Conjunto de escape

En matemáticas, y particularmente en dinámica compleja , el conjunto de escape de una función completa ƒ consiste en todos los puntos que tienden al infinito bajo la aplicación repetida de ƒ. ^[1] Es decir, un número complejo pertenece al conjunto de escape si y solo si la secuencia definida por converge al infinito cuando se hace grande. El conjunto de escape de se denota por . ^[1] ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{n+1}:=f(z_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I(f)}$

Por ejemplo, para , el origen pertenece al conjunto de escape, ya que la secuencia ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$

${\displaystyle 0,1,e,e^{e},e^{e^{e}},\dots }$

tiende al infinito.

Historia

La iteración de funciones enteras trascendentales fue estudiada por primera vez por Pierre Fatou en 1926 ^[2]. El conjunto de escape aparece implícitamente en su estudio de las funciones enteras explícitas y . ${\displaystyle f(z)=z+1+\exp(-z)}$ ${\displaystyle f(z)=c\sin(z)}$

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Puede el conjunto de escape de una función entera trascendental tener un componente acotado?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

El primer estudio del conjunto de escape para una función trascendental entera general se debe a Alexandre Eremenko , quien utilizó la teoría de Wiman-Valiron . ^[3] Conjeturó que cada componente conexo del conjunto de escape de una función trascendental entera es ilimitado. Esto se ha conocido como la conjetura de Eremenko . ^{[1] [4]} Hay muchos resultados parciales sobre este problema, pero a fecha de 2013 la conjetura sigue abierta.

Eremenko también se preguntó si cada punto de escape puede estar conectado al infinito por una curva en el conjunto de escape; más tarde se demostró que este no es el caso. De hecho, existen funciones enteras cuyos conjuntos de escape no contienen ninguna curva. ^[4]

Propiedades

Se sabe que las siguientes propiedades son válidas para el conjunto de escape de cualquier función completa no constante y no lineal. (Aquí, no lineal significa que la función no tiene la forma ). ${\displaystyle f(z)=az+b}$

• El conjunto que escapa contiene al menos un punto. ^[a]
• El límite del conjunto de escape es exactamente el conjunto de Julia . ^[b] En particular, el conjunto de escape nunca está cerrado .
• Para una función entera trascendental, el conjunto de escape siempre interseca al conjunto de Julia. ^[c] En particular, el conjunto de escape es abierto si y solo si es un polinomio. ${\displaystyle f}$
• Todo componente conexo del cierre del conjunto que escapa no está acotado. ^[d]
• El conjunto que escapa siempre tiene al menos un componente conexo no acotado. ^[1]
• El conjunto que escapa está conectado o tiene infinitos componentes. ^[5]
• El conjunto está conexo. ^[5] ${\displaystyle I(f)\cup \{\infty \}}$

Obsérvese que la afirmación final no implica la conjetura de Eremenko. (De hecho, existen espacios conexos en los que la eliminación de un único punto de dispersión deja el espacio restante totalmente desconectado.)

Ejemplos

Polinomios

Un polinomio de grado 2 se extiende a una autoaplicación analítica de la esfera de Riemann , que tiene un punto fijo superatractivo en el infinito. El conjunto que escapa es precisamente la cuenca de atracción de este punto fijo, y por lo tanto se lo suele denominar la **cuenca del infinito**. En este caso, es un subconjunto abierto y conexo del plano complejo, y el conjunto de Julia es el límite de esta cuenca. ${\displaystyle I(f)}$

Por ejemplo, el conjunto de escape del polinomio cuadrático complejo consiste precisamente en el complemento del disco unitario cerrado: ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$

${\displaystyle I(f)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|>1\}.}$

Funciones trascendentales enteras

Conjunto de escape de . ${\displaystyle (\exp(z)-1)/2}$

En el caso de las funciones enteras trascendentales , el conjunto de escape es mucho más complicado que en el caso de los polinomios: en los casos más simples, como el que se ilustra en la figura, consta de un número incontable de curvas, llamadas pelos o rayos . En otros ejemplos, la estructura del conjunto de escape puede ser muy diferente (una telaraña ). ^[6] Como se mencionó anteriormente, hay ejemplos de funciones enteras trascendentales cuyo conjunto de escape no contiene curvas. ^[4]

Por definición, el conjunto de escape es un . No es ni . ^[7] Para las funciones de la clase exponencial , el conjunto de escape no es . ^[8] ${\displaystyle F_{\sigma \delta }{\text{ set}}}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle \exp(z)+a}$ ${\displaystyle G_{\delta \sigma }}$

Véase también

• Algoritmos de trazado para el conjunto de Mandelbrot § Algoritmo de tiempo de escape
• conjunto de objetivos

Notas

1. Teorema 1 de (Eremenko, 1989) ^[3]
2. Véase (Eremenko, 1989), ^[3] fórmula (1) en la pág. 339 y 1.2 de la pág. 340
3. Teorema 2 de (Eremenko, 1989) ^[3]
4. Teorema 3 de (Eremenko, 1989) ^[3]

Referencias

1. Rippon, PJ; Stallard, G (2005). "Sobre las cuestiones de Fatou y Eremenko". Proc. Amer. Math. Soc . 133 (4): 1119–1126. doi : 10.1090/s0002-9939-04-07805-0 .
2. Fatou, P. (1926). "Sur l'itération des fonctions trascendentantes Entières". Acta Matemáticas . 47 (4): 337–370. doi : 10.1007/bf02559517 .
3. Eremenko, A (1989). "Sobre la iteración de funciones completas" (PDF) . Banach Center Publications, Varsovia, PWN . 23 : 339–345.
4. Rottenfußer, G; Rückert, J; Rempe, L ; Schleicher, D (2011). "Rayos dinámicos de funciones enteras de tipo acotado". Ann. of Math . 173 : 77–125. arXiv : 0704.3213 . doi :10.4007/annals.2010.173.1.3.
5. Rippon, PJ; Stallard, G (2011). "Límites de los componentes de Fatou que escapan". Proc. Amer. Math. Soc . 139 (8): 2807–2820. arXiv : 1009.4450 . doi :10.1090/s0002-9939-2011-10842-6.
6. Sixsmith, DJ (2012). "Funciones enteras para las cuales el conjunto que escapa es una telaraña". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 151 (3): 551–571. arXiv : 1012.1303 . Código Bibliográfico :2011MPCPS.151..551S. doi :10.1017/S0305004111000582.
7. Rempe, Lasse (2020). "Los conjuntos que escapan no son sigma-compactos". arXiv : 2006.16946 [math.DS].
8. Lipham, DS (2022). "Iteración exponencial y conjuntos de Borel". arXiv : 2010.13876 .

Enlaces externos

• Lasse Rempe . "Un poema sobre la conjetura de Eremenko".