Conjunto bioordenado

Un conjunto biorordenado (también conocido como boset ) es un objeto matemático que aparece en la descripción de la estructura del conjunto de idempotentes en un semigrupo .

El conjunto de idempotentes de un semigrupo es un conjunto biorordenado y todo conjunto biorordenado es el conjunto de idempotentes de algún semigrupo. ^{[1] [2]} Un conjunto biorordenado regular es un conjunto biorordenado con una propiedad adicional. El conjunto de idempotentes de un semigrupo regular es un conjunto biorordenado regular, y todo conjunto biorordenado regular es el conjunto de idempotentes de algún semigrupo regular. ^[1]

Historia

El concepto y la terminología fueron desarrollados por KSS Nambooripad a principios de la década de 1970. ^{[3] [4] [1]} En 2002, Patrick Jordan introdujo el término boset como abreviatura de conjunto biorordenado. ^[5] Las propiedades definitorias de un conjunto biorordenado se expresan en términos de dos cuasiórdenes definidos en el conjunto y de ahí el nombre de conjunto biorordenado.

Según Mohan S. Putcha, "los axiomas que definen un conjunto biorordenado son bastante complicados. Sin embargo, considerando la naturaleza general de los semigrupos, es bastante sorprendente que una axiomatización tan finita sea posible". ^[6] Desde la publicación de la definición original del conjunto biorordenado por Nambooripad, se han propuesto varias variaciones en la definición. David Easdown simplificó la definición y formuló los axiomas en una notación de flecha especial inventada por él. ^[7]

Definición

Preliminares

Si X e Y son conjuntos y ρ ⊆ X × Y , sea ρ ( y ) = { x ∈ X  : x ρ y }.

Sea E un conjunto en el que se define una operación binaria parcial , indicada por yuxtaposición. Si D _E es el dominio de la operación binaria parcial sobre E, entonces D _E es una relación sobre E y ( e , f ) está en D _E si y solo si el producto ef existe en E . Las siguientes relaciones se pueden definir en E :

${\displaystyle \omega ^{r}=\{(e,f)\,:\,fe=e\}}$

${\displaystyle \omega ^{l}=\{(e,f)\,:\,ef=e\}}$

${\displaystyle R=\omega ^{r}\,\cap \,(\omega ^{r})^{-1}}$

${\displaystyle L=\omega ^{l}\,\cap \,(\omega ^{l})^{-1}}$

${\displaystyle \omega =\omega ^{r}\,\cap \,\omega ^{l}}$

Si T es cualquier enunciado sobre E que involucra la operación binaria parcial y las relaciones anteriores en E , se puede definir el dual izquierda-derecha de T denotado por T *. Si D _E es simétrico , entonces T * es significativo siempre que T lo sea.

Definición formal

El conjunto E se denomina conjunto biorordenado si los siguientes axiomas y sus duales se cumplen para elementos arbitrarios e , f , g , etc. en E .

(B1) ω ^r y ω ^l son relaciones reflexivas y transitivas en E y D _E = ( ω ^r ∪ ω ^l ) ∪ ( ω ^r ∪ ω ^l ) ⁻¹ .

(B21) Si f está en ω ^r ( e ) entonces f R fe ω e .

(B22) Si g ω ^l f y si f y g están en ω ^r ( e ) entonces ge ω ^l fe .

(B31) Si g ω ^r f y f ω ^r e entonces gf = ( ge ) f .

(B32) Si g ω ^l f y si f y g están en ω ^r ( e ) entonces ( fg ) e = ( fe )( ge ).

En M ( e , f ) = ω ^l ( e ) ∩ ω ^r ( f ) (el conjunto M de e y f en ese orden), defina una relación mediante ${\displaystyle \prec }$

${\displaystyle g\prec h\quad \Longleftrightarrow \quad eg\,\,\omega ^{r}\,\,eh\,,\,\,\,gf\,\,\omega ^{l}\,\,hf}$.

Luego el conjunto

${\displaystyle S(e,f)=\{h\in M(e,f):g\prec h{\text{ for all }}g\in M(e,f)\}}$

se llama conjunto sándwich de e y f en ese orden.

(B4) Si f y g están en ω ^r ( e ) entonces S ( f , g ) e = S ( fe , ge ).

METRO-conjuntos biorordenados y conjuntos biorordenados regulares

Decimos que un conjunto biorordenado E es un conjunto M -biorordenado si M ( e , f ) ≠ ∅ para todos e y f en E . Además, E se llama un conjunto biorordenado regular si S ( e , f ) ≠ ∅ para todos e y f en E .

En 2012, Roman S. Gigoń dio una prueba sencilla de que los conjuntos M -biordenados surgen de semigrupos E -inversos . ^{[8] [ aclaración necesaria ]}

Subobjetos y morfismos

Subconjuntos bioordenados

Un subconjunto F de un conjunto biorordenado E es un subconjunto biorordenado (subconjunto) de E si F es un conjunto biorordenado bajo la operación binaria parcial heredada de E.

Para cualquier e en E los conjuntos ω ^r ( e ), ω ^l ( e ) y ω ( e ) son subconjuntos biorordenados de E . ^[1]

Bimorfismos

Una aplicación φ : E → F entre dos conjuntos biorordenados E y F es un homomorfismo de conjuntos biorordenados (también llamado bimorfismo) si para todo ( e , f ) en D _E tenemos ( e φ ) ( f φ ) = ( ef )φ.

Ejemplos ilustrativos

Ejemplo de espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial y

E = { ( A , B ) | V = A ⊕ B }

donde V = A ⊕ B significa que A y B son subespacios de V y V es la suma directa interna de A y B. La operación binaria parcial ⋆ sobre E definida por

( A , B ) ⋆ ( C , D ) = ( A + ( B ∩ C ), ( B + C ) ∩ D )

hace que E sea un conjunto biorordenado. Los cuasiórdenes en E se caracterizan de la siguiente manera:

( A , B ) ω ^r ( C , D ) ⇔ A ⊇ C

( A , B ) ω ^l ( C , D ) ⇔ B ⊆ D

Conjunto biorordenado de un semigrupo

El conjunto E de idempotentes en un semigrupo S se convierte en un conjunto biorordenado si se define en E una operación binaria parcial de la siguiente manera: ef se define en E si y solo si ef = e o ef = f o fe = e o fe = f se cumple en S. Si S es un semigrupo regular, entonces E es un conjunto biorordenado regular.

Como ejemplo concreto, sea S el semigrupo de todas las aplicaciones de X = { 1, 2, 3 } en sí mismo. Sea el símbolo ( abc ) la aplicación para la cual 1 → a , 2 → b y 3 → c . El conjunto E de idempotentes en S contiene los siguientes elementos:

(111), (222), (333) (mapas constantes)

(122), (133), (121), (323), (113), (223)

(123) (mapa de identidad)

La siguiente tabla (tomando la composición de las asignaciones en el orden del diagrama) describe la operación binaria parcial en E. Una X en una celda indica que la multiplicación correspondiente no está definida.

Referencias

1. Nambooripad, KSS (1979). Estructura de semigrupos regulares – I. Memorias de la American Mathematical Society. Vol. 224. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2224-1.
2. Easdown, David (1985). "Los conjuntos biorordenados provienen de semigrupos". Journal of Algebra . 96 (2): 581–91. doi : 10.1016/0021-8693(85)90028-6 .
3. Nambooripad, KSS (1973). Estructura de semigrupos regulares . Universidad de Kerala , Thiruvananthapuram , India . ISBN 0-8218-2224-1.
4. Nambooripad, KSS (1975). "Estructura de semigrupos regulares I. Semigrupos regulares fundamentales". Semigroup Forum . 9 (4): 354–363. doi :10.1007/BF02194864.
5. Patrick K. Jordan. Sobre conjuntos biorordenados, incluyendo un enfoque alternativo a los semigrupos regulares fundamentales . Tesis de maestría, Universidad de Sydney, 2002.
6. Putcha, Mohan S (1988). Monoides algebraicos lineales . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 133. Cambridge University Press. págs. 121-122. ISBN 978-0-521-35809-5.
7. Easdown, David (1984). "Los conjuntos biorordenados son subconjuntos biorordenados de idempotentes de semigrupos". Journal of the Australian Mathematical Society, Serie A . 32 (2): 258–268. doi :10.1017/S1446788700022072.
8. Gigoń, Roman (2012). "Algunos resultados sobre semigrupos E -inversos". Quasigroups and Related Systems 20 : 53-60.