Constante matemática de los sistemas numéricos
En la teoría matemática de los sistemas de numeración posicional no estándar , la constante de Komornik-Loreti es una constante matemática que representa la base q más pequeña para la cual el número 1 tiene una representación única, llamada su q -desarrollo. La constante recibe su nombre de Vilmos Komornik y Paola Loreti , quienes la definieron en 1998. [1]
Definición
Dado un número real q > 1, la serie
se llama expansión q , o expansión , del número real positivo x si, para todo , , donde es la función base y no necesita ser un entero. Cualquier número real tal que tenga una expansión tal, como se puede encontrar usando el algoritmo voraz .
El caso especial de , , y o a veces se denomina -desarrollo . da el único 2-desarrollo. Sin embargo, para casi todos los , hay un número infinito de -desarrollos diferentes. Sin embargo, lo que es aún más sorprendente es que existen casos excepcionales para los que existe un único -desarrollo. Además, hay un número mínimo conocido como la constante de Komornik-Loreti para el que existe un único -desarrollo. [2]
Valor
La constante de Komornik-Loreti es el valor tal que
donde es la secuencia de Thue-Morse , es decir, es la paridad del número de 1 en la representación binaria de . Tiene un valor aproximado
- [3]
La constante es también la única solución real positiva de la ecuación.
Esta constante es trascendental . [4]
Véase también
Referencias
- ^ Komornik, Vilmos; Loreti, Paola (1998), "Desarrollos únicos en bases no enteras", American Mathematical Monthly , 105 (7): 636–639, doi :10.2307/2589246, JSTOR 2589246, MR 1633077
- ^ Weissman, Eric W. "q-expansion" De Wolfram MathWorld. Recuperado el 18 de octubre de 2009.
- ^ Weissman, Eric W. "Constante de Komornik-Loreti". De Wolfram MathWorld. Recuperado el 27 de diciembre de 2010.
- ^ Allouche, Jean-Paul; Cosnard, Michel (2000), "La constante de Komornik-Loreti es trascendental", American Mathematical Monthly , 107 (5): 448–449, doi :10.2307/2695302, JSTOR 2695302, MR 1763399