hipótesis de riemann

Conjetura sobre los ceros de la función zeta

Este gráfico de la función zeta ( ζ ) de Riemann (aquí con el argumento z) muestra ceros triviales donde ζ ( z ) = 0, un polo donde ζ ( z ) = , la línea crítica de ceros no triviales con Re ( z ) = 1/2 y pendientes de valores absolutos. ${\displaystyle \infty }$

En matemáticas, la hipótesis de Riemann es la conjetura de que la función zeta de Riemann tiene sus ceros sólo en los números enteros pares negativos y complejos con parte real ⁠1/2⁠ . Muchos lo consideran el problema sin resolver más importante de las matemáticas puras . ^[1] Es de gran interés en la teoría de números porque implica resultados sobre la distribución de números primos . Fue propuesto por Bernhard Riemann  (1859), de quien lleva el nombre.

La hipótesis de Riemann y algunas de sus generalizaciones, junto con la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos , conforman el octavo problema de Hilbert en la lista de veintitrés problemas sin resolver de David Hilbert ; también es uno de los Premios del Milenio de Problemas del Clay Mathematics Institute , que ofrece 1 millón de dólares a quien resuelva alguno de ellos. El nombre también se utiliza para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos .

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una función cuyo argumento s puede ser cualquier número complejo distinto de 1, y cuyos valores también son complejos. Tiene ceros en los números enteros pares negativos; es decir, ζ ( s ) = 0 cuando s es uno de −2, −4, −6, .... Estos se denominan ceros triviales . La función zeta también es cero para otros valores de s , que se denominan ceros no triviales . La hipótesis de Riemann se ocupa de la ubicación de estos ceros no triviales y afirma que:

La parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann es  ⁠1/2⁠ .

Por lo tanto, si la hipótesis es correcta, todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica que consiste en los números complejos ⁠1/2⁠ + i t , donde t es un número real e i es la unidad imaginaria .

Función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann está definida para s complejos con parte real mayor que 1 por la serie infinita absolutamente convergente

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

Leonhard Euler ya consideró esta serie en la década de 1730 para valores reales de s, junto con su solución al problema de Basilea . También demostró que es igual al producto de Euler.

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots }$

donde el producto infinito se extiende sobre todos los números primos p . ^[2]

La hipótesis de Riemann analiza los ceros fuera de la región de convergencia de esta serie y el producto de Euler. Para que la hipótesis tenga sentido, es necesario continuar analíticamente la función para obtener una forma que sea válida para todos los complejos s . Debido a que la función zeta es meromorfa , todas las elecciones sobre cómo realizar esta continuación analítica conducirán al mismo resultado, según el teorema de identidad . Un primer paso en esta continuación observa que las series para la función zeta y la función eta de Dirichlet satisfacen la relación

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,}$

dentro de la región de convergencia para ambas series. Sin embargo, la serie de funciones zeta de la derecha converge no sólo cuando la parte real de s es mayor que uno, sino de manera más general siempre que s tiene una parte real positiva. Por tanto, la función zeta se puede redefinir como , extendiéndola desde Re( s ) > 1 a un dominio más grande: Re( s ) > 0 , excepto en los puntos donde es cero. Estos son los puntos donde puede haber cualquier número entero distinto de cero; la función zeta también se puede extender a estos valores tomando límites (ver Función eta de Dirichlet § Problema de Landau con ζ ( s ) = η ( s )/0 y soluciones ), dando un valor finito para todos los valores de s con parte real positiva excepto por el polo simple en s  = 1. ${\displaystyle \eta (s)/(1-2/2^{s})}$ ${\displaystyle 1-2/2^{s}}$ ${\displaystyle s=1+2\pi in/\log 2}$ ${\displaystyle n}$

En la franja 0 < Re( s ) < 1 esta extensión de la función zeta satisface la ecuación funcional

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

Entonces se puede definir ζ ( s ) para todos los números complejos restantes distintos de cero s ( Re( s ) ≤ 0 y s ≠ 0) aplicando esta ecuación fuera de la franja y dejando que ζ ( s ) sea igual al lado derecho de la ecuación. siempre que s tenga parte real no positiva (y s ≠ 0).

Si s es un entero par negativo entonces ζ ( s ) = 0 porque el factor sin( π s /2) desaparece; estos son los ceros triviales de la función zeta. (Si s es un número entero par positivo, este argumento no se aplica porque los ceros de la función seno son cancelados por los polos de la función gamma , ya que toma argumentos enteros negativos).

El valor ζ (0) = −1/2 no está determinado por la ecuación funcional, pero es el valor límite de ζ ( s ) cuando s se acerca a cero. La ecuación funcional también implica que la función zeta no tiene ceros con parte real negativa distintos de los ceros triviales, por lo que todos los ceros no triviales se encuentran en la franja crítica donde s tiene parte real entre 0 y 1.

• 
  Función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica con Re( s ) = 1/2. Los valores reales se muestran en el eje horizontal y los valores imaginarios en el eje vertical. Re( ζ (1/2 + it )), Im( ζ (1/2 + it )) se traza con t oscilando entre −30 y 30. ^[3]
• Animación que muestra en 3D la franja crítica de la función zeta de Riemann (azul, donde s tiene parte real entre 0 y 1), línea crítica (roja, para la parte real de s es igual a 0,5) y ceros (cruce entre rojo y naranja): [ x , y , z ] = [Re( ζ ( r + it ) ), Im( ζ ( r + it ) ), t ] con 0,1 ≤ r ≤ 0,9 y 1 ≤ t ≤ 51
• 
  La parte real (roja) y la parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann ζ ( s ) a lo largo de la línea crítica en el plano complejo con parte real Re( s ) = 1/2. Los primeros ceros no triviales , donde ζ( s ) es igual a cero, ocurren donde ambas curvas tocan el eje x horizontal, para números complejos con partes imaginarias Im( s ) iguales a ±14,135, ±21,022 y ±25,011.

Origen

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... es muy probable que todas las raíces sean reales. Por supuesto que aquí se desearía una prueba rigurosa; Por el momento, después de algunos intentos vanos y fugaces, he dejado de lado provisionalmente la búsqueda de este tema, ya que parece prescindible para el objetivo inmediato de mi investigación.

-  Declaración de Riemann de la hipótesis de Riemann, de (Riemann 1859). (Estaba hablando de una versión de la función zeta, modificada para que sus raíces (ceros) sean reales en lugar de estar en la línea crítica).

A la muerte de Riemann, se encontró una nota entre sus artículos que decía: "Estas propiedades de ζ ( s ) (la función en cuestión) se deducen de una expresión de la misma que, sin embargo, no logré simplificar lo suficiente como para publicarla". ". Aún no tenemos la menor idea de cuál podría ser la expresión. En cuanto a las propiedades que simplemente enunció, transcurrieron unos treinta años antes de que pudiera demostrarlas todas menos una [la propia Hipótesis de Riemann].

—  Jacques Hadamard , La mente del matemático, VIII. Casos paradójicos de intuición

La motivación original de Riemann para estudiar la función zeta y sus ceros fue su aparición en su fórmula explícita para el número de primos π ( x ) menor o igual a un número dado x , que publicó en su artículo de 1859 " Sobre el número de primos ". Menos que una magnitud dada ". Su fórmula fue dada en términos de la función relacionada.

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{1/4})+{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{1/5})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{1/6})+\cdots }$

que cuenta los números primos y las potencias primas hasta x , contando una potencia prima p ⁿ como 1 ⁄ n . El número de números primos se puede recuperar a partir de esta función utilizando la fórmula de inversión de Möbius ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}}$

donde μ es la función de Möbius . La fórmula de Riemann es entonces

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}}$

donde la suma está sobre los ceros no triviales de la función zeta y donde Π ₀ es una versión ligeramente modificada de Π que reemplaza su valor en sus puntos de discontinuidad por el promedio de sus límites superior e inferior:

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

La sumatoria en la fórmula de Riemann no es absolutamente convergente, pero puede evaluarse tomando los ceros ρ en orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la función integral logarítmica (sin compensación) dada por el valor principal de Cauchy de la integral divergente.

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Los términos li( x ^ρ ) que involucran los ceros de la función zeta necesitan cierto cuidado en su definición ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen (para x  > 1) mediante una continuación analítica en la variable compleja ρ en la región Re( ρ ) > 0, es decir, deben considerarse como Ei ( ρ log x ) . Los demás términos también corresponden a ceros: el término dominante li( x ) proviene del polo en s  = 1, considerado como un cero de multiplicidad −1, y los términos pequeños restantes provienen de los ceros triviales. Para ver algunos gráficos de las sumas de los primeros términos de esta serie, consulte Riesel y Göhl (1970) o Zagier (1977).

Esta fórmula dice que los ceros de la función zeta de Riemann controlan las oscilaciones de los números primos alrededor de sus posiciones "esperadas". Riemann sabía que los ceros no triviales de la función zeta estaban distribuidos simétricamente alrededor de la recta s = 1/2 + it , y sabía que todos sus ceros no triviales debían estar en el rango 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 Comprobó que algunos de los ceros se encontraban en la línea crítica con la parte real 1/2 y sugirió que todos lo hicieran; esta es la hipótesis de Riemann.

El resultado ha captado la imaginación de la mayoría de los matemáticos porque es muy inesperado y conecta dos áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas; a saber, la teoría de números , que es el estudio de lo discreto, y el análisis complejo , que se ocupa de procesos continuos. (Burton 2006, pág. 376)

Consecuencias

Los usos prácticos de la hipótesis de Riemann incluyen muchas proposiciones que se sabe que son verdaderas según la hipótesis de Riemann, y algunas que se puede demostrar que son equivalentes a la hipótesis de Riemann.

Distribución de números primos

La fórmula explícita de Riemann para el número de números primos menores que un número dado establece que, en términos de una suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, la magnitud de las oscilaciones de los números primos alrededor de su posición esperada está controlada por las partes reales de los ceros. de la función zeta. En particular, el término de error en el teorema de los números primos está estrechamente relacionado con la posición de los ceros. Por ejemplo, si β es el límite superior de las partes reales de los ceros, entonces ^[4] , donde es la función de conteo de primos , es la función integral logarítmica , es el logaritmo natural de x , y aquí se usa la notación O grande. . Ya se sabe que 1/2 ≤  β  ≤ 1. ^[5] ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\left(x^{\beta }\log x\right)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \log(x)}$

Correcciones a una estimación de la función de conteo de primos utilizando ceros de la función zeta. La magnitud del término de corrección está determinada por la parte real del cero que se suma en la corrección.

Von Koch (1901) demostró que la hipótesis de Riemann implica la "mejor cota posible" para el error del teorema de los números primos. Una versión precisa del resultado de von Koch, debida a Schoenfeld (1976), dice que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 2657,}$

Schoenfeld (1976) también demostró que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x,\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2,}$

¿Dónde está la segunda función de Chebyshev ? ${\displaystyle \psi (x)}$

Dudek (2014) demostró que la hipótesis de Riemann implica que para todo existe un primo que satisface ${\displaystyle x\geq 2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$.

La constante 4/ π puede reducirse a (1 +  ε ) siempre que se considere que x es suficientemente grande. Ésta es una versión explícita de un teorema de Cramér .

Crecimiento de funciones aritméticas.

La hipótesis de Riemann implica fuertes límites al crecimiento de muchas otras funciones aritméticas , además de la función de conteo de primos mencionada anteriormente.

Un ejemplo es la función de Möbius μ. La afirmación de que la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

es válida para todo s con parte real mayor que 1/2, con la suma del lado derecho convergente, equivale a la hipótesis de Riemann. De esto también podemos concluir que si la función de Mertens está definida por

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

entonces la afirmación de que

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

pues cada ε positivo es equivalente a la hipótesis de Riemann ( JE Littlewood , 1912; ver, por ejemplo: párrafo 14.25 en Titchmarsh (1986)). El determinante de la matriz de Redheffer de orden n es igual a M ( n ), por lo que la hipótesis de Riemann también puede plantearse como una condición para el crecimiento de estos determinantes. El resultado de Littlewood ha sido mejorado varias veces desde entonces, por Edmund Landau , ^[6] Edward Charles Titchmarsh , ^[7] Helmut Maier y Hugh Montgomery , ^[8] y Kannan Soundararajan . ^[9] El resultado de Soundararajan es que, condicionado a la hipótesis de Riemann,

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}$

La hipótesis de Riemann pone un límite bastante estricto al crecimiento de M , ya que Odlyzko y te Riele (1985) refutaron la conjetura ligeramente más fuerte de Mertens.

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

Otro resultado estrechamente relacionado se debe a Björner (2011), que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la característica de Euler del complejo simplicial determinada por la red de números enteros bajo divisibilidad es para todos (ver álgebra de incidencia ). ${\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

La hipótesis de Riemann es equivalente a muchas otras conjeturas sobre la tasa de crecimiento de otras funciones aritméticas además de μ( n ). Un ejemplo típico es el teorema de Robin , ^[10] que establece que si σ( n ) es la función sigma , dada por

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

entonces

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

para todo n > 5040 si y sólo si la hipótesis de Riemann es verdadera, donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Jeffrey Lagarias dio un límite relacionado en 2002, quien demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

para cada número natural n > 1, donde está el enésimo número armónico . ^[11] ${\displaystyle H_{n}}$

La hipótesis de Riemann también es cierta si y sólo si la desigualdad

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

es cierto para todo n ≥ 120569# donde φ ( n ) es la función totiente de Euler y 120569# es el producto de los primeros 120569 números primos. ^[12]

Otro ejemplo fue encontrado por Jérôme Franel y ampliado por Landau (ver Franel y Landau (1924)). La hipótesis de Riemann equivale a varias afirmaciones que muestran que los términos de la secuencia de Farey son bastante regulares. Una de esas equivalencias es la siguiente: si F _n es la secuencia de Farey de orden n , comenzando con 1/ n y hasta 1/1, entonces la afirmación de que para todo ε > 0

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$

es equivalente a la hipótesis de Riemann. Aquí

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}$

es el número de términos en la secuencia de Farey de orden n .

Para un ejemplo de la teoría de grupos , si g ( n ) es la función de Landau dada por el orden máximo de elementos del grupo simétrico S _n de grado n , entonces Massias, Nicolas y Robin (1988) demostraron que la hipótesis de Riemann es equivalente a la atado

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

para todos los n suficientemente grandes .

Hipótesis de Lindelöf y crecimiento de la función zeta.

La hipótesis de Riemann también tiene varias consecuencias más débiles; una es la hipótesis de Lindelöf sobre la tasa de crecimiento de la función zeta en la línea crítica, que dice que, para cualquier ε > 0,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

como . ${\displaystyle t\to \infty }$

La hipótesis de Riemann también implica límites bastante pronunciados para la tasa de crecimiento de la función zeta en otras regiones de la franja crítica. Por ejemplo, implica que

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

por lo que la tasa de crecimiento de ζ (1 +  it ) y su inversa se conocerían hasta un factor de 2. ^[13]

Conjetura de la gran brecha prima

El teorema de los números primos implica que, en promedio, la brecha entre el primo p y su sucesor es log  p . Sin embargo, algunas brechas entre los números primos pueden ser mucho mayores que el promedio. Cramér demostró que, asumiendo la hipótesis de Riemann, todo hueco es O ( √ p  log  p ). Este es un caso en el que incluso la mejor cota que se puede demostrar utilizando la hipótesis de Riemann es mucho más débil de lo que parece cierto: la conjetura de Cramér implica que cada brecha es O ((log  p ) ² ), que, si bien es mayor que la brecha promedio , es mucho menor que el límite implícito en la hipótesis de Riemann. La evidencia numérica apoya la conjetura de Cramér. ^[14]

Criterios analíticos equivalentes a la hipótesis de Riemann

Se han encontrado muchas afirmaciones equivalentes a la hipótesis de Riemann, aunque hasta ahora ninguna de ellas ha permitido avanzar mucho en probarla (o refutarla). Algunos ejemplos típicos son los siguientes. (Otros involucran la función divisora ​​σ( n ).)

El criterio de Riesz fue dado por Riesz (1916), en el sentido de que el límite

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

se cumple para todo ε > 0 si y sólo si se cumple la hipótesis de Riemann. Véase también el criterio de Hardy-Littlewood .

Nyman (1950) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y sólo si el espacio de funciones de la forma

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

donde ρ ( z ) es la parte fraccionaria de z , 0 ≤ θ _ν ≤ 1 , y

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}$

es denso en el espacio de Hilbert L ² (0,1) de funciones integrables al cuadrado en el intervalo unitario. Beurling (1955) amplió esto mostrando que la función zeta no tiene ceros con parte real mayor que 1/ p si y sólo si este espacio funcional es denso en L ^p (0,1). Este criterio de Nyman-Beurling fue reforzado por Báez-Duarte ^[15] en el caso en que . ${\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}$

Salem (1953) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y sólo si la ecuación integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

no tiene soluciones acotadas no triviales para . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$

El criterio de Weil es la afirmación de que la positividad de una determinada función es equivalente a la hipótesis de Riemann. Relacionado está el criterio de Li , una afirmación de que la positividad de una determinada secuencia de números es equivalente a la hipótesis de Riemann.

Speiser (1934) demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que , la derivada de , no tiene ceros en la franja ${\displaystyle \zeta '(s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

Que sólo tenga ceros simples en la línea crítica equivale a que su derivada no tenga ceros en la línea crítica. ${\displaystyle \zeta (s)}$

La secuencia de Farey proporciona dos equivalencias, debidas a Jerome Franel y Edmund Landau en 1924.

La constante de Bruijn-Newman, denotada por Λ y nombrada en honor a Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman , se define como el único número real tal que la función

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$,

que está parametrizado por un parámetro real λ , tiene una variable compleja z y se define mediante una función que decae superexponencialmente

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$.

sólo tiene ceros reales si y sólo si λ ≥ Λ. Dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de H (0,  z ) son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que . Brad Rodgers y Terence Tao descubrieron que la equivalencia es en realidad demostrando que cero es el límite inferior de la constante. ^[16] Demostrar que cero es también el límite superior probaría, por lo tanto, la hipótesis de Riemann. A abril de 2020, el límite superior es . ^[17] ${\displaystyle \Lambda \leq 0}$ ${\displaystyle \Lambda =0}$ ${\displaystyle \Lambda \leq 0.2}$

Consecuencias de la hipótesis generalizada de Riemann

Varias aplicaciones utilizan la hipótesis de Riemann generalizada para la serie L de Dirichlet o funciones zeta de campos numéricos en lugar de solo la hipótesis de Riemann. Muchas propiedades básicas de la función zeta de Riemann se pueden generalizar fácilmente a todas las series L de Dirichlet, por lo que es plausible que un método que pruebe la hipótesis de Riemann para la función zeta de Riemann también funcione para la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de Dirichlet. Varios resultados probados primero usando la hipótesis generalizada de Riemann recibieron luego pruebas incondicionales sin usarla, aunque generalmente fueron mucho más difíciles. Muchas de las consecuencias de la siguiente lista están tomadas de Conrad (2010).

• En 1913, Grönwall demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la lista de Gauss de campos cuadráticos imaginarios con clase número 1 es completa, aunque Baker, Stark y Heegner dieron más tarde pruebas incondicionales de esto sin utilizar la hipótesis generalizada de Riemann.
• En 1917, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una conjetura de Chebyshev que dice que los primos 3 mod 4 son más comunes que los primos 1 mod 4 en algún sentido. (Para obtener resultados relacionados, consulte Teorema de los números primos § Carrera de números primos ). $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$$
• En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una forma débil de la conjetura de Goldbach para números impares: que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos, aunque en 1937 Vinogradov dio una prueba incondicional. En 1997, Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que todo número impar mayor que 5 es la suma de tres primos. En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura ternaria de Goldbach sin la dependencia de GRH, sujeta a algunos cálculos extensos completados con la ayuda de David J. Platt.
• En 1934, Chowla demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que el primer primo en la progresión aritmética a mod m es como máximo Km ² log( m ) ² para alguna constante fija K .
• En 1967, Hooley demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas .
• En 1973, Weinberger demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la lista de números ídolos de Euler está completa.
• Weinberger (1973) demostró que la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones zeta de todos los campos numéricos algebraicos implica que cualquier campo numérico con clase número 1 es euclidiano o un campo numérico cuadrático imaginario de discriminante −19, −43, −67 o − 163.
• En 1976, G. Miller demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que se puede probar si un número es primo en tiempo polinómico mediante la prueba de Miller . En 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena demostraron incondicionalmente este resultado mediante la prueba de primalidad AKS .
• Odlyzko (1990) analizó cómo se puede utilizar la hipótesis generalizada de Riemann para dar estimaciones más precisas de discriminantes y números de clase de campos numéricos.
• Ono y Soundararajan (1997) demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la forma cuadrática integral de Ramanujan x ² + y ² + 10 z ² representa todos los números enteros que representa localmente, con exactamente 18 excepciones.
• En 2021, Alexander (Alex) Dunn y Maksym Radziwill demostraron la conjetura de Patterson sobre sumas cúbicas de Gauss , bajo el supuesto de GRH. ^{[18] [19]}

Medio excluido

Algunas consecuencias de la RH son también consecuencias de su negación y, por tanto, son teoremas. En su discusión sobre el teorema de Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn, Ireland y Rosen (1990, p. 359) dicen

El método de prueba aquí es realmente sorprendente. Si la hipótesis generalizada de Riemann es cierta, entonces el teorema es verdadero. Si la hipótesis generalizada de Riemann es falsa, entonces el teorema es verdadero. ¡¡Por lo tanto, el teorema es verdadero!!

Se debe tener cuidado de entender lo que se quiere decir al decir que la hipótesis generalizada de Riemann es falsa: se debe especificar exactamente qué clase de serie de Dirichlet tiene un contraejemplo.

teorema de littlewood

Esto se refiere al signo del error en el teorema de los números primos . Se ha calculado que π ( x ) < li ( x ) para todo x ≤ 10 ²⁵ (ver esta [[Teorema de los números primos#Tabla de π ( x ), x /log  x y li( x )|tabla]] ), y no se conoce ningún valor de x para el cual π ( x ) > li ( x ).

En 1914, Littlewood demostró que existen valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}$

y que también hay valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

Así, la diferencia π ( x ) − li ( x ) cambia de signo infinitas veces. El número de Skewes es una estimación del valor de x correspondiente al primer cambio de signo.

La prueba de Littlewood se divide en dos casos: el RH se supone falso (aproximadamente media página de Ingham 1932, Capítulo V), y el RH se supone verdadero (aproximadamente una docena de páginas). Stanisław Knapowski (1962) siguió esto con un artículo sobre el número de veces que cambia de signo en el intervalo . ${\displaystyle \Delta (n)}$ ${\displaystyle \Delta (n)}$

Conjetura del número de clase de Gauss

Esta es la conjetura (expresada por primera vez en el artículo 303 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss ) de que sólo hay un número finito de campos cuadráticos imaginarios con un número de clase dado. Una forma de demostrarlo sería demostrar que como discriminante D → −∞ el número de clase h ( D ) → ∞ .

La siguiente secuencia de teoremas relacionados con la hipótesis de Riemann se describe en Ireland y Rosen 1990, págs. 358-361:

Teorema (Hecke; 1918)  :  Sea D < 0 el discriminante de un campo numérico cuadrático imaginario K. Supongamos la hipótesis de Riemann generalizada para L -funciones de todos los caracteres cuadráticos imaginarios de Dirichlet. Entonces existe una constante absoluta C tal que $${\displaystyle h(D)>C{\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}.}$$

Teorema (Deuring; 1933)  :  si RH es falsa, entonces h ( D ) > 1 si | D | es suficientemente grande.

Teorema (Mordell; 1934)  :  si RH es falsa, entonces h ( D ) → ∞ como D → −∞ .

Teorema (Heilbronn; 1934)  :  si el RH generalizado es falso para la función L de algún carácter cuadrático imaginario de Dirichlet, entonces h ( D ) → ∞ como D → −∞ .

(En el trabajo de Hecke y Heilbronn, las únicas funciones L que ocurren son aquellas adjuntas a caracteres cuadráticos imaginarios, y sólo para esas funciones L se pretende que GRH sea verdadera o GRH sea falsa ; un fallo de GRH para el La función L de un carácter cúbico de Dirichlet significaría, estrictamente hablando, que GRH es falso, pero ese no era el tipo de falla de GRH que Heilbronn tenía en mente, por lo que su suposición era más restringida que simplemente GRH es falso ).

En 1935, Carl Siegel reforzó el resultado sin utilizar RH ni GRH de ninguna manera. ^{[20] [21]}

Crecimiento del bebé de Euler

En 1983, JL Nicolas demostró que para infinitos n , donde φ ( n ) es la función totiente de Euler y γ es la constante de Euler . Ribenboim comenta que: "El método de prueba es interesante, ya que la desigualdad se muestra primero bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es verdadera, y en segundo lugar bajo el supuesto contrario". ^[22] $${\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}}$$

Generalizaciones y analogías.

Serie L de Dirichlet y otros campos numéricos

La hipótesis de Riemann se puede generalizar reemplazando la función zeta de Riemann por funciones L globales formalmente similares, pero mucho más generales . En este contexto más amplio, se espera que los ceros no triviales de las funciones L globales tengan una parte real 1/2. Son estas conjeturas, más que la hipótesis clásica de Riemann sólo para la única función zeta de Riemann, las que explican la verdadera importancia de la hipótesis de Riemann en matemáticas.

La hipótesis de Riemann generalizada extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones L de Dirichlet . En particular, implica la conjetura de que los ceros de Siegel (ceros de L -funciones entre 1/2 y 1) no existen.

La hipótesis de Riemann extendida extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones zeta de Dedekind de campos numéricos algebraicos . La hipótesis de Riemann extendida para la extensión abeliana de los racionales es equivalente a la hipótesis de Riemann generalizada. La hipótesis de Riemann también se puede ampliar a las funciones L de los caracteres de Hecke de los campos numéricos.

La gran hipótesis de Riemann la extiende a todas las funciones zeta automórficas , como las transformadas de Mellin de las formas propias de Hecke .

Campos de funciones y funciones zeta de variedades sobre campos finitos

Artin (1924) introdujo funciones zeta globales de campos de funciones (cuadráticos) y conjeturó un análogo de la hipótesis de Riemann para ellas, que ha sido probada por Hasse en el caso del género 1 y por Weil (1948) en general. Por ejemplo, el hecho de que la suma de Gauss , de carácter cuadrático de un campo finito de tamaño q (con q impar), tenga valor absoluto es en realidad un ejemplo de la hipótesis de Riemann en el ámbito del campo de funciones. Esto llevó a Weil (1949) a conjeturar una afirmación similar para todas las variedades algebraicas ; Las conjeturas de Weil resultantes fueron demostradas por Pierre Deligne  (1974, 1980). ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$

Funciones aritméticas zeta de esquemas aritméticos y sus factores L

Las funciones zeta aritméticas generalizan las funciones zeta de Riemann y Dedekind, así como las funciones zeta de variedades sobre campos finitos, a todo esquema aritmético o esquema de tipo finito sobre números enteros. La función aritmética zeta de un esquema aritmético equidimensional conectado regular de dimensión n de Kronecker se puede factorizar en el producto de factores L adecuadamente definidos y un factor auxiliar Jean-Pierre Serre  (1969-1970). Suponiendo una ecuación funcional y una continuación meromórfica, la hipótesis de Riemann generalizada para el factor L establece que sus ceros dentro de la franja crítica se encuentran en la línea central. En consecuencia, la hipótesis de Riemann generalizada para la función aritmética zeta de un esquema aritmético equidimensional conectado regular establece que sus ceros dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales y sus polos dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales . Esto es conocido para los esquemas de característica positiva y se desprende de Pierre Deligne  (1974, 1980), pero sigue siendo completamente desconocido en la característica cero. ${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$ ${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$ ${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$

Funciones zeta de Selberg

Selberg (1956) introdujo la función zeta de Selberg de una superficie de Riemann. Son similares a la función zeta de Riemann: tienen una ecuación funcional y un producto infinito similar al producto de Euler, pero tomado de geodésicas cerradas en lugar de números primos. La fórmula de trazas de Selberg es análoga a estas funciones de las fórmulas explícitas de la teoría de números primos. Selberg demostró que las funciones zeta de Selberg satisfacen el análogo de la hipótesis de Riemann, con las partes imaginarias de sus ceros relacionadas con los valores propios del operador laplaciano de la superficie de Riemann.

funciones de ihara zeta

La función zeta de Ihara de un gráfico finito es análoga a la función zeta de Selberg , que fue introducida por primera vez por Yasutaka Ihara en el contexto de subgrupos discretos del grupo lineal especial p-ádico de dos por dos. Un grafo finito regular es un grafo de Ramanujan , un modelo matemático de redes de comunicación eficientes, si y sólo si su función Ihara zeta satisface el análogo de la hipótesis de Riemann como señaló T. Sunada .

Conjetura de correlación de pares de Montgomery

Montgomery (1973) sugirió la conjetura de correlación de pares de que las funciones de correlación de los ceros (adecuadamente normalizados) de la función zeta deberían ser las mismas que las de los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria . Odlyzko (1987) demostró que esto está respaldado por cálculos numéricos a gran escala de estas funciones de correlación.

Montgomery demostró que (asumiendo la hipótesis de Riemann) al menos 2/3 de todos los ceros son simples, y una conjetura relacionada es que todos los ceros de la función zeta son simples (o más generalmente no tienen relaciones lineales enteras no triviales entre sus partes imaginarias). ). Las funciones zeta de Dedekind de campos numéricos algebraicos, que generalizan la función zeta de Riemann, a menudo tienen múltiples ceros complejos. ^[23] Esto se debe a que las funciones zeta de Dedekind se factorizan como un producto de potencias de las funciones L de Artin , por lo que los ceros de las funciones L de Artin a veces dan lugar a múltiples ceros de las funciones zeta de Dedekind. Otros ejemplos de funciones zeta con múltiples ceros son las funciones L de algunas curvas elípticas : éstas pueden tener múltiples ceros en el punto real de su línea crítica; la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer predice que la multiplicidad de este cero es el rango de la curva elíptica.

Otras funciones zeta

Hay muchos otros ejemplos de funciones zeta con análogos de la hipótesis de Riemann, algunos de los cuales han sido probados. Las funciones Goss zeta de campos funcionales tienen una hipótesis de Riemann, probada por Sheats (1998). La principal conjetura de la teoría de Iwasawa , probada por Barry Mazur y Andrew Wiles para campos ciclotómicos , y Wiles para campos totalmente reales , identifica los ceros de una función L p -ádica con los valores propios de un operador, por lo que puede considerarse como una Análogo de la conjetura de Hilbert-Pólya para funciones L p -ádicas . ^[24]

Pruebas intentadas

Varios matemáticos han abordado la hipótesis de Riemann, pero ninguno de sus intentos ha sido aceptado todavía como prueba. Watkins (2021) enumera algunas soluciones incorrectas.

Teoría del operador

Hilbert y Pólya sugirieron que una forma de derivar la hipótesis de Riemann sería encontrar un operador autoadjunto , de cuya existencia se seguiría la afirmación sobre las partes reales de los ceros de ζ ( s ) cuando se aplica el criterio sobre las partes reales valores propios . Parte del apoyo a esta idea proviene de varios análogos de las funciones zeta de Riemann cuyos ceros corresponden a valores propios de algún operador: los ceros de una función zeta de una variedad sobre un campo finito corresponden a valores propios de un elemento de Frobenius en un grupo de cohomología étale , el Los ceros de una función zeta de Selberg son valores propios de un operador laplaciano de una superficie de Riemann, y los ceros de una función zeta p-ádica corresponden a vectores propios de una acción de Galois sobre grupos de clases ideales .

Odlyzko (1987) demostró que la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann comparte algunas propiedades estadísticas con los valores propios de matrices aleatorias extraídas del conjunto unitario gaussiano . Esto respalda parcialmente la conjetura de Hilbert-Pólya .

En 1999, Michael Berry y Jonathan Keating conjeturaron que existe alguna cuantificación desconocida del hamiltoniano clásico H = xp de modo que y aún más fuertemente, que los ceros de Riemann coincidan con el espectro del operador . Esto contrasta con la cuantificación canónica , que conduce al principio de incertidumbre de Heisenberg y a los números naturales como espectro del oscilador armónico cuántico . El punto crucial es que el hamiltoniano debería ser un operador autoadjunto para que la cuantificación sea una realización del programa de Hilbert-Pólya. En relación con este problema de la mecánica cuántica, Berry y Connes habían propuesto que el inverso del potencial del hamiltoniano está conectado a la semiderivada de la función, entonces, en el enfoque de Hilbert-Polya, esto produce un hamiltoniano cuyos valores propios son el cuadrado de la parte imaginaria de los ceros de Riemann, y también que el determinante funcional de este operador hamiltoniano es justamente la función Riemann Xi . De hecho, la función Riemann Xi sería proporcional al determinante funcional ( producto de Hadamard ). Sin embargo, este operador no es útil en la práctica ya que incluye la función inversa (función implícita) del potencial pero no el potencial en sí. La analogía con la hipótesis de Riemann sobre campos finitos sugiere que el espacio de Hilbert que contiene vectores propios correspondientes a los ceros podría ser una especie de primer grupo de cohomología del espectro Spec ( Z ) de los números enteros. Deninger (1998) describió algunos de los intentos de encontrar dicha teoría de cohomología. ^[25] ${\displaystyle {\hat {H}}}$ $${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$ ${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ $${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$ $${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$ $${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$ $${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$

Zagier (1981) construyó un espacio natural de funciones invariantes en el semiplano superior que tiene valores propios bajo el operador laplaciano que corresponden a ceros de la función zeta de Riemann, y destacó que en el improbable caso de que se pudiera demostrar la existencia de una función positiva adecuada producto interno definido en este espacio, se seguiría la hipótesis de Riemann. Cartier (1982) analizó un ejemplo relacionado, en el que, debido a un error extraño, un programa de computadora enumeraba ceros de la función zeta de Riemann como valores propios del mismo operador laplaciano .

Schumayer y Hutchinson (2011) examinaron algunos de los intentos de construir un modelo físico adecuado relacionado con la función zeta de Riemann.

Teorema de Lee-Yang

El teorema de Lee-Yang establece que los ceros de ciertas funciones de partición en la mecánica estadística se encuentran todos en una "línea crítica" con su parte real igual a 0, y esto ha llevado a algunas especulaciones sobre una relación con la hipótesis de Riemann. ^[26]

El resultado de Turán

Pál Turán  (1948) demostró que si las funciones no tienen ceros cuando la parte real de s es mayor que uno entonces donde λ( n ) es la función de Liouville dada por (−1) ^r si n tiene r factores primos. Demostró que esto, a su vez, implicaría que la hipótesis de Riemann es cierta. Pero Haselgrove (1958) demostró que T ( x ) es negativo para una infinidad de x (y también refutó la conjetura de Pólya, estrechamente relacionada ), y Borwein, Ferguson y Mossinghoff (2008) demostraron que la x más pequeña es 72 185 376 951 205 . Spira (1968) demostró mediante cálculo numérico que la serie finita de Dirichlet anterior para N =19 tiene un cero con parte real mayor que 1. Turán también demostró que un supuesto algo más débil, la inexistencia de ceros con parte real mayor que 1+ N ^{− 1/2+ε} para N grande en la serie finita de Dirichlet anterior también implicaría la hipótesis de Riemann, pero Montgomery (1983) demostró que para todo N suficientemente grande estas series tienen ceros con parte real mayor que 1 + (log log N ) /(4 log N ) . Por lo tanto, el resultado de Turán es vagamente cierto y no puede ayudar a probar la hipótesis de Riemann. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$ $${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$

Geometría no conmutativa

Connes  (1999, 2000) describió una relación entre la hipótesis de Riemann y la geometría no conmutativa , y demostró que un análogo adecuado de la fórmula de trazas de Selberg para la acción del grupo de clases idèle en el espacio de clases adèle implicaría la hipótesis de Riemann. Algunas de estas ideas se desarrollan en Lapidus (2008).

Espacios de Hilbert de funciones completas.

Louis de Branges  (1992) demostró que la hipótesis de Riemann se derivaría de una condición de positividad en un determinado espacio de Hilbert de funciones completas . Sin embargo, Conrey y Li (2000) demostraron que no se cumplen las condiciones de positividad necesarias. A pesar de este obstáculo, de Branges ha seguido trabajando en un intento de probar la hipótesis de Riemann en la misma línea, pero esto no ha sido ampliamente aceptado por otros matemáticos. ^[27]

Cuasicristales

La hipótesis de Riemann implica que los ceros de la función zeta forman un cuasicristal , una distribución con soporte discreto cuya transformada de Fourier también tiene soporte discreto. Dyson (2009) sugirió intentar probar la hipótesis de Riemann clasificando, o al menos estudiando, cuasicristales unidimensionales.

Funciones aritméticas zeta de modelos de curvas elípticas sobre campos numéricos

Cuando se pasa de la dimensión geométrica uno, por ejemplo, un campo numérico algebraico , a la dimensión geométrica dos, por ejemplo, un modelo regular de una curva elíptica sobre un campo numérico, la parte bidimensional de la hipótesis generalizada de Riemann para la función aritmética zeta del modelo trata de los polos de la función zeta. En la dimensión uno, el estudio de la integral zeta en la tesis de Tate no conduce a nueva información importante sobre la hipótesis de Riemann. Por el contrario, en la dimensión dos, el trabajo de Ivan Fesenko sobre la generalización bidimensional de la tesis de Tate incluye una representación integral de una integral zeta estrechamente relacionada con la función zeta. En esta nueva situación, no posible en la dimensión uno, los polos de la función zeta pueden estudiarse mediante la integral zeta y los grupos de Adele asociados. La conjetura relacionada de Fesenko  (2010) sobre la positividad de la cuarta derivada de una función de frontera asociada a la integral zeta implica esencialmente la parte polar de la hipótesis de Riemann generalizada. Suzuki (2011) demostró que esto último, junto con algunos supuestos técnicos, implica la conjetura de Fesenko.

Múltiples funciones zeta

La prueba de Deligne de la hipótesis de Riemann sobre campos finitos utilizó las funciones zeta de variedades de productos, cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta original, para limitar las partes reales de los ceros de la función zeta original. Por analogía, Kurokawa (1992) introdujo múltiples funciones zeta cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta de Riemann. Para hacer converger la serie, se limitó a sumas de ceros o polos, todos con parte imaginaria no negativa. Hasta ahora, los límites conocidos de los ceros y polos de las múltiples funciones zeta no son lo suficientemente fuertes como para dar estimaciones útiles para los ceros de la función zeta de Riemann.

Ubicación de los ceros

numero de ceros

La ecuación funcional combinada con el principio argumental implica que el número de ceros de la función zeta con parte imaginaria entre 0 y T viene dado por

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

para s =1/2+i T , donde el argumento se define variándolo continuamente a lo largo de la línea con Im( s )= T , comenzando con el argumento 0 en ∞+i T . Esta es la suma de un término extenso pero bien comprendido.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

y un término pequeño pero bastante misterioso

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

Entonces, la densidad de ceros con parte imaginaria cerca de T es aproximadamente log( T )/(2 π ), y la función S describe las pequeñas desviaciones de esto. La función S ( t ) salta 1 en cada cero de la función zeta, y para t ≥ 8 disminuye monótonamente entre ceros con derivada cercana a −log t .

Trudgian (2014) demostró que, si , entonces ${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Karatsuba (1996) demostró que cada intervalo ( T , T + H ] para contiene al menos ${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo.

Selberg (1946) demostró que los momentos promedio de potencias pares de S están dados por

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

Esto sugiere que S ( T )/(log log T ) ^1/2 se parece a una variable aleatoria gaussiana con media 0 y varianza 2 π ² (Ghosh (1983) demostró este hecho). En particular | S ( T )| suele ser aproximadamente (log log T ) ^1/2 , pero en ocasiones es mucho más grande. Se desconoce el orden exacto de crecimiento de S ( T ). No ha habido una mejora incondicional del límite original de Riemann S ( T )=O(log T ), aunque la hipótesis de Riemann implica el límite ligeramente más pequeño S ( T )=O(log T /log log T ). ^[13] El verdadero orden de magnitud puede ser algo menor que esto, ya que las funciones aleatorias con la misma distribución que S ( T ) tienden a tener un crecimiento de orden aproximadamente log( T ) ^1/2 . En la otra dirección, no puede ser demasiado pequeño: Selberg (1946) demostró que S ( T ) ≠ o((log T ) ^1/3 /(log log T ) ^7/3 ) , y asumiendo la hipótesis de Riemann, Montgomery demostró que S ( T ) ≠ o((log T ) ^1/2 /(log log T ) ^1/2 ) .

Los cálculos numéricos confirman que S crece muy lentamente: | S ( T )| < 1 para T < 280 , | S ( T )| < 2 para T  <  6 800 000 , y el valor más grande de | S ( T )| encontrado hasta ahora no es mucho mayor que 3. ^[28]

La estimación de Riemann S ( T ) = O(log T ) implica que los espacios entre ceros están acotados, y Littlewood mejoró esto ligeramente, mostrando que los espacios entre sus partes imaginarias tienden a 0.

Teorema de Hadamard y de la Vallée-Poussin

Hadamard (1896) y de la Vallée-Poussin (1896) demostraron de forma independiente que no pueden haber ceros en la recta Re( s ) = 1. Junto con la ecuación funcional y el hecho de que no hay ceros con parte real mayor que 1, esto demostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la franja crítica 0 < Re( s ) < 1 . Este fue un paso clave en sus primeras demostraciones del teorema de los números primos .

Ambas pruebas originales de que la función zeta no tiene ceros con la parte real 1 son similares y dependen de demostrar que si ζ (1 +  it ) desaparece, entonces ζ (1 + 2 it ) es singular, lo cual no es posible. Una forma de hacerlo es utilizando la desigualdad

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

para σ > 1, t real, y mirando el límite como σ → 1. Esta desigualdad se sigue tomando la parte real del log del producto de Euler para ver que

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

donde la suma es sobre todos los poderes primos p ⁿ , de modo que

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

que es al menos 1 porque todos los términos de la suma son positivos, debido a la desigualdad

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

Regiones libres de cero

La búsqueda informática más extensa realizada por Platt y Trudgian ^[17] de contraejemplos de la hipótesis de Riemann la ha verificado . Más allá de eso, las regiones libres de cero se conocen como desigualdades relativas a σ + i t , que pueden ser ceros. La versión más antigua es de De la Vallée-Poussin (1899-1900), quien demostró que existe una región sin ceros que satisface 1 − σ ≥ ⁠ ${\displaystyle |t|\leq 3.0001753328\cdot 10^{12}}$C/iniciar sesión ( t )⁠ para alguna constante positivaC. En otras palabras, los ceros no pueden estar demasiado cerca de la líneaσ = 1:hay una región libre de ceros cerca de esta línea. Esto ha sido ampliado por varios autores utilizando métodos como elteorema del valor medio de Vinogradov.

El artículo más reciente ^[29] de Mossinghoff, Trudgian y Yang es de diciembre de 2022 y proporciona cuatro regiones libres de cero que mejoraron los resultados anteriores de Kevin Ford de 2002, los propios Mossinghoff y Trudgian de 2015 y la ligera mejora de Ford de Pace Nielsen de octubre. 2022:

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$cuando sea , ${\displaystyle |t|\geq 2}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$siempre (la región más grande conocida en el límite ), ${\displaystyle |t|\geq 3}$ ${\displaystyle 3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}}$siempre (la región más grande conocida en el límite ) y ${\displaystyle |t|\geq 1.88\cdot 10^{14}}$ ${\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}}$cuando sea (la región más grande conocida dentro de su propio límite) ${\displaystyle |t|\geq \exp(1000)}$

El artículo también presenta una mejora de la segunda región libre de cero, cuyos límites se desconocen porque simplemente se supone que son "suficientemente grandes" para cumplir con los requisitos de la prueba del artículo. Esta región es ${\displaystyle |t|}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$.

Ceros en la línea crítica

Hardy (1914) y Hardy y Littlewood (1921) demostraron que hay infinitos ceros en la línea crítica, al considerar momentos de ciertas funciones relacionadas con la función zeta. Selberg (1942) demostró que al menos una (pequeña) proporción positiva de ceros se encuentra en la recta. Levinson (1974) mejoró esto a un tercio de los ceros relacionando los ceros de la función zeta con los de su derivada, y Conrey (1989) mejoró esto aún más a dos quintos. En 2020, Pratt, Robles, Zaharescu y Zeindler ^[30] ampliaron esta estimación a cinco doceavos al considerar suavizadores extendidos que pueden acomodar derivadas de orden superior de la función zeta y sus sumas de Kloosterman asociadas.

La mayoría de los ceros se encuentran cerca de la línea crítica. Más precisamente, Bohr y Landau (1914) demostraron que para cualquier ε positivo, el número de ceros con una parte real al menos 1/2+ε y una parte imaginaria entre -T y T es . Combinado con el hecho de que los ceros en la franja crítica son simétricos con respecto a la línea crítica y que el número total de ceros en la franja crítica es , casi todos los ceros no triviales están dentro de una distancia ε de la línea crítica. Ivić (1985) ofrece varias versiones más precisas de este resultado, llamadas estimaciones de densidad cero , que limitan el número de ceros en regiones con parte imaginaria como máximo T y parte real al menos 1/2+ε. ${\displaystyle O(T)}$ ${\displaystyle \Theta (T\log T)}$

Conjeturas de Hardy-Littlewood

En 1914, Godfrey Harold Hardy demostró que tiene infinitos ceros reales. ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Las siguientes dos conjeturas de Hardy y John Edensor Littlewood sobre la distancia entre ceros reales de y sobre la densidad de ceros de en el intervalo para , y con el valor más pequeño posible de , donde es un número arbitrariamente pequeño, abren dos nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann: ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

1. Para any existe un límite inferior tal que for y el intervalo contiene un cero de orden impar de la función . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ ${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

Sea el número total de ceros reales y el número total de ceros de orden impar de la función que se encuentra en el intervalo . ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle N_{0}(T)}$ ${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$ ${\displaystyle (0,T]~}$

2. Para any existe y some , tal que para y la desigualdad es verdadera. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ ${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$ ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$

Conjetura de la función zeta de Selberg

Atle Selberg  (1942) investigó el problema de Hardy-Littlewood 2 y demostró que para cualquier ε > 0 existe tal y c = c (ε) > 0, tal que para y la desigualdad es verdadera. Selberg conjeturó que esto podría ajustarse a . AA Karatsuba  (1984a, 1984b, 1985) demostró que para un ε fijo que satisface la condición 0 < ε < 0,001, un T suficientemente grande y , el intervalo ( T , T + H ) contiene al menos cH log( T ) ceros reales de la función zeta de Riemann y por tanto confirmó la conjetura de Selberg. Las estimaciones de Selberg y Karatsuba no se pueden mejorar con respecto al orden de crecimiento como T → ∞. ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$ ${\displaystyle H=T^{0.5}}$ ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Karatsuba (1992) demostró que una analogía de la conjetura de Selberg es válida para casi todos los intervalos ( T , T + H ], , donde ε es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. El método de Karatsuba permite investigar los ceros de la función zeta de Riemann en " intervalos "supercortos" de la línea crítica, es decir, en los intervalos ( T , T + H ], cuya longitud H crece más lentamente que cualquier grado T , incluso arbitrariamente pequeño . En particular, demostró que para cualquier número dado ε, satisfaciendo las condiciones casi todos los intervalos ( T , T + H ] para contener al menos ceros de la función . Esta estimación es bastante cercana a la que se deriva de la hipótesis de Riemann. ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$ ${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Cálculos numéricos

La función

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

tiene los mismos ceros que la función zeta en la franja crítica, y es real en la línea crítica debido a la ecuación funcional, por lo que se puede probar la existencia de ceros exactamente en la línea real entre dos puntos comprobando numéricamente que la función tiene valores opuestos. señales en estos puntos. Generalmente uno escribe

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

donde la función Z de Hardy y la función theta de Riemann-Siegel θ están definidas únicamente por esto y la condición de que sean funciones reales suaves con θ (0) = 0. Al encontrar muchos intervalos donde la función Z cambia de signo, se puede demostrar que hay muchos ceros en la línea crítica. Para verificar la hipótesis de Riemann hasta una parte imaginaria dada T de los ceros, también hay que comprobar que no hay más ceros fuera de la línea en esta región. Esto se puede hacer calculando el número total de ceros en la región usando el método de Turing y verificando que sea el mismo que el número de ceros encontrados en la línea. Esto permite verificar computacionalmente la hipótesis de Riemann hasta cualquier valor deseado de T (siempre que todos los ceros de la función zeta en esta región sean simples y estén en la línea crítica).

Estos cálculos también se pueden utilizar para estimar rangos finitos de . Por ejemplo, utilizando el último resultado de 2020 (ceros hasta la altura ), se ha demostrado que ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 3\times 10^{12}}$

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}$

En general, esta desigualdad se cumple si

${\displaystyle x\geq 2657}$y ${\displaystyle {\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,}$

¿Dónde está el mayor valor conocido tal que la hipótesis de Riemann es cierta para todos los ceros con ? ^[31] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}$

A continuación se enumeran algunos cálculos de ceros de la función zeta, donde la "altura" de un cero es la magnitud de su parte imaginaria, y la altura del n -ésimo cero se denota por γ _n . Hasta ahora todos los ceros que se han comprobado están en la línea crítica y son simples. (Un cero múltiple causaría problemas a los algoritmos de búsqueda de ceros, que dependen de encontrar cambios de signo entre ceros). Para tablas de ceros, consulte Haselgrove y Miller (1960) u Odlyzko.

puntos de gramo

Un punto de Gram es un punto en la línea crítica 1/2 +  it donde la función zeta es real y distinta de cero. Usando la expresión para la función zeta en la línea crítica, ζ (1/2 +  it ) = Z ( t )e  ^{−  iθ ( t )} , donde la función de Hardy, Z , es real para t real , y θ es la función de Riemann. Función theta de Siegel , vemos que zeta es real cuando sin( θ ( t )) = 0. Esto implica que θ ( t ) es un múltiplo entero de π , lo que permite calcular la ubicación de los puntos Gram con bastante facilidad invirtiendo la fórmula para θ . Generalmente se numeran como g _n para n = 0, 1, ..., donde g _n es la solución única de θ ( t ) = n π .

Gram observó que a menudo había exactamente un cero de la función zeta entre dos puntos de Gram cualesquiera; Hutchinson llamó a esta observación ley de Gram . Hay varios otros enunciados estrechamente relacionados que a veces también se denominan ley de Gram: por ejemplo, (−1) ⁿ Z ( g _n ) suele ser positivo, o Z ( t ) suele tener signo opuesto en puntos de Gram consecutivos. Las partes imaginarias γ _n de los primeros ceros (en azul) y los primeros puntos Gram g _n se dan en la siguiente tabla

Esta es una gráfica polar de los primeros 20 valores reales r _n de la función zeta a lo largo de la línea crítica, ζ (1/2 +  it ), con t yendo de 0 a 50. Los valores de r _n en este rango son los primeros 10 ceros de función zeta de Riemann no triviales y los primeros 10 puntos de Gram, cada uno etiquetado por n . Se han trazado cincuenta puntos rojos entre cada r _n y los ceros se proyectan en anillos magenta concéntricos a escala para mostrar la distancia relativa entre sus valores de t. La ley de Gram establece que la curva suele cruzar el eje real una vez entre ceros.

El primer fallo de la ley de Gram se produce en el cero 127 y en el punto de Gram g ₁₂₆ , que están en el orden "incorrecto".

Un punto de Gram t se considera bueno si la función zeta es positiva en 1/2 + it . Los índices de los puntos de Gram "malos" donde Z tiene el signo "incorrecto" son 126, 134, 195, 211,... (secuencia A114856 en el OEIS ). Un bloque de Gram es un intervalo delimitado por dos puntos de Gram buenos de modo que todos los puntos de Gram entre ellos son malos. Un refinamiento de la ley de Gram llamado regla de Rosser debido a Rosser, Yohe y Schoenfeld (1969) dice que los bloques de Gram a menudo tienen el número esperado de ceros (el mismo que el número de intervalos de Gram), aunque algunos de los intervalos de Gram individuales en el bloque pueden no tener exactamente un cero. Por ejemplo, el intervalo delimitado por g ₁₂₅ y g ₁₂₇ es un bloque de Gram que contiene un único punto de Gram incorrecto g ₁₂₆ y contiene el número esperado 2 de ceros, aunque ninguno de sus dos intervalos de Gram contiene un cero único. Rosser et al. comprobó que no había excepciones a la regla de Rosser en los primeros 3 millones de ceros, aunque hay infinitas excepciones a la regla de Rosser en toda la función zeta.

Tanto la regla de Gram como la regla de Rosser dicen que, en cierto sentido, los ceros no se desvían demasiado de sus posiciones esperadas. La distancia de un cero desde su posición esperada está controlada por la función S definida anteriormente, que crece extremadamente lentamente: su valor promedio es del orden de (log log T ) ^1/2 , que sólo llega a 2 para T alrededor de 10 ²⁴ . Esto significa que ambas reglas se cumplen la mayor parte del tiempo para T pequeña , pero eventualmente no se cumplen con frecuencia. De hecho, Trudgian (2011) demostró que tanto la ley de Gram como la regla de Rosser fallan en una proporción positiva de casos. Para ser específico, se espera que en aproximadamente el 66% un cero esté encerrado por dos puntos de Gram sucesivos, pero en el 17% no hay cero y en el 17% dos ceros están en dicho intervalo de Gram a largo plazo Hanga (2020).

Argumentos a favor y en contra de la hipótesis de Riemann

Los artículos matemáticos sobre la hipótesis de Riemann tienden a ser cautelosamente evasivos respecto de su verdad. De los autores que expresan una opinión, la mayoría de ellos, como Riemann (1859) y Bombieri (2000), dan a entender que esperan (o al menos esperan) que sea cierta. Los pocos autores que expresan serias dudas al respecto incluyen a Ivić (2008), quien enumera algunas razones para el escepticismo, y Littlewood (1962), quien afirma rotundamente que lo cree falso, que no hay evidencia para ello ni ninguna razón imaginable para que lo hiciera. ser cierto. El consenso de los artículos de la encuesta (Bombieri 2000, Conrey 2003 y Sarnak 2005) es que la evidencia es sólida pero no abrumadora, de modo que, si bien es probable que sea cierto, existen dudas razonables.

Sarnak (2005), Conrey (2003) e Ivić (2008) enumeran algunos de los argumentos a favor y en contra de la hipótesis de Riemann, e incluyen los siguientes:

• Ya se han demostrado varios análogos de la hipótesis de Riemann. La prueba de la hipótesis de Riemann para variedades en campos finitos realizada por Deligne (1974) es posiblemente la razón teórica más sólida a favor de la hipótesis de Riemann. Esto proporciona cierta evidencia para la conjetura más general de que todas las funciones zeta asociadas con formas automórficas satisfacen una hipótesis de Riemann, que incluye la hipótesis clásica de Riemann como un caso especial. De manera similar, las funciones zeta de Selberg satisfacen el análogo de la hipótesis de Riemann y son en cierto modo similares a la función zeta de Riemann, ya que tienen una ecuación funcional y una expansión del producto infinita análoga a la expansión del producto de Euler. Pero también existen algunas diferencias importantes; por ejemplo, no aparecen en las series de Dirichlet. Sheats (1998) demostró la hipótesis de Riemann para la función zeta de Goss . En contraste con estos ejemplos positivos, algunas funciones zeta de Epstein no satisfacen la hipótesis de Riemann aunque tengan un número infinito de ceros en la línea crítica. ^[13] Estas funciones son bastante similares a la función zeta de Riemann y tienen una expansión en serie de Dirichlet y una ecuación funcional , pero las que se sabe que fallan en la hipótesis de Riemann no tienen un producto de Euler y no están directamente relacionadas con representaciones automórficas .
• Al principio, la verificación numérica de que hay muchos ceros en la línea parece una prueba contundente de ello. Pero la teoría analítica de números ha tenido muchas conjeturas respaldadas por evidencia numérica sustancial que resultaron ser falsas. Véase el número de Skewes para un ejemplo notorio, donde la primera excepción a una conjetura plausible relacionada con la hipótesis de Riemann probablemente ocurre alrededor del año 10 ³¹⁶ ; un contraejemplo a la hipótesis de Riemann con una parte imaginaria de este tamaño estaría mucho más allá de cualquier cosa que pueda calcularse actualmente mediante un enfoque directo. El problema es que el comportamiento a menudo se ve influenciado por funciones que aumentan muy lentamente, como log log T , que tienden al infinito, pero lo hacen tan lentamente que no se puede detectar mediante cálculo. Tales funciones ocurren en la teoría de la función zeta que controla el comportamiento de sus ceros; por ejemplo, la función S ( T ) anterior tiene un tamaño promedio de alrededor de (log log T ) ^1/2 . Como S ( T ) salta al menos 2 en cualquier contraejemplo de la hipótesis de Riemann, uno podría esperar que cualquier contraejemplo de la hipótesis de Riemann comience a aparecer sólo cuando S ( T ) se haga grande. Nunca es mucho más de 3 en la medida en que se ha calculado, pero se sabe que no está acotado, lo que sugiere que es posible que los cálculos aún no hayan alcanzado la región de comportamiento típico de la función zeta.
• El argumento probabilístico de Denjoy para la hipótesis de Riemann ^[33] se basa en la observación de que si μ( x ) es una secuencia aleatoria de "1" y "-1" entonces, para cada ε > 0 , las sumas parciales ( cuyos valores son posiciones en un paseo aleatorio simple ) satisfacen el límite con probabilidad 1 . La hipótesis de Riemann es equivalente a esta cota para la función de Möbius  μ y la función de Mertens M derivada de la misma manera. En otras palabras, la hipótesis de Riemann equivale en cierto sentido a decir que μ( x ) se comporta como una secuencia aleatoria de lanzamientos de moneda. Cuando μ( x ) es distinto de cero su signo da la paridad del número de factores primos de x , por lo que informalmente la hipótesis de Riemann dice que la paridad del número de factores primos de un número entero se comporta aleatoriamente. Estos argumentos probabilísticos en la teoría de números a menudo dan la respuesta correcta, pero tienden a ser muy difíciles de hacer rigurosos y, en ocasiones, dan la respuesta incorrecta para algunos resultados, como el teorema de Maier . $${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$$ $${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })}$$
• Los cálculos de Odlyzko (1987) muestran que los ceros de la función zeta se comportan de manera muy parecida a los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria , lo que sugiere que son los valores propios de algún operador autoadjunto, lo que implicaría la hipótesis de Riemann. Todos los intentos de encontrar un operador así han fracasado.
• Hay varios teoremas, como la conjetura débil de Goldbach para números impares suficientemente grandes, que se demostraron primero utilizando la hipótesis generalizada de Riemann y luego se demostró que eran ciertos incondicionalmente. Esto podría considerarse una evidencia débil a favor de la hipótesis generalizada de Riemann, ya que varias de sus "predicciones" son ciertas.
• El fenómeno de Lehmer , ^[34] donde dos ceros a veces están muy cerca, se da a veces como una razón para no creer en la hipótesis de Riemann. Pero uno esperaría que esto sucediera ocasionalmente por casualidad, incluso si la hipótesis de Riemann fuera cierta, y los cálculos de Odlyzko sugieren que los pares de ceros cercanos ocurren con tanta frecuencia como lo predice la conjetura de Montgomery .
• Patterson sugiere que la razón más convincente para la hipótesis de Riemann para la mayoría de los matemáticos es la esperanza de que los números primos se distribuyan con la mayor regularidad posible. ^[35]

Notas

1. Bombieri (2000).
2. Euler, Leonhard (1744). Varias observaciones alrededor de series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, págs. 160–188, Teoremas 7 y 8. En el Teorema 7, Euler demuestra la fórmula en el caso especial , y en el Teorema 8 la demuestra de manera más general. En el primer corolario de su Teorema 7 señala que , y hace uso de este último resultado en su Teorema 19, para demostrar que la suma de los inversos de los números primos es . ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle \zeta (1)=\log \infty }$ ${\displaystyle \log \log \infty }$
3. Los valores de ζ se pueden encontrar calculando, por ejemplo, ζ (1/2 - 30 i ). ( "Inteligencia computacional de Wolframalpha". wolframalpha.com . Wolfram . Consultado el 2 de octubre de 2022 .
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33. Edwards (1974).
34. Lehmer (1956).
35. pág. 75: "Probablemente deberíamos agregar a esta lista la razón 'platónica' de que se espera que los números naturales sean la idea más perfecta concebible, y que esto sólo es compatible con que los números primos se distribuyan de la manera más regular posible..."

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enlaces externos

• Medios relacionados con la hipótesis de Riemann en Wikimedia Commons

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