Conejo Douady

Fractal relacionado con el conjunto de Mandelbrot

Un conejo de Douady es un fractal derivado del conjunto de Julia de la función , cuando el parámetro está cerca del centro de uno de los tres bulbos del período del conjunto de Mandelbrot para un mapa cuadrático complejo . ${\textstyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

Debe su nombre al matemático francés Adrien Douady .

Un ejemplo de conejo Douady. Los colores muestran la cantidad de iteraciones necesarias para escapar .

Fondo

El conejo de Douady se genera iterando el mapa de conjuntos de Mandelbrot en el plano complejo , donde el parámetro se fija para que se encuentre en uno de los dos períodos de tres bulbos fuera del cardioide principal y que se extienden sobre el plano. La imagen resultante se puede colorear haciendo corresponder cada píxel con un valor inicial y calculando la cantidad de iteraciones necesarias antes de que el valor de escape de una región acotada, después de lo cual divergerá hacia el infinito . ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{n}}$

También se puede describir utilizando la forma de mapa logístico del mapa cuadrático complejo , específicamente

${\displaystyle z_{n+1}={\mathcal {M}}z_{n}:=\gamma z_{n}\left(1-z_{n}\right).}$

que es equivalente a

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}^{2}+c}$.

Independientemente de la iteración específica utilizada, el conjunto de Julia lleno asociado con un valor dado de (o ) consta de todos los puntos de partida (o ) para los que la iteración permanece acotada. Entonces, el conjunto de Mandelbrot consta de aquellos valores de (o ) para los que el conjunto de Julia lleno asociado es conexo. El conjunto de Mandelbrot se puede ver con respecto a o . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$

Teniendo en cuenta que es invariante bajo la sustitución , el conjunto de Mandelbrot con respecto a tiene simetría horizontal adicional. Dado que y son transformaciones afines entre sí, o más específicamente una transformación de similitud, que consiste solo en escala, rotación y traslación, los conjuntos de Julia llenos parecen similares para cualquiera de las formas de la iteración dada anteriormente. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma \to 2-\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

Descripción detallada

Conejo Douady en una familia exponencial

Laminación del conjunto conejo Julia

Representación de la dinámica dentro del conejo.

También puede describir el conejo de Douady utilizando el conjunto de Mandelbrot con respecto a como se muestra en el gráfico anterior. En esta figura, el conjunto de Mandelbrot aparece superficialmente como dos discos unitarios consecutivos con brotes o yemas , como los brotes en las posiciones de la una y las cinco en punto en el disco derecho o los brotes en las posiciones de las siete y las once en punto en el disco izquierdo. Cuando está dentro de uno de estos cuatro brotes, se dice que el conjunto de Julia lleno asociado en el plano de mapeo es un conejo de Douady. Para estos valores de , se puede demostrar que tiene y otro punto como puntos fijos inestables (repulsivos), y como un punto fijo de atracción. Además, el mapa tiene tres puntos fijos de atracción. Un conejo de Douady consta de los tres puntos fijos de atracción , , y y sus cuencas de atracción. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$

Por ejemplo, la Figura 4 muestra el conejo de Douady en el plano cuando , un punto en el brote de las cinco en punto del disco derecho. Para este valor de , el mapa tiene los puntos fijos de repulsión y . Los tres puntos fijos de atracción de (también llamados puntos fijos del período tres) tienen las ubicaciones ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{D}=2.55268-0.959456i}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=.656747-.129015i}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=0.499997032420304-(1.221880225696050\times 10^{-6})i{\;}{\;}{\mathrm {(red)} },\\z_{2}&=0.638169999974373-(0.239864000011495)i{\;}{\;}{\mathrm {(green)} },\\z_{3}&=0.799901291393262-(0.107547238170383)i{\;}{\;}{\mathrm {(yellow)} }.\end{aligned}}}$

Los puntos rojo, verde y amarillo se encuentran en las cuencas , y de , respectivamente. Los puntos blancos se encuentran en la cuenca de . ${\displaystyle B(z_{1})}$ ${\displaystyle B(z_{2})}$ ${\displaystyle B(z_{3})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$ ${\displaystyle B(\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

La acción de sobre estos puntos fijos viene dada por las relaciones , , y . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{1}=z_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{2}=z_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{3}=z_{1}}$

Correspondientes a estas relaciones están los resultados

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}B(z_{1})&=B(z_{2}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {red} }\subseteq {\mathrm {green} },\\{\mathcal {M}}B(z_{2})&=B(z_{3}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {green} }\subseteq {\mathrm {yellow} },\\{\mathcal {M}}B(z_{3})&=B(z_{1}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {yellow} }\subseteq {\mathrm {red} }.\end{aligned}}}$

Figura 4: Conejo Douady para o ${\displaystyle \gamma =2.55268-0.959456i}$ ${\displaystyle \mu =0.122565-0.744864i}$

Como segundo ejemplo, la Figura 5 muestra un conejo de Douady cuando un punto en el brote de las once en punto en el disco izquierdo ( es invariante bajo esta transformación). Este conejo es más simétrico en el plano. Los puntos fijos del período tres se ubican entonces en ${\displaystyle \gamma =2-\gamma _{D}=-.55268+.959456i}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=0.500003730675024+(6.968273875812428\times 10^{-6})i{\;}{\;}({\mathrm {red} }),\\z_{2}&=-0.138169999969259+(0.239864000061970)i{\;}{\;}({\mathrm {green} }),\\z_{3}&=-0.238618870661709-(0.264884797354373)i{\;}{\;}({\mathrm {yellow} }).\end{aligned}}}$

Los puntos fijos de repulsión de sí mismo se encuentran en y . Los tres lóbulos principales de la izquierda, que contienen los puntos fijos de período tres , , y , se encuentran en el punto fijo , y sus contrapartes de la derecha se encuentran en el punto . Se puede demostrar que el efecto de sobre los puntos cercanos al origen consiste en una rotación en sentido antihorario alrededor del origen de , o muy cerca de , seguida de una escala (dilatación) por un factor de . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=1.450795+0.7825835i}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \arg(\gamma )}$ ${\displaystyle 120^{\circ }}$ ${\displaystyle |\gamma |=1.1072538}$

Figura 5: Conejo Douady para o ${\displaystyle \gamma =-0.55268+0.959456i}$ ${\displaystyle \mu =0.122565-0.744864i}$

Variantes

Un conejo retorcido ^[1] es la composición de un polinomio de conejo con potencias de giros de Dehn alrededor de sus orejas. ^[2] ${\displaystyle n}$

El conejo es la imagen simétrica del conejo. Aquí el parámetro . Es uno de los otros dos polinomios que inducen la misma permutación de su conjunto poscrítico: el conejo. ${\displaystyle c\approx -0.1226-0.7449i}$

3D

El conjunto de Julia no tiene análogo directo en tres dimensiones.

4D

Conjunto de Julia de cuaterniones con parámetros y una sección transversal en el plano. En la sección transversal se puede ver el conejo de Douady. ${\displaystyle c=-0.123+0.745i}$ ${\displaystyle xy}$

Incorporado

Una pequeña copia homeomorfa de conejo incrustada en el centro de un conjunto de Julia ^[3]

Gordo

El conejo gordo o regordete tiene c en la raíz del tercio de rama del conjunto de Mandelbrot . Tiene un punto fijo parabólico con 3 pétalos. ^[4]

• 
  Conejo gordo
• 
  Tablero de ajedrez parabólico

n-ésima oreja

En general, el conejo de la bombilla del cardioide principal tendrá orejas ^[5] Por ejemplo, un conejo de bombilla de período cuatro tiene tres orejas. ${\displaystyle period-(n+1)}$ ${\displaystyle n}$

Perturbado

Conejo perturbado ^[6]

• Conejo perturbado
• 
  Conejo perturbado
• 
  Zoom de conejo perturbado

Problema del conejo retorcido

A principios de los años 1980, Hubbard planteó el llamado problema del conejo torcido, un problema de clasificación polinómica. El objetivo es determinar los tipos de equivalencia de Thurston ^{[ se necesita una definición ]} de funciones de números complejos que normalmente no se dan mediante una fórmula (se denominan polinomios topológicos): ^[7]

• Dado un polinomio cuadrático topológico cuyo punto de ramificación es periódico con período tres, determinar a qué polinomio cuadrático es equivalente de Thurston
• determinación de la clase de equivalencia de conejos retorcidos, es decir, compuesto del polinomio de conejo con n-ésimas potencias de Dehn gira alrededor de sus orejas.

El problema fue resuelto originalmente por Laurent Bartholdi y Volodymyr Nekrashevych ^{[8] utilizando} grupos monódromos iterados . También se ha resuelto la generalización del problema al caso en el que el número de puntos poscríticos es arbitrariamente grande. ^[9]

Galería

• 
  Los niveles de gris indican la velocidad de convergencia al infinito o al ciclo atractivo.
• 
  Límites de los conjuntos de niveles
• 
  Descomposición binaria
• 
• 
  Con columna vertebral
• 
  Con rayos externos
• 
  Conejo Douady Multibrot-4
• 
  Un conejo Douady sobre un fondo rojo.
• 
  Una cadena de conejos Douady

Véase también

• Curva del dragón
• Anillo de Herman
• Disco de Siegel

Referencias

1. "Una solución geométrica al problema del conejo torcido por Jim Belk, Universidad de St Andrews" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2022-11-01 . Consultado el 2022-05-03 .
2. Laurent Bartholdi; Volodymyr Nekrashevych (2006). "Equivalencia de Thurston de polinomios topológicos". Acta Mathematica . 197 : 1–51. arXiv : math/0510082 . doi :10.1007/s11511-006-0007-3.
3. "Renormalización del período n del conejo. 'El espectáculo del conejo' de Evgeny Demidov". Archivado desde el original el 2022-05-03 . Consultado el 2022-05-03 .
4. Nota sobre perturbaciones dinámicamente estables de parabólicas por Tomoki Kawahira Archivado el 2 de octubre de 2006 en Wayback Machine .
5. "Conejos de tres orejas retorcidos: identificación de ecuaciones cuadráticas topológicas hasta la equivalencia de Thurston por Adam Chodof" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2022-05-03 . Consultado el 2022-05-03 .
6. "Artículos de investigación recientes (solo desde 1999) Robert L. Devaney: conejos, basílicas y otros conjuntos de Julia envueltos en alfombras de Sierpinski". Archivado desde el original el 23 de octubre de 2019. Consultado el 7 de abril de 2020 .
7. "Polinomios, dinámica y árboles por Becca Winarski" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2022-11-01 . Consultado el 2022-05-08 .
8. Laurent Bartholdi; Volodymyr Nekrashevych (2005). "Equivalencia de Thurston de polinomios topológicos". arXiv : math/0510082v3 .
9. James Belk; Justin Lanier; Dan Margalit; Rebecca R. Winarski (2019). "Reconocimiento de polinomios topológicos mediante el levantamiento de árboles". arXiv : 1906.07680v1 [math.DS].

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fractal del conejo de Douady". MathWorld .
• Dragt, A. "Métodos de Lie para dinámica no lineal con aplicaciones a la física de aceleradores".
• Adrien Douady: La dinámica del lápiz (1996) - vídeo en YouTube

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