Matriz de signos alternados

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}}$

Las siete matrices de signos alternados de tamaño 3

En matemáticas , una matriz de signos alternados es una matriz cuadrada de 0, 1 y −1 de modo que la suma de cada fila y columna es 1 y las entradas distintas de cero en cada fila y columna se alternan en signo. Estas matrices generalizan las matrices de permutación y surgen de forma natural cuando se utiliza la condensación de Dodgson para calcular un determinante. ^[1] También están estrechamente relacionadas con el modelo de seis vértices con condiciones de contorno de pared de dominio de la mecánica estadística . Fueron definidas por primera vez por William Mills, David Robbins y Howard Rumsey en el primer contexto.

Ejemplos

Una matriz de permutación es una matriz de signos alternos, y una matriz de signos alternos es una matriz de permutación si y solo si ninguna entrada es igual a −1 .

Un ejemplo de una matriz de signos alternos que no es una matriz de permutación es

Imagen de rompecabezas

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Teorema de la matriz de signos alternados

El teorema de la matriz de signos alternos establece que el número de matrices de signos alternos es ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.}$

Los primeros términos de esta secuencia para n = 0, 1, 2, 3, … son

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … (secuencia A005130 en la OEIS ).

Este teorema fue demostrado por primera vez por Doron Zeilberger en 1992. ^[2] En 1995, Greg Kuperberg dio una prueba corta ^[3] basada en la ecuación de Yang-Baxter para el modelo de seis vértices con condiciones de contorno de pared de dominio, que utiliza un cálculo determinante debido a Anatoli Izergin. ^{[4] En 2005,} Ilse Fischer dio una tercera prueba utilizando lo que se llama el método del operador . ^[5]

Problema de Razumov-Stroganov

En 2001, A. Razumov e Y. Stroganov conjeturaron una conexión entre el modelo de bucle O(1), el modelo de bucle completamente empaquetado (FPL) y los ASM. ^[6] Esta conjetura fue demostrada en 2010 por Cantini y Sportiello. ^[7]

Referencias

1. Hone, Andrew NW (2006), "Condensación de Dodgson, signos alternados y hielo cuadrado", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 364 (1849): 3183–3198, doi :10.1098/rsta.2006.1887, MR  2317901
2. Zeilberger, Doron, "Prueba de la conjetura de la matriz de signos alternos", Electronic Journal of Combinatorics 3 (1996), R13.
3. Kuperberg, Greg , "Otra prueba de la conjetura de la matriz de signos alternos", International Mathematics Research Notes (1996), 139-150.
4. "Fórmula determinante para el modelo de seis vértices", AG Izergin et al. 1992 J. Phys. A : Math. Gen. 25 4315.
5. Fischer, Ilse (2005). "Una nueva prueba del teorema refinado de la matriz de signos alternantes". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 114 (2): 253–264. arXiv : math/0507270 . Bibcode :2005math......7270F. doi :10.1016/j.jcta.2006.04.004.
6. Razumov, AV, Stroganov Yu.G., Cadenas de espín y combinatoria, Journal of Physics A , 34 (2001), 3185-3190.
7. L. Cantini y A. Sportiello, Prueba de la conjetura de Razumov-Stroganov Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 118 (5) , (2011) 1549–1574,

Lectura adicional

• Bressoud, David M. , Pruebas y confirmaciones: La historia de la conjetura de la matriz de signos alternados , MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, DC, 1999. ISBN 978-0521666466 
• Bressoud, David M. y Propp, James, Cómo se resolvió la conjetura de la matriz de signos alternos, Notices of the American Mathematical Society , 46 (1999), 637–646.
• Mills, William H., Robbins, David P. y Rumsey, Howard Jr., Prueba de la conjetura de Macdonald, Inventiones Mathematicae , 66 (1982), 73–87.
• Mills, William H., Robbins, David P. y Rumsey, Howard Jr., Matrices de signos alternos y particiones de plano descendente, Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 34 (1983), 340–359.
• Propp, James, Las múltiples caras de las matrices de signos alternos, Matemáticas discretas y ciencias de la computación teórica , Número especial sobre modelos discretos: combinatoria, computación y geometría (julio de 2001).
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., Naturaleza combinatoria del vector de estado fundamental del modelo de bucle O(1), Theor. Math. Phys. , 138 (2004), 333–337.
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., Modelo de bucle O(1) con diferentes condiciones de contorno y clases de simetría de matrices de signos alternos], Theor. Math. Phys. , 142 (2005), 237–243, arXiv :cond-mat/0108103
• Robbins, David P. , La historia de , The Mathematical Intelligencer , 13 (2), 12–19 (1991), doi :10.1007/BF03024081. ${\displaystyle 1,2,7,42,429,7436,\dots }$
• Zeilberger, Doron , Prueba de la conjetura refinada de la matriz de signos alternos, New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

Enlaces externos

• Entrada de matriz de signos alternos en MathWorld
• Entrada de matrices de signos alternos en la base de datos FindStat