Tiempo constante

Constante en física e ingeniería.

En física e ingeniería , la constante de tiempo , generalmente denotada con la letra griega τ (tau), es el parámetro que caracteriza la respuesta a una entrada escalonada de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de primer orden . ^{[1] [nota 1]} La constante de tiempo es la principal unidad característica de un sistema LTI de primer orden.

En el dominio del tiempo, la opción habitual para explorar la respuesta temporal es a través de la respuesta escalonada a una entrada escalonada , o la respuesta impulsiva a una entrada de función delta de Dirac . ^[2] En el dominio de la frecuencia (por ejemplo, observando la transformada de Fourier de la respuesta escalonada, o usando una entrada que es una función sinusoidal simple del tiempo), la constante de tiempo también determina el ancho de banda de un sistema invariante en el tiempo de primer orden. , es decir, la frecuencia a la que la potencia de la señal de salida cae a la mitad del valor que tiene en bajas frecuencias.

La constante de tiempo también se utiliza para caracterizar la respuesta de frecuencia de varios sistemas de procesamiento de señales ( cintas magnéticas , transmisores y receptores de radio , equipos de corte y reproducción de discos y filtros digitales ) que pueden modelarse o aproximarse mediante sistemas LTI de primer orden. Otros ejemplos incluyen la constante de tiempo utilizada en sistemas de control para controladores de acción integral y derivativa, que a menudo son neumáticos , en lugar de eléctricos.

Las constantes de tiempo son una característica del análisis de sistemas concentrados (método de análisis de capacidad concentrada) para sistemas térmicos, que se utilizan cuando los objetos se enfrían o calientan uniformemente bajo la influencia del enfriamiento o calentamiento convectivo. ^[3]

Físicamente, la constante de tiempo representa el tiempo transcurrido requerido para que la respuesta del sistema decaiga a cero si el sistema hubiera continuado decayendo al ritmo inicial, debido al cambio progresivo en la velocidad de decaimiento la respuesta en realidad habrá disminuido en valor a 1 . /  e ≈ 36,8% en este tiempo (digamos de una disminución escalonada). En un sistema creciente, la constante de tiempo es el tiempo para que la respuesta escalonada del sistema alcance 1 − 1 /  e ≈ 63,2% de su valor final (asintótico) (digamos de un aumento escalonado). En la desintegración radiactiva, la constante de tiempo está relacionada con la constante de desintegración ( λ ) y representa tanto la vida media de un sistema en descomposición (como un átomo) antes de desintegrarse, como el tiempo que le toma a todos menos el 36,8% de los átomos. decaer. Por esta razón, la constante de tiempo es más larga que la vida media , que es el tiempo que tarda en desintegrarse sólo el 50% de los átomos.

Ecuación diferencial

Los sistemas LTI de primer orden se caracterizan por la ecuación diferencial

$${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)}$$

donde τ representa la constante de caída exponencial y V es una función del tiempo t

$${\displaystyle V=V(t).}$$

función forzada f ( t )entradaV ( t )respuestaf ( t )

La función escalonada de Heaviside , a menudo denotada por u ( t ) :

$${\displaystyle u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}}$$

función de impulsoδ ( t )

$${\displaystyle f(t)=A\sin(2\pi ft)}$$

$${\displaystyle f(t)=Ae^{j\omega t},}$$

Afω = 2 π f

Solución de ejemplo

Un ejemplo de solución a la ecuación diferencial con valor inicial V ₀ y sin función forzada es

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$$

dónde

$${\displaystyle V_{0}=V(t=0)}$$

es el valor inicial de V . Por tanto, la respuesta es una caída exponencial con constante de tiempo τ .

Discusión

Suponer

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.}$$

Este comportamiento se conoce como función exponencial "decreciente". El tiempo τ (tau) se conoce como "constante de tiempo" y puede usarse (como en este caso) para indicar qué tan rápido decae una función exponencial.

Aquí:

• t es el tiempo (generalmente t > 0 en ingeniería de control)
• V ₀ es el valor inicial (ver "casos específicos" a continuación).

Casos específicos

1. Dejar ; entonces , y así ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{0}}$ ${\displaystyle V=V_{0}}$
2. Dejar ; entonces ${\displaystyle t=\tau }$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}}$
3. Deja , y así ${\displaystyle V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
4. Dejar ; entonces ${\displaystyle t=5\tau }$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}}$

Después de un período de una constante de tiempo, la función alcanza e ⁻¹ = aproximadamente el 37% de su valor inicial. En el caso 4, después de cinco constantes de tiempo la función alcanza un valor inferior al 1% de su original. En la mayoría de los casos, este umbral del 1% se considera suficiente para suponer que la función ha decaído a cero; como regla general, en ingeniería de control un sistema estable es aquel que exhibe dicho comportamiento amortiguado en general.

Relación de la constante de tiempo con el ancho de banda

Un ejemplo de respuesta del sistema a la función de forzado de onda sinusoidal. Eje de tiempo en unidades de la constante de tiempo τ . La respuesta se amortigua hasta convertirse en una simple onda sinusoidal.

Respuesta de frecuencia del sistema vs. frecuencia en unidades del ancho de banda f _3dB . La respuesta se normaliza a un valor de frecuencia cero de la unidad y cae a 1/√2 en el ancho de banda.

Supongamos que la función de forzado se elige como sinusoidal, de modo que:

$${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.}$$

(La respuesta a una entrada de onda sinusoidal o coseno real se puede obtener tomando la parte real o imaginaria del resultado final en virtud de la fórmula de Euler ). La solución general a esta ecuación para tiempos t ≥ 0 s , asumiendo V ( t = 0 ) = V ₀ es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\[1ex]&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {\frac {1}{\tau }}{j\omega +{\frac {1}{\tau }}}}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}}$$

Durante tiempos prolongados, las exponenciales decrecientes se vuelven insignificantes y la solución en estado estacionario o solución a largo plazo es:

$${\displaystyle V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.}$$

La magnitud de esta respuesta es:

$${\displaystyle |V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.}$$

| V _∞ | ²ωτ = 1de ancho de bandaω = 2 πf

$${\displaystyle f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.}$$

La notación f _3dB surge de la expresión de la potencia en decibeles y de la observación de que la mitad de la potencia corresponde a una caída en el valor de | V _∞ | por un factor de 1/2 o por 3 decibelios.

Por tanto, la constante de tiempo determina el ancho de banda de este sistema.

Respuesta escalonada con condiciones iniciales arbitrarias.

Respuesta escalonada del sistema para dos valores iniciales diferentes V ₀ , uno por encima del valor final y otro en cero. La respuesta a largo plazo es una constante, V _∞ . Eje de tiempo en unidades de la constante de tiempo . ${\displaystyle \tau }$

Supongamos que se elige la función de forzado como entrada escalonada de modo que:

$${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),}$$

con u ( t ) la función de paso de Heaviside. La solución general de esta ecuación para tiempos t ≥ 0 s , suponiendo que V ( t = 0) = V ₀ es:

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).}$$

(Se puede observar que esta respuesta es el límite ω → 0 de la respuesta anterior a una entrada sinusoidal).

La solución a largo plazo es independiente del tiempo y de las condiciones iniciales:

$${\displaystyle V_{\infty }=A\tau .}$$

La constante de tiempo sigue siendo la misma para el mismo sistema independientemente de las condiciones iniciales. En pocas palabras, un sistema se acerca a su situación final de estado estacionario a una velocidad constante, independientemente de qué tan cerca esté de ese valor en cualquier punto de partida arbitrario.

Por ejemplo, considere un motor eléctrico cuyo arranque está bien modelado por un sistema LTI de primer orden. Supongamos que cuando arranca desde el reposo, el motor toma1/8de segundo para alcanzar el 63% de su velocidad nominal de 100 RPM, o 63 RPM, un déficit de 37 RPM. Entonces se encontrará que después del siguiente1/8de segundo, el motor ha acelerado 23 RPM adicionales, lo que equivale al 63% de esa diferencia de 37 RPM. Esto lo lleva a 86 RPM, todavía 14 RPM bajas. Después de un tercero1/8de segundo, el motor habrá ganado 9 RPM adicionales (63% de esas 14 RPM de diferencia), situándose en 95 RPM.

De hecho, dada cualquier velocidad inicial s ≤ 100 RPM, 1/8de un segundo después, este motor en particular habrá ganado 0,63 × (100 − s ) RPM adicionales.

Ejemplos

Constantes de tiempo en circuitos eléctricos.

Respuesta escalonada del voltaje del capacitor.

Respuesta escalonada de tensión del inductor.

En un circuito RL compuesto por una sola resistencia e inductor, la constante de tiempo (en segundos ) es ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}}$$

donde R es la resistencia (en ohmios ) y L es la inductancia (en henrys ).

De manera similar, en un circuito RC compuesto por una sola resistencia y capacitor, la constante de tiempo (en segundos) es: ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \tau =RC}$$

donde R es la resistencia (en ohmios ) y C es la capacitancia (en faradios ).

Los circuitos eléctricos suelen ser más complejos que estos ejemplos y pueden exhibir múltiples constantes de tiempo (consulte Respuesta escalonada y División de polos para ver algunos ejemplos). En el caso de que haya retroalimentación , un sistema puede exhibir oscilaciones crecientes e inestables. Además, los circuitos físicos eléctricos rara vez son sistemas verdaderamente lineales, excepto en el caso de excitaciones de muy baja amplitud; sin embargo, la aproximación de la linealidad se utiliza ampliamente.

En los circuitos electrónicos digitales se suele utilizar otra medida, el FO4 . Esto se puede convertir a unidades de constante de tiempo mediante la ecuación . ^[4] ${\displaystyle 5\tau ={\text{FO4}}}$

Constante de tiempo térmica

Las constantes de tiempo son una característica del análisis de sistemas concentrados (método de análisis de capacidad concentrada) para sistemas térmicos, que se utilizan cuando los objetos se enfrían o calientan uniformemente bajo la influencia del enfriamiento o calentamiento convectivo . En este caso, la transferencia de calor del cuerpo al ambiente en un momento dado es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente: ^[5]

$${\displaystyle F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),}$$

donde h es el coeficiente de transferencia de calor y As es el área de la superficie, T es la función de temperatura, es decir, _T ( t ) es la temperatura corporal en el momento t y Ta es la _temperatura ambiente constante. El signo positivo indica la convención de que F es positivo cuando el calor sale del cuerpo porque su temperatura es mayor que la temperatura ambiente ( F es un flujo de salida). Si se pierde calor al ambiente, esta transferencia de calor conduce a una caída de la temperatura del cuerpo dada por: ^[5]

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,}$$

donde ρ = densidad, c _p = calor específico y V es el volumen corporal. El signo negativo indica que la temperatura cae cuando la transferencia de calor sale del cuerpo (es decir, cuando F > 0). Igualando estas dos expresiones para la transferencia de calor,

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).}$$

Evidentemente, este es un sistema LTI de primer orden que se puede expresar en la forma:

$${\displaystyle {\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},}$$

con

$${\displaystyle \tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.}$$

En otras palabras, masas más grandes ρV con mayores capacidades caloríficas c _p conducen a cambios de temperatura más lentos (constante de tiempo más larga τ ), mientras que áreas de superficie más grandes A _s con mayor transferencia de calor h conducen a cambios de temperatura más rápidos (constante de tiempo más corta τ ).

La comparación con la ecuación diferencial introductoria sugiere la posible generalización a temperaturas ambiente T _a que varían en el tiempo . Sin embargo, manteniendo el ejemplo simple de ambiente constante, al sustituir la variable Δ T ≡ ( T − T _a ), se encuentra:

$${\displaystyle {\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.}$$

Se dice que los sistemas para los cuales el enfriamiento satisface la ecuación exponencial anterior satisfacen la ley de enfriamiento de Newton . La solución a esta ecuación sugiere que, en tales sistemas, la diferencia entre la temperatura del sistema y su entorno Δ T en función del tiempo t , viene dada por:

${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },}$

donde Δ T ₀ es la diferencia de temperatura inicial, en el tiempo t = 0. En palabras, el cuerpo asume la misma temperatura que el ambiente a una velocidad exponencialmente lenta determinada por la constante de tiempo.

Constantes de tiempo en Biofísica

En una célula excitable como un músculo o una neurona , la constante de tiempo del potencial de membrana es ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \tau =r_{m}c_{m}}$$

donde r _m es la resistencia a través de la membrana y cm es la capacitancia _de la membrana.

La resistencia a través de la membrana es función del número de canales iónicos abiertos y la capacitancia es función de las propiedades de la bicapa lipídica .

La constante de tiempo se utiliza para describir el aumento y la caída del voltaje de la membrana, donde el aumento se describe por

$${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$$

y la caída es descrita por

$${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }}$$

donde el voltaje está en milivoltios, el tiempo está en segundos y está en segundos. ${\displaystyle \tau }$

V _max se define como el cambio máximo de voltaje desde el potencial de reposo , donde

$${\displaystyle V_{\textrm {max}}=r_{m}I}$$

donde r _m es la resistencia a través de la membrana e I es la corriente de membrana.

El ajuste de t = para la subida establece V ( t ) igual a 0,63 V _máx . Esto significa que la constante de tiempo es el tiempo transcurrido después de que se haya alcanzado el 63% de V _{máx .} ${\displaystyle \tau }$

El ajuste de t = para la caída establece V ( t ) igual a 0,37 V _max , lo que significa que la constante de tiempo es el tiempo transcurrido después de que ha caído al 37% de V _max . ${\displaystyle \tau }$

Cuanto mayor es una constante de tiempo, más lento es el aumento o la caída del potencial de una neurona. Una constante de tiempo prolongada puede dar como resultado una suma temporal o una suma algebraica de potenciales repetidos. Una constante de tiempo corta produce más bien un detector de coincidencias mediante suma espacial .

Decrecimiento exponencial

En la desintegración exponencial , como la de un isótopo radiactivo , la constante de tiempo puede interpretarse como la vida media . La vida media T _HL o T _1/2 está relacionada con la constante de desintegración exponencial mediante ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle T_{1/2}=T_{\text{HL}}=\tau \ln 2.}$$

constante de decaimiento. ${\displaystyle \lambda =1/\tau }$

Sensores meteorológicos

Una constante de tiempo es la cantidad de tiempo que tarda un sensor meteorológico en responder a un cambio rápido en una medida y hasta que mide valores dentro de la tolerancia de precisión que generalmente se espera del sensor.

Esto se aplica con mayor frecuencia a mediciones de temperatura, temperatura del punto de rocío, humedad y presión del aire. Las radiosondas se ven especialmente afectadas debido a su rápido aumento de altitud.

Ver también

• Constante de tiempo RC
• Frecuencia de corte
• Decrecimiento exponencial
• Compensador de adelanto-retraso
• Longitud constante
• Hora de levantarse
• Otoño
• Respuesta frecuente
• Respuesta impulsiva
• Respuesta al paso
• Hora de levantarse
• Tiempo de estabilización

Notas

1. Concretamente, un sistema LTI de primer orden es un sistema que puede modelarse mediante una única ecuación diferencial de primer orden en el tiempo. Los ejemplos incluyen los circuitos RC y circuitos RL eléctricos de una sola etapa más simples .

Referencias

1. Béla G. Lipták (2003). Manual de ingenieros de instrumentos: control y optimización de procesos (4 ed.). Prensa CRC. pag. 100.ISBN​ 978-0-8493-1081-2.
2. Bong Wie (1998). Dinámica y control de vehículos espaciales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. pag. 100.ISBN​ 978-1-56347-261-9.
3. GR Norte (1988). "Lecciones de los modelos de balance energético". En Michael E. Schlesinger (ed.). Modelado y simulación del clima y el cambio climático con base física (Instituto de estudios avanzados de la OTAN sobre modelado con base física, ed.). Saltador. OTAN. pag. 627.ISBN​ 978-90-277-2789-3.
4. Harris, D.; Sutherland, I. (2003). "Esfuerzo lógico de acarreo y propagación de sumadores". La Trigésima Séptima Conferencia de Asilomar sobre Señales, Sistemas y Computadoras, 2003 . págs. 873–878. doi :10.1109/ACSSC.2003.1292037. ISBN 0-7803-8104-1. S2CID  7880203.
5. Roland Wynne Lewis; Perumal Nithiarasu; KN Seetharamu (2004). Fundamentos del método de elementos finitos para el flujo de calor y fluidos. Wiley. pag. 151.ISBN​ 978-0-470-84789-3.

enlaces externos

• Conversión de la constante de tiempo τ a la frecuencia de corte fc y viceversa
• Todo sobre circuitos - Cálculos de tensión y corriente.
• Constante de tiempo térmica y energética de los edificios