su secuencia de fases. ^{[6] : 7–8  [7] [3]}

Armónicos de secuencia positiva

Los armónicos de secuencia positiva de un conjunto de señales periódicas distorsionadas trifásicas (no sinusoidales) son armónicos que tienen la misma secuencia de fase que la de las tres señales originales y están desfasados ​​en el tiempo 120° entre sí para una frecuencia u orden dados. ^[8] Se puede demostrar que los armónicos de secuencia positiva son armónicos cuyo orden viene dado por:

${\displaystyle h=3k-2,\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(positive sequence harmonics)}}}$

por ejemplo, . ^{[7] [3]} ${\displaystyle h=1,4,7,10,13}$

Los componentes fundamentales de las tres señales son armónicos de secuencia positiva, ya que cuando , la fórmula anterior da como resultado , que es el orden de los componentes fundamentales. Si se excluyen los componentes fundamentales de los armónicos de secuencia positiva, entonces el orden de los armónicos restantes viene dado por: ^[6] ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle h=1}$

${\displaystyle h=3k+1,\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(positive sequence harmonics that aren't the fundamentals)}}}$

Por ejemplo, . ${\displaystyle h=4,7,10,13,16}$

Armónicos de secuencia negativa

Los armónicos de secuencia negativa de un conjunto de señales periódicas distorsionadas trifásicas (no sinusoidales) son armónicos que tienen una secuencia de fase opuesta a la de las tres señales originales y están desfasados ​​en el tiempo 120° para una frecuencia u orden dados. ^[8] Se puede demostrar que los armónicos de secuencia negativa son armónicos cuyo orden está dado por: ^[6]

${\displaystyle h=3k-1,\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(negative sequence harmonics)}}}$

por ejemplo, . ^{[7] [3]} ${\displaystyle h=2,5,8,11,14}$

Armónicos de secuencia cero

Los armónicos de secuencia cero de un conjunto de señales periódicas distorsionadas trifásicas (no sinusoidales) son armónicos que están en fase en el tiempo para una frecuencia u orden dados. Se puede demostrar que los armónicos de secuencia cero son armónicos cuya frecuencia es un múltiplo entero de la frecuencia de los terceros armónicos. ^[6] Por lo tanto, su orden viene dado por:

${\displaystyle h=3k,\quad k\in \mathbb {N} \quad {\text{(zero sequence harmonics)}}}$

por ejemplo, . ^{[7] [3]} ${\displaystyle h=3,6,9,12,15}$

Todos los armónicos triplen son también armónicos de secuencia cero, ^[6] pero no todos los armónicos de secuencia cero son también armónicos triplen.

Distorsión armónica total

La distorsión armónica total , o THD, es una medida común del nivel de distorsión armónica presente en los sistemas de energía. La THD puede estar relacionada con los armónicos de corriente o de voltaje, y se define como la relación entre el valor RMS de todos los armónicos y el valor RMS del componente fundamental multiplicado por 100 %; se ignora el componente de CC.

${\displaystyle {\mathit {THD_{V}}}={\frac {\sqrt {V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+\cdots +V_{n}^{2}}}{V_{1}}}\cdot 100\%={\frac {\sqrt {\sum _{k\mathop {=} 2}^{n}V_{k}^{2}}}{V_{1}}}\cdot 100\%}$

${\displaystyle {THD_{I}}={\frac {\sqrt {I_{2}^{2}+I_{3}^{2}+I_{4}^{2}+\cdots +I_{n}^{2}}}{I_{1}}}\cdot 100\%={\frac {\sqrt {\sum _{k\mathop {=} 2}^{n}I_{k}^{2}}}{I_{1}}}\cdot 100\%}$

donde V _k es el voltaje RMS del k -ésimo armónico, I _k es la corriente RMS del k -ésimo armónico y k  = 1 es el orden del componente fundamental.

Generalmente, ignoramos los armónicos de voltaje más alto; sin embargo, si no los ignoramos, la potencia real transferida a la carga se ve afectada por los armónicos. La potencia real promedio se puede encontrar sumando el producto del voltaje y la corriente (y el factor de potencia, denotado aquí por pf ) en cada frecuencia más alta al producto del voltaje y la corriente en la frecuencia fundamental, o

${\displaystyle {P_{\text{avg}}}=\sum _{k\mathop {=} 1}^{\infty }V_{k}\cdot I_{k}\cdot pf=P_{{\text{avg}},1}+P_{{\text{avg}},2}+\cdots }$

donde V _k e I _k son las magnitudes de voltaje y corriente RMS en el armónico k ( denota la frecuencia fundamental), y es la definición convencional de potencia sin tener en cuenta los componentes armónicos. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle P_{{\text{avg}},1}}$

El factor de potencia mencionado anteriormente es el factor de potencia de desplazamiento. Existe otro factor de potencia que depende de la distorsión armónica total (THD). El factor de potencia real puede tomarse como la relación entre la potencia real promedio y la magnitud del voltaje y la corriente RMS, . ^[9] ${\displaystyle pf_{\text{true}}={\frac {P_{\text{avg}}}{V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}}}}$

${\displaystyle {V_{\text{rms}}}=V_{1,{\text{rms}}}{\sqrt {1+\left({\frac {THD_{V}}{100}}\right)^{2}}}}$

y

${\displaystyle {I_{\text{rms}}}=I_{1,{\text{rms}}}{\sqrt {1+\left({\frac {THD_{I}}{100}}\right)^{2}}}}$

Sustituyendo esto en la ecuación del factor de potencia real, queda claro que la cantidad puede tomarse como si tuviera dos componentes, uno de los cuales es el factor de potencia tradicional (despreciando la influencia de los armónicos) y otro es la contribución de los armónicos al factor de potencia:

${\displaystyle {pf_{\text{true}}}={\frac {P_{\text{avg}}}{V_{1,{\text{rms}}}I_{1,{\text{rms}}}}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {1+\left({\frac {THD_{V}}{100}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {THD_{I}}{100}}\right)^{2}}}}}.}$

A los dos factores distintos se les asignan los nombres siguientes:

${\displaystyle pf_{\text{true}}=pf_{\text{disp}}\cdot pf_{\text{dist}},}$

donde es el factor de potencia de desplazamiento y es el factor de potencia de distorsión (es decir, la contribución de los armónicos al factor de potencia total). ${\displaystyle pf_{\text{disp}}}$ ${\displaystyle pf_{\text{dist}}}$

Efectos

Uno de los principales efectos de los armónicos en los sistemas eléctricos es el aumento de la corriente en el sistema. Esto es particularmente cierto en el caso del tercer armónico, que provoca un aumento brusco de la corriente de secuencia cero y, por lo tanto, aumenta la corriente en el conductor neutro . Este efecto puede requerir una consideración especial en el diseño de un sistema eléctrico destinado a soportar cargas no lineales. ^[10]

Además del aumento de la corriente de línea, diferentes equipos eléctricos pueden sufrir efectos de los armónicos en el sistema eléctrico.

Motores

Los motores eléctricos experimentan pérdidas debido a la histéresis y las corrientes parásitas que se generan en el núcleo de hierro del motor. Estas son proporcionales a la frecuencia de la corriente. Dado que los armónicos se encuentran a frecuencias más altas, producen mayores pérdidas en el núcleo de un motor que las que produciría la frecuencia de potencia. Esto da como resultado un mayor calentamiento del núcleo del motor, que (si es excesivo) puede acortar la vida útil del motor. El quinto armónico provoca una CEMF (fuerza contraelectromotriz) en los motores grandes que actúa en la dirección opuesta a la rotación. La CEMF no es lo suficientemente grande como para contrarrestar la rotación; sin embargo, desempeña un pequeño papel en la velocidad de rotación resultante del motor.

Teléfonos

En Estados Unidos, las líneas telefónicas comunes están diseñadas para transmitir frecuencias entre 300 y 3400 Hz. Dado que la energía eléctrica en Estados Unidos se distribuye a 60 Hz, normalmente no interfiere con las comunicaciones telefónicas porque su frecuencia es demasiado baja.

Fuentes

Un voltaje sinusoidal puro es una cantidad conceptual producida por un generador de CA ideal construido con bobinados de estator y de campo finamente distribuidos que funcionan en un campo magnético uniforme. Dado que ni la distribución de bobinados ni el campo magnético son uniformes en una máquina de CA en funcionamiento, se crean distorsiones en la forma de onda del voltaje y la relación voltaje-tiempo se desvía de la función sinusoidal pura. La distorsión en el punto de generación es muy pequeña (aproximadamente entre el 1% y el 2%), pero aun así existe. Debido a que se trata de una desviación de una onda sinusoidal pura, la desviación tiene la forma de una función periódica y, por definición, la distorsión del voltaje contiene armónicos.

Cuando se aplica una tensión sinusoidal a una carga lineal invariante en el tiempo, como un elemento calefactor, la corriente que la atraviesa también es sinusoidal. En cargas no lineales o variables en el tiempo, como un amplificador con distorsión por recorte, la oscilación de tensión de la sinusoide aplicada es limitada y el tono puro se contamina con una plétora de armónicos.

Cuando hay una impedancia significativa en el camino desde la fuente de energía hasta una carga no lineal, estas distorsiones de corriente también producirán distorsiones en la forma de onda de voltaje en la carga. Sin embargo, en la mayoría de los casos en los que el sistema de suministro de energía funciona correctamente en condiciones normales, las distorsiones de voltaje serán bastante pequeñas y, por lo general, se pueden ignorar.

La distorsión de la forma de onda se puede analizar matemáticamente para demostrar que es equivalente a superponer componentes de frecuencia adicionales a una onda sinusoidal pura. Estas frecuencias son armónicos (múltiplos enteros) de la frecuencia fundamental y, a veces, pueden propagarse hacia afuera desde cargas no lineales, lo que causa problemas en otras partes del sistema eléctrico.

El ejemplo clásico de una carga no lineal es un rectificador con un filtro de entrada de capacitor, donde el diodo rectificador solo permite que la corriente pase a la carga durante el tiempo en que el voltaje aplicado excede el voltaje almacenado en el capacitor, que podría ser una porción relativamente pequeña del ciclo de voltaje entrante.

Otros ejemplos de cargas no lineales son los cargadores de baterías, los balastos electrónicos, los variadores de frecuencia y las fuentes de alimentación de modo conmutado.

Véase también

• Factor de potencia

Lectura adicional

• Sankaran, C. (1999-10-01). "Efectos de los armónicos en los sistemas de potencia". Revista de construcción y mantenimiento eléctrico . Penton Media, Inc. . Consultado el 11 de marzo de 2020 .

Referencias

1. Das, JC (2015). Armónicos del sistema de potencia y diseño de filtros pasivos . Wiley, IEEE Press. ISBN 978-1-118-86162-2Para distinguir entre cargas lineales y no lineales , podemos decir que las cargas lineales invariantes en el tiempo se caracterizan de modo que la aplicación de un voltaje sinusoidal da como resultado un flujo de corriente sinusoidal.
2. "Armónicos simplificados". ecmweb.com . Consultado el 25 de noviembre de 2015 .
3. Wakileh, George J. (2001). Armónicos de sistemas de potencia: fundamentos, análisis y diseño de filtros (1.ª edición). Springer. pp. 13-15. ISBN 978-3-642-07593-3.
4. Edvard Csanyl (15 de enero de 2018). "¿Qué son los armónicos triples y dónde se producen?" . Consultado el 23 de junio de 2024 .
5. IEEE Standard 519 , Prácticas y requisitos recomendados por el IEEE para el control de armónicos en sistemas de energía eléctrica, IEEE-519, 1992. pág. 10.
6. Das, JC (2015). Armónicos del sistema de potencia y diseño de filtros pasivos . Wiley, IEEE Press. ISBN 978-1-118-86162-2Para distinguir entre cargas lineales y no lineales , podemos decir que las cargas lineales invariantes en el tiempo se caracterizan de modo que la aplicación de un voltaje sinusoidal da como resultado un flujo de corriente sinusoidal.
7. Fuchs, Ewald F.; Masoum, Mohammad AS (2008). Calidad de la energía en sistemas de potencia y máquinas eléctricas (1.ª edición). Academic Press. págs. 17-18. ISBN 978-0123695369.
8. Santoso, Surya; Beaty, H. Wayne; Dugan, Roger C.; McGranaghan, Mark F. (2003). Calidad de los sistemas de energía eléctrica (2.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 178. ISBN 978-0-07-138622-7.
9. W. Mack Grady y Robert Gilleski. "Armónicos y su relación con el factor de potencia" (PDF) . Actas de la conferencia EPRI sobre problemas y oportunidades de calidad de la energía .
10. Por ejemplo, consulte el Código Eléctrico Nacional : "Un sistema eléctrico trifásico, de 4 cables y conectado en estrella utilizado para suministrar energía a cargas no lineales puede requerir que el diseño del sistema eléctrico permita la posibilidad de corrientes neutras armónicas altas. (Artículo 220.61(C), FPN No. 2)"