En matemáticas, un conjunto multibrot es el conjunto de valores en el plano complejo cuyo valor absoluto permanece por debajo de un valor finito a lo largo de las iteraciones de un miembro de la familia polinómica univariante mónica general de recursiones . [1] [2] [3] El nombre es un acrónimo de conjunto múltiple y conjunto de Mandelbrot . Lo mismo se puede aplicar al conjunto de Julia , que se llama conjunto multijulia .
donde d ≥ 2. El exponente d puede generalizarse aún más a valores negativos y fraccionarios. [4]
El caso de
es el conjunto clásico de Mandelbrot del que deriva el nombre.
Los conjuntos de otros valores de d también muestran imágenes fractales [7] cuando se trazan en el plano complejo.
Cada uno de los ejemplos de las distintas potencias d que se muestran a continuación se representa gráficamente en la misma escala. Los valores de c que pertenecen al conjunto están en negro. Los valores de c que tienen un valor ilimitado bajo la recursión y, por lo tanto, no pertenecen al conjunto, se representan gráficamente en diferentes colores, que se muestran como contornos, según la cantidad de recursiones que hicieron que un valor excediera una magnitud fija en el algoritmo de tiempo de escape.
El ejemplo d = 2 es el conjunto original de Mandelbrot. Los ejemplos para d > 2 se denominan a menudo conjuntos multibrot . Estos conjuntos incluyen el origen y tienen perímetros fractales, con simetría rotacional de ( d − 1) pliegues .
Cuando d es negativo el conjunto parece rodear pero no incluir el origen, sin embargo esto es solo un artefacto del radio máximo fijo permitido por el algoritmo de Escape Time, y no es un límite de los conjuntos que realmente tienen una forma en el medio sin un agujero (puede ver esto usando el exponente de Lyapunov [No hay agujero porque el origen diverge a indefinido, no infinito porque el origen {0 o 0+0i} llevado a una potencia negativa se vuelve indefinido]). Hay un comportamiento complejo interesante en los contornos entre el conjunto y el origen, en un área en forma de estrella con simetría rotacional de (1 − d ) . Los conjuntos parecen tener un perímetro circular, sin embargo esto es un artefacto del radio máximo fijo permitido por el algoritmo de Escape Time, y no es un límite de los conjuntos que realmente se extienden en todas las direcciones hasta el infinito.
Un método alternativo consiste en representar el exponente a lo largo del eje vertical. Para ello es necesario fijar el valor real o imaginario y representar el valor restante a lo largo del eje horizontal. El conjunto resultante asciende verticalmente desde el origen en una columna estrecha hasta el infinito. La ampliación revela una complejidad creciente. La primera protuberancia o pico prominente se ve en un exponente de 2, la ubicación del conjunto tradicional de Mandelbrot en su sección transversal. La tercera imagen aquí se representa en un plano que está fijado en un ángulo de 45 grados entre los ejes real e imaginario. [8]
Todas las imágenes anteriores se representan utilizando un algoritmo de tiempo de escape que identifica puntos fuera del conjunto de una manera sencilla. Se revela un detalle fractal mucho mayor al trazar el exponente de Lyapunov , [9] como se muestra en el ejemplo siguiente. El exponente de Lyapunov es la tasa de crecimiento del error de una secuencia dada. Primero calcule la secuencia de iteraciones con N iteraciones, luego calcule el exponente como
y si el exponente es negativo la secuencia es estable. Los píxeles blancos en la imagen son los parámetros c para los cuales el exponente es positivo, es decir inestable. Los colores muestran los períodos de los ciclos a los que se atraen las órbitas. Todos los puntos de color azul oscuro (exterior) son atraídos por un punto fijo, todos los puntos en el medio (azul más claro) son atraídos por un ciclo de período 2 y así sucesivamente.
ALGORITMO DE TIEMPO DE ESCAPEPara cada píxel de la pantalla, haz lo siguiente: x = x0 = coordenada x del píxel y = y0 = coordenada y del píxel iteración := 0 iteración máxima := 1000 mientras (x*x + y*y ≤ (2*2) y iteración < max_iteration hacer /* INSERTAR CÓDIGO(S) PARA Z^d DE LA SIGUIENTE TABLA */ iteración := iteración + 1 Si iteración = max_iteration entonces color := negro demás color := iteración plot(x0, y0, color)
El valor complejo z tiene coordenadas ( x , y ) en el plano complejo y se eleva a distintas potencias dentro del ciclo de iteración mediante los códigos que se muestran en esta tabla. Las potencias que no se muestran en la tabla se pueden obtener concatenando los códigos que se muestran.
El conjunto multibrot Md es el lugar geométrico de conectividad de la familia de polinomios unícritos
z
d
+
c
,
d
≥ 2
