La constante de Legendre.

Constante de proporcionalidad de la densidad de números primos.

Los primeros 100.000 elementos de la secuencia a _n = log( n ) −  n / π ( n ) (línea roja) parecen converger a un valor alrededor de 1,08366 (línea azul).

Los elementos posteriores hasta 10.000.000 de la misma secuencia a _n = log( n ) −  n / π ( n ) (línea roja) parecen ser consistentemente menores que 1,08366 (línea azul).

La constante de Legendre es una constante matemática que aparece en una fórmula construida por Adrien-Marie Legendre para aproximar el comportamiento de la función de conteo de primos . Ahora se sabe que el valor que corresponde precisamente a su comportamiento asintótico es 1. ${\displaystyle \pi (x)}$

El examen de los datos numéricos disponibles en busca de valores conocidos de llevó a Legendre a una fórmula aproximada. ${\displaystyle \pi (x)}$

Legendre construyó en 1808 la fórmula

${\displaystyle \pi (x)\approx {\frac {x}{\log(x)-B}},}$

donde ( OEIS : A228211 ), da una aproximación de con una "precisión muy satisfactoria". ^{[1] [2]} ${\displaystyle B=1.08366}$ ${\displaystyle \pi (x)}$

Hoy en día se define el valor de tal que ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)-B}},}$

que se soluciona poniendo

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\left(\log(n)-{n \over \pi (n)}\right),}$

siempre que exista este límite.

No sólo ahora se sabe que el límite existe, sino también que su valor es igual a algo menor que el de Legendre. Independientemente de su valor exacto, la existencia del límite implica el teorema de los números primos . ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1.08366.}$ ${\displaystyle B}$

Pafnuty Chebyshev demostró en 1849 ^[3] que si el límite B existe, debe ser igual a 1. Pintz dio una prueba más sencilla en 1980. ^[4]

Es una consecuencia inmediata del teorema de los números primos , bajo la forma precisa con una estimación explícita del término de error.

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

(para alguna constante positiva a , donde O (...) es la notación O grande ), como lo demostró en 1899 Charles de La Vallée Poussin , ^[5] que B efectivamente es igual a 1. (El teorema de los números primos se había demostrado en 1896, de forma independiente por Jacques Hadamard ^[6] y La Vallée Poussin, ^[7] pero sin ninguna estimación del término de error involucrado).

Al ser evaluado con un número tan simple, el término constante de Legendre solo tiene valor histórico, y a menudo (técnicamente incorrectamente) se usa para referirse a la primera suposición de Legendre 1.08366... ​​en su lugar.

Referencias

1. Legendre, A.-M. (1808). Ensayo sobre la teoría de los nombres. Mensajero. pag. 394.
2. Ribenboim, Paulo (2004). El pequeño libro de los primos más grandes . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 188.ISBN _ 0-387-20169-6.
3. Edmundo Landau . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, página 17. Tercera edición (corregida), dos volúmenes en uno, 1974, Chelsea 1974
4. Pintz, Janos (1980). "Sobre la fórmula de los números primos de Legendre". El Mensual Matemático Estadounidense . 87 (9): 733–735. doi :10.2307/2321863. ISSN  0002-9890. JSTOR  2321863.
5. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Bélgica 59, 1–74, 1899
6. Sur la Distribution des zéros de la fonction et ses conséquences arithmétiques ${\displaystyle \zeta (s)}$ , Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 24, 1896, págs. 199–220 en línea Archivado el 17 de julio de 2012 en Wayback Machine.
7. «Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers», Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, págs. 183–256 y 281–361

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La constante de Legendre". MundoMatemático .