Invariante de Gopakumar-Vafa

Invariantes topológicos relativos a los estados BPS

En física teórica , Rajesh Gopakumar y Cumrun Vafa introdujeron en una serie de artículos ^{[1] [2] [3] [4]} nuevos invariantes topológicos, llamados invariantes de Gopakumar–Vafa , que representan el número de estados BPS en un triple de Calabi–Yau . Conducen a la siguiente función generadora para los invariantes de Gromov–Witten en un triple de Calabi–Yau M :

${\displaystyle \sum _{g=0}^{\infty }~\sum _{\beta \in H_{2}(M,\mathbb {Z} )}{\text{GW}}(g,\beta )q^{\beta }\lambda ^{2g-2}=\sum _{g=0}^{\infty }~\sum _{k=1}^{\infty }~\sum _{\beta \in H_{2}(M,\mathbb {Z} )}{\text{BPS}}(g,\beta ){\frac {1}{k}}\left(2\sin \left({\frac {k\lambda }{2}}\right)\right)^{2g-2}q^{k\beta }}$,

dónde

• ${\displaystyle \beta }$es la clase de curvas pseudoholomorfas con género g ,
• ${\displaystyle \lambda }$es el acoplamiento de cuerdas topológico,
• ${\displaystyle q^{\beta }=\exp(2\pi it_{\beta })}$con el parámetro Kähler de la clase de curva , ${\displaystyle t_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle {\text{GW}}(g,\beta )}$son los invariantes de Gromov-Witten de la clase de curva en el género , ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\text{BPS}}(g,\beta )}$son el número de estados BPS (los invariantes de Gopakumar-Vafa) de la clase de curva en el género . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g}$

Como función de partición en la teoría cuántica de campos topológicos

Los invariantes de Gopakumar-Vafa pueden considerarse como una función de partición en la teoría cuántica de campos topológicos . Se propone que sean la función de partición en la forma de Gopakumar-Vafa:

${\displaystyle Z_{top}=\exp \left[\sum _{g=0}^{\infty }~\sum _{k=1}^{\infty }~\sum _{\beta \in H_{2}(M,\mathbb {Z} )}{\text{BPS}}(g,\beta ){\frac {1}{k}}\left(2\sin \left({\frac {k\lambda }{2}}\right)\right)^{2g-2}q^{k\beta }\right]\ .}$

Notas

1. Gopakumar y Vafa 1998a
2. Gopakumar y Vafa 1998b
3. Gopakumar y Vafa 1999
4. Gopakumar y Vafa 1998d

Referencias

• Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun (1998a), Teoría M y cuerdas topológicas-I , arXiv : hep-th/9809187 , Bibcode :1998hep.th....9187G
• Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun (1998b), Teoría M y cuerdas topológicas-II , arXiv : hep-th/9812127 , Bibcode :1998hep.th...12127G
• Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun (1999), "Sobre la correspondencia entre la teoría de gauge y la geometría", Adv. Theor. Math. Phys. , 3 (5): 1415–1443, arXiv : hep-th/9811131 , Bibcode :1998hep.th...11131G, doi :10.4310/ATMP.1999.v3.n5.a5, S2CID  13824856
• Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun (1998d), "Gravedad topológica como teoría de calibre topológica de N grande", Adv. Theor. Math. Phys. , 2 (2): 413–442, arXiv : hep-th/9802016 , Bibcode :1998hep.th....2016G, doi :10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a8, S2CID  16676561
• Ionel, Eleny-Nicoleta ; Parker, Thomas H. (2018), "La fórmula de Gopakumar–Vafa para variedades simplécticas", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 187 (1): 1–64, arXiv : 1306.1516 , doi :10.4007/annals.2018.187.1.1, MR  3739228, S2CID  7070264