Constante de tiempo

Constante en física e ingeniería

En física e ingeniería , la constante de tiempo , usualmente denotada por la letra griega τ (tau), es el parámetro que caracteriza la respuesta a una entrada escalón de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de primer orden . ^{[1] [nota 1]} La constante de tiempo es la unidad característica principal de un sistema LTI de primer orden. Da la velocidad de la respuesta.

En el dominio del tiempo, la elección habitual para explorar la respuesta temporal es a través de la respuesta al escalón a una entrada escalón , o la respuesta al impulso a una entrada de función delta de Dirac . ^[2] En el dominio de la frecuencia (por ejemplo, mirando la transformada de Fourier de la respuesta al escalón, o usando una entrada que es una función sinusoidal simple del tiempo) la constante de tiempo también determina el ancho de banda de un sistema invariante en el tiempo de primer orden, es decir, la frecuencia a la que la potencia de la señal de salida cae a la mitad del valor que tiene a frecuencias bajas.

La constante de tiempo también se utiliza para caracterizar la respuesta de frecuencia de varios sistemas de procesamiento de señales ( cintas magnéticas , transmisores y receptores de radio , equipos de reproducción y corte de discos y filtros digitales ), que pueden modelarse o aproximarse mediante sistemas LTI de primer orden. Otros ejemplos incluyen la constante de tiempo utilizada en sistemas de control para controladores de acción integral y derivativa, que a menudo son neumáticos , en lugar de eléctricos.

Las constantes de tiempo son una característica del análisis de sistemas agrupados (método de análisis de capacidad agrupada) para sistemas térmicos, que se utilizan cuando los objetos se enfrían o calientan uniformemente bajo la influencia del enfriamiento o calentamiento convectivo. ^[3]

Físicamente, la constante de tiempo representa el tiempo transcurrido necesario para que la respuesta del sistema se desintegrara a cero si el sistema hubiera continuado desintegrándose a la tasa inicial; debido al cambio progresivo en la tasa de desintegración, la respuesta en realidad habrá disminuido en valor a 1 /  e ≈ 36,8% en este tiempo (digamos a partir de una disminución escalonada). En un sistema creciente, la constante de tiempo es el tiempo para que la respuesta escalonada del sistema alcance 1 − 1 /  e ≈ 63,2% de su valor final (asintótico) (digamos a partir de un aumento escalonado). En la desintegración radiactiva, la constante de tiempo está relacionada con la constante de desintegración ( λ ), y representa tanto la vida media de un sistema en desintegración (como un átomo) antes de que se desintegra, o el tiempo que tardan todos los átomos excepto el 36,8% en desintegrarse. Por esta razón, la constante de tiempo es más larga que la vida media , que es el tiempo para que solo el 50% de los átomos se desintegran.

Ecuación diferencial

Los sistemas LTI de primer orden se caracterizan por la ecuación diferencial $${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)}$$

donde τ representa la constante de decaimiento exponencial y V es una función del tiempo t El lado derecho es la función de fuerza f ( t ) que describe una función impulsora externa del tiempo, que puede considerarse como la entrada del sistema , a la que V ( t ) es la respuesta , o salida del sistema. Los ejemplos clásicos para f ( t ) son: $${\displaystyle V=V(t).}$$

La función escalón de Heaviside , a menudo denotada por u ( t ) : la función de impulso , a menudo denotada por δ ( t ) , y también la función de entrada sinusoidal: o donde A es la amplitud de la función de forzamiento, f es la frecuencia en hercios y ω = 2 π f es la frecuencia en radianes por segundo. $${\displaystyle u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle f(t)=A\sin(2\pi ft)}$$ $${\displaystyle f(t)=Ae^{j\omega t},}$$

Ejemplo de solución

Un ejemplo de solución a la ecuación diferencial con valor inicial V ₀ y sin función de forzamiento es $${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$$

dónde $${\displaystyle V_{0}=V(t=0)}$$

es el valor inicial de V . Por lo tanto, la respuesta es una disminución exponencial con constante de tiempo τ .

Discusión

Suponer $${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.}$$

Este comportamiento se denomina función exponencial "decreciente". El tiempo τ (tau) se denomina "constante de tiempo" y se puede utilizar (como en este caso) para indicar la rapidez con la que decae una función exponencial.

Aquí:

• t es el tiempo (generalmente t > 0 en ingeniería de control)
• V ₀ es el valor inicial (ver “casos específicos” a continuación).

Casos específicos

1. Sea ; entonces , y así ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{0}}$ ${\displaystyle V=V_{0}}$
2. Sea ; entonces ${\displaystyle t=\tau }$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}}$
3. Sea , y así ${\displaystyle V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
4. Sea ; entonces ${\displaystyle t=5\tau }$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}}$

Después de un período de una constante de tiempo, la función alcanza e ⁻¹ = aproximadamente el 37% de su valor inicial. En el caso 4, después de cinco constantes de tiempo, la función alcanza un valor inferior al 1% de su valor original. En la mayoría de los casos, este umbral del 1% se considera suficiente para suponer que la función ha decaído a cero; como regla general, en ingeniería de control un sistema estable es aquel que exhibe un comportamiento amortiguado general.

Relación de la constante de tiempo con el ancho de banda

Ejemplo de respuesta del sistema a la función de forzamiento de una onda sinusoidal. Eje de tiempo en unidades de la constante de tiempo τ . La respuesta se amortigua hasta convertirse en una onda sinusoidal simple.

Respuesta de frecuencia del sistema en función de la frecuencia en unidades del ancho de banda f _3dB . La respuesta se normaliza a un valor de frecuencia cero de la unidad y cae a 1/√2 en el ancho de banda.

Supongamos que la función de forzamiento se elige como sinusoidal, de modo que:

$${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.}$$

(La respuesta a una entrada de onda seno o coseno real se puede obtener tomando la parte real o imaginaria del resultado final en virtud de la fórmula de Euler ). La solución general de esta ecuación para tiempos t ≥ 0 s , asumiendo V ( t = 0) = V ₀ es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\[1ex]&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {\frac {1}{\tau }}{j\omega +{\frac {1}{\tau }}}}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}}$$

Durante largos períodos de tiempo, los exponenciales decrecientes se vuelven insignificantes y la solución de estado estable o la solución de largo plazo es:

$${\displaystyle V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.}$$

La magnitud de esta respuesta es: Por convención, el ancho de banda de este sistema es la frecuencia donde | V _∞ | ² cae a la mitad de su valor, o donde ωτ = 1 . Esta es la convención de ancho de banda habitual , definida como el rango de frecuencia donde la potencia cae a menos de la mitad (como máximo −3 dB). Si usamos la frecuencia en hercios, en lugar de radianes/s ( ω = 2 πf ): $${\displaystyle |V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.}$$

La notación f _3dB proviene de la expresión de la potencia en decibeles y de la observación de que la mitad de la potencia corresponde a una caída del valor de | V _∞ | en un factor de 1/2 o de 3 decibeles.

Por tanto, la constante de tiempo determina el ancho de banda de este sistema.

Respuesta al escalón con condiciones iniciales arbitrarias

Respuesta escalonada del sistema para dos valores iniciales diferentes V ₀ , uno por encima del valor final y otro en cero. La respuesta a largo plazo es una constante, V _∞ . Eje de tiempo en unidades de la constante de tiempo . ${\displaystyle \tau }$

Supongamos que la función de forzamiento se elige como entrada escalonada, de modo que:

$${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),}$$

con u ( t ) la función escalón unitario . La solución general de esta ecuación para tiempos t ≥ 0 s , suponiendo que V ( t = 0) = V ₀ es:

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).}$$

(Se puede observar que esta respuesta es el límite ω → 0 de la respuesta anterior a una entrada sinusoidal).

La solución a largo plazo es independiente del tiempo y de las condiciones iniciales: $${\displaystyle V_{\infty }=A\tau .}$$

La constante de tiempo permanece igual para el mismo sistema independientemente de las condiciones iniciales. En términos simples, un sistema se acerca a su situación final, de estado estable, a una velocidad constante, independientemente de lo cerca que esté de ese valor en cualquier punto de partida arbitrario.

Por ejemplo, considere un motor eléctrico cuyo arranque está bien modelado por un sistema LTI de primer orden. Suponga que cuando arranca desde el reposo, el motor tarda ⁠1/8⁠ de segundo para alcanzar el 63% de su velocidad nominal de 100 RPM, o 63 RPM, un déficit de 37 RPM. Luego se encontrará que después de la siguiente ⁠1/8En una fracción de segundo, el motor ha acelerado 23 RPM adicionales, lo que equivale al 63 % de esa diferencia de 37 RPM. Esto lo lleva a 86 RPM, todavía 14 RPM menos. Después de una tercera1/8En una fracción de segundo, el motor habrá ganado 9 RPM adicionales (el 63% de esa diferencia de 14 RPM), situándose en 95 RPM.

De hecho, dada cualquier velocidad inicial s ≤ 100 RPM, ⁠1/8Un segundo después , este motor en particular habrá ganado 0,63 × (100 − s ) RPM adicionales.

Ejemplos

Constantes de tiempo en circuitos eléctricos

Respuesta escalonada del voltaje del capacitor.

Respuesta escalonada de tensión del inductor.

En un circuito RL compuesto por una sola resistencia y un inductor, la constante de tiempo (en segundos ) es ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}}$$

donde R es la resistencia (en ohmios ) y L es la inductancia (en henrios ).

De manera similar, en un circuito RC compuesto por una sola resistencia y un condensador, la constante de tiempo (en segundos) es: ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \tau =RC}$$

donde R es la resistencia (en ohmios ) y C es la capacitancia (en faradios ).

Los circuitos eléctricos suelen ser más complejos que estos ejemplos y pueden presentar múltiples constantes de tiempo (consulte Respuesta a un escalón y División de polos para ver algunos ejemplos). En el caso de que haya retroalimentación , un sistema puede presentar oscilaciones inestables y crecientes. Además, los circuitos eléctricos físicos rara vez son sistemas verdaderamente lineales, excepto en el caso de excitaciones de amplitud muy baja; sin embargo, la aproximación de la linealidad se utiliza ampliamente.

En los circuitos electrónicos digitales se suele utilizar otra medida, la FO4 , que se puede convertir a unidades de constante de tiempo mediante la ecuación . ^[4] ${\displaystyle 5\tau ={\text{FO4}}}$

Constante de tiempo térmica

Las constantes de tiempo son una característica del análisis de sistemas agrupados (método de análisis de capacidad agrupada) para sistemas térmicos, que se utiliza cuando los objetos se enfrían o calientan de manera uniforme bajo la influencia del enfriamiento o calentamiento convectivo . En este caso, la transferencia de calor del cuerpo al ambiente en un momento dado es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente: ^[5]

$${\displaystyle F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),}$$

donde h es el coeficiente de transferencia de calor , y A _s es el área de la superficie, T es la función de temperatura, es decir, T ( t ) es la temperatura corporal en el tiempo t y T _a es la temperatura ambiente constante. El signo positivo indica la convención de que F es positivo cuando el calor sale del cuerpo porque su temperatura es más alta que la temperatura ambiente ( F es un flujo hacia afuera). A medida que se pierde calor hacia el ambiente, esta transferencia de calor conduce a una caída en la temperatura del cuerpo dada por: ^[5]

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,}$$

donde ρ = densidad, c _p = calor específico y V es el volumen del cuerpo. El signo negativo indica que la temperatura desciende cuando la transferencia de calor se produce hacia el exterior del cuerpo (es decir, cuando F > 0). Igualando estas dos expresiones para la transferencia de calor,

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).}$$

Evidentemente, se trata de un sistema LTI de primer orden que puede expresarse en la forma:

$${\displaystyle {\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},}$$

con

$${\displaystyle \tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.}$$

En otras palabras, masas mayores ρV con mayores capacidades térmicas c _p conducen a cambios más lentos en la temperatura (constante de tiempo más larga τ ), mientras que áreas superficiales mayores A _s con mayor transferencia de calor h conducen a cambios de temperatura más rápidos (constante de tiempo más corta τ ).

La comparación con la ecuación diferencial introductoria sugiere la posible generalización a temperaturas ambiente variables en el tiempo T _a . Sin embargo, manteniendo el ejemplo simple de temperatura ambiente constante, al sustituir la variable Δ T ≡ ( T − T _a ), se encuentra:

$${\displaystyle {\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.}$$

Se dice que los sistemas cuyo enfriamiento satisface la ecuación exponencial anterior satisfacen la ley de enfriamiento de Newton . La solución de esta ecuación sugiere que, en tales sistemas, la diferencia entre la temperatura del sistema y su entorno Δ T en función del tiempo t , viene dada por:

${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },}$

donde Δ T ₀ es la diferencia de temperatura inicial, en el tiempo t = 0. En palabras, el cuerpo adquiere la misma temperatura que el ambiente a un ritmo exponencialmente lento determinado por la constante de tiempo.

Constantes de tiempo en biofísica

En una célula excitable como un músculo o una neurona , la constante de tiempo del potencial de membrana es ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \tau =r_{m}c_{m}}$$

donde r _m es la resistencia a través de la membrana y c _m es la capacitancia de la membrana.

La resistencia a través de la membrana es una función del número de canales iónicos abiertos y la capacitancia es una función de las propiedades de la bicapa lipídica .

La constante de tiempo se utiliza para describir el aumento y la caída del voltaje de la membrana, donde el aumento se describe mediante $${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$$

y la caída se describe por $${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }}$$

donde el voltaje está en milivoltios, el tiempo está en segundos y está en segundos. ${\displaystyle \tau }$

V _max se define como el cambio máximo de voltaje desde el potencial de reposo , donde $${\displaystyle V_{\textrm {max}}=r_{m}I}$$

donde r _m es la resistencia a través de la membrana e I es la corriente de la membrana.

El ajuste para t = para los conjuntos de subida V ( t ) igual a 0,63 V _máx . Esto significa que la constante de tiempo es el tiempo transcurrido después de que se ha alcanzado el 63% de V _{máx .} ${\displaystyle \tau }$

El ajuste para t = para la caída establece V ( t ) igual a 0,37 V _max , lo que significa que la constante de tiempo es el tiempo transcurrido después de que ha caído al 37% de V _max . ${\displaystyle \tau }$

Cuanto mayor sea la constante de tiempo, más lento será el ascenso o descenso del potencial de una neurona. Una constante de tiempo larga puede dar lugar a una suma temporal o a la suma algebraica de potenciales repetidos. Una constante de tiempo corta produce, en cambio, un detector de coincidencias mediante una suma espacial .

Decaimiento exponencial

En la desintegración exponencial , como la de un isótopo radiactivo , la constante de tiempo se puede interpretar como la vida media . La vida media T _HL o T _1/2 está relacionada con la constante de desintegración exponencial por El recíproco de la constante de tiempo se denomina constante de desintegración y se denota . ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle T_{1/2}=T_{\text{HL}}=\tau \ln 2.}$$ ${\displaystyle \lambda =1/\tau }$

Sensores meteorológicos

Una constante de tiempo es la cantidad de tiempo que tarda un sensor meteorológico en responder a un cambio rápido en una medida, y hasta que mide valores dentro de la tolerancia de precisión que normalmente se espera del sensor.

Esto se aplica sobre todo a las mediciones de temperatura, temperatura del punto de rocío, humedad y presión atmosférica. Las radiosondas se ven especialmente afectadas debido a su rápido aumento de altitud.

Véase también

• Constante de tiempo RC
• Frecuencia de corte
• Decaimiento exponencial
• Compensador de adelanto y atraso
• Longitud constante
• Tiempo de subida
• Tiempo de otoño
• Respuesta de frecuencia
• Respuesta al impulso
• Respuesta escalonada
• Tiempo de asentamiento

Notas

1. En concreto, un sistema LTI de primer orden es un sistema que se puede modelar mediante una única ecuación diferencial de primer orden en el tiempo. Algunos ejemplos son los circuitos eléctricos RC de una sola etapa más simples y los circuitos RL .

Referencias

1. Béla G. Lipták (2003). Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimized (4.ª edición). CRC Press. pág. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.
2. Bong Wie (1998). Dinámica y control de vehículos espaciales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. p. 100. ISBN 978-1-56347-261-9.
3. GR North (1988). "Lecciones de los modelos de balance energético". En Michael E. Schlesinger (ed.). Modelado y simulación del clima y el cambio climático basados ​​en la física (NATO Advanced Study Institute on Physical-Based Modelling ed.). Springer. pág. 627. ISBN 978-90-277-2789-3. {{cite book}}: Parámetro desconocido |agency=ignorado ( ayuda )
4. Harris, D.; Sutherland, I. (2003). "Esfuerzo lógico de los sumadores de propagación de acarreo". La 37.ª Conferencia de Asilomar sobre señales, sistemas y computadoras, 2003. págs. 873–878. doi :10.1109/ACSSC.2003.1292037. ISBN 0-7803-8104-1.S2CID7880203  .​
5. Roland Wynne Lewis; Perumal Nithiarasu; KN Seetharamu (2004). Fundamentos del método de elementos finitos para el flujo de calor y fluidos. Wiley. pag. 151.ISBN​ 978-0-470-84789-3.

Enlaces externos

• Conversión de la constante de tiempo τ a frecuencia de corte fc y viceversa
• Todo sobre circuitos – Cálculos de voltaje y corriente
• Constante de tiempo térmica y energética de los edificios